第1章 三角形的初步知识解答题10题提升培优篇（含解析）

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三角形解答题10题提升培优篇（含解析）
一、解答题
1．如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，若 ， ，试求 的值．
2．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长.
3．如图，在 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．求证：BD＝2CE．
4．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．
5．如图，AD是 的角平分线，且AB>AC，E为AD上任意一点，
求证： .
6．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
7．如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．
（1）求证：AE∥CF；
（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．
8．已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
9．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
10．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外）
上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】解：∵ 平分 ，∴
平分 ，∴
又 ，∴
，∴
，∴
∵ ，∴ ，∴
【解析】【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，即可得到∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，根据等角对等边即可得到线段的相等，利用等量代换求出EF=BE+CF即可。
2．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACD，
∵AE=CD，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AD=AE，∠DAC=∠ABE，
∵∠BPQ=∠PAB+∠PBA，
∴∠BPQ=∠PAB+∠DAC=∠PAC=60°，
∴∠PBQ=180°-∠PQB-∠BPQ=180°-90°-60°=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴BE=BP+PE=6+1=7.
∴AD=BE=7.
【解析】【分析】先利用边角边定理证明△ABE和△ADC全等，则对应边AD和AE相等，对应角∠DAC和∠ABE相等，于是利用三角形外角的性质可求∠BPQ为90°，再结合30°所对的直角边等于斜边的一半求得PB的长，则BE的长可得，从而求出AD的长.
3．【答案】证明： 的平分线交 于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
又∵ ，
．
【解析】【分析】由角平分线的概念得∠FBE=∠CBE，由垂直的概念得∠BEF=∠BEC=90°，证明△BFE≌△BCE，得到CE=EF，则CF=2CE，根据同角的余角相等可得∠F=∠ADB，证明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，然后结合CF=2CE进行证明.
4．【答案】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=30°，
【解析】【分析】本题作出DN⊥AE、DM⊥AC，先利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DF=DM=DN，再利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可得DE平分且等于45°，同时利用等腰三角形两底角相等的性质借助三角形内角和又得∠DCF=15°，最后根据三角形外角性质即可求出结果。
5．【答案】证明：如图，在AB上截取AF=AC，连接EF，
∵AD是 的角平分线
∴∠1=∠2
在 与 中
∵AF=AC，∠1=∠2，AE=AE
∴ ≌ （SAS）
∴
在 中，
而
∴
即 .
【解析】【分析】 在AB上截取AF=AC，连接EF， 证出△AEF≌△AEC，得出EF=EC，根据三角形三边关系得出EB-EF＜BF，从而得出EB-EC＜AB-AC，即可得出AB-AC＞EB-EC.
6．【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
7．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴∠EAM=∠FCM，
∴AE∥CF.
（2）证明：∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM=∠EAM，
又∵∠EAM=∠FCM，
∴∠FAM=∠FCM，
∴△FAC是等腰三角形，
又∵AM=CM，
∴FM⊥AC，
即EF垂直平分AC.
【解析】【分析】（1）通过AB∥CD，可得出内错角相等，从而得出AE∥CF。
（2）根据角平分线的性质，可求得△FAC为等腰三角形，从而得出FM⊥AC。
8．【答案】证明：① 为 的角平分线，
，
在 与 中，
，
；
② ，
，
， ，
，
， ，
和 为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
平分 ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，然后结合全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2） 由全等三角形的性质可得∠BCE=∠BDA，根据角的和差关系以及外角的性质可得∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，易知△BCD、△BEA为等腰三角形，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，推出∠DCE=∠DAE，据此可得结论；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由角平分线的性质可得EF=EG，证明△BFE≌△BGE，得到BF=BG，进而证明△AFE≌△CGE，得到FA=CG，据此证明.
9．【答案】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD．
（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
（3）解：猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
【解析】【分析】（1）证明线段和差可转化为证线段相等，本题采取截长法，利用全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质即可获得证明；（2）尽管弱化了条件∠ACB≠90°，类比（1）的转化方法不难得到同样的结论；（3）尽管与（1）相比弱化了条件，同时改变了AD由内角平分线变为外角平分线，但受（1）的思路启发，同样可采用截长法，利用全等三角形判定和性质、等腰三角形判定和性质、三角形外角性质，即可找到三条线段的数量关系。本题充分利用角平分线构造全等三角形从而把问题进行转化是解题的关键，同时要善于把问题前后联系起来，学会类比思考分析。
10．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90° x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
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