第二章有理数的运算学案（无答案）

2.1 有理数的加法
◆要点讲解
1．有理数的加法法则是有理数运算的基础，是学习有理数减法的依据．因此要充分运用课本的引例，认识到有理数加法法则的必要性、合理性．
2．有理数加法法则的发生过程比较复杂，特别是异号两数相加涉及到绝对值的相减、确定和的符号，不易掌握．
3．利用数轴表示有理数的加法运算，在于能直观地理解有理数加法法则的合理性，应强化这种数形结合的数学思想．
4．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，记作a+b=b+a．
5．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，记作（a+b）+c=a+（b+c）．
◆学法指导
1．在进行有理数加法法则的探索过程中要注意法则的特点并进行总结归纳．
2．有理数的运算都可以归结为两个方面：一是符号的确定，二是绝对值的运算．后者在小学里已熟练掌握，因此学习本节时应首先确定和的符号，并在演练时要搞清适用的是法则中的哪一条．
3．有理数加法有两种特例：
（1）一个数与零相加；
（2）互为相反数的两数相加．
4．利用数轴表示有理数的加法运算，一般以原点为起点，规定向右的方向为正方向，向左的方向为负方向．切记：负数表示向左移动，正数表示向右移动．
5．三个或三个以上有理数相加，一般是依次相加，对于有括号的式子，应先进行括号里的运算．
6．有理数加法简便运算的规律：一般情况下同号的有理数分别相加；把互为相反数的数相加；有可凑整数的数可先凑整；有同分母的先加．
7．交换加数位置时，必须把加数的符号一起交换．
8．凡能使用运算律的题，一定要充分利用运算律．
9．有理数加法解决实际问题时，往往不会规定正负数，解决问题时，务必根据题意，合理规定一种意义的量为正，然后列式计算．
◆例题分析
【例1】计算下列各式：
（1）（-10）+（-1）； （2）（-2.5）+（+5）；
（3）（-1）+0； （4）（-）+（+）．
（5）（-40）+（+28）+（-19）+（-31）；
（6）（-2）+（-5）+（+）；
（7）（-2.78）+（-4.05）+（-2.14）+（-5.17）+2.14．
【分析】在进行有理数加法的计算时，必须分清是同号还是异号，再来确定和的符号：①同号时取原来加数的符号；②异号时，取绝对值较大的加数的符号．
多个有理数相加时，为了使运算简便，可以把正数或负数分别结合在一起相加；有相反数的先把相反数相加；能凑整的先凑整；有分母的先把同分母相加．
【例2】在数轴上表示下列有理数的运算，并求出计算结果：
（1）（-2）+（-5）； （2）4+（-3）．
【分析】要利用数轴表示有理数的加法计算，一般以原点为起点，负数表示向左移动，正数表示向右移动，移动结束后看点在原点的左边还是右边，若在左边表示和为负值，若在右边表示和为正值，若在原点表示和为零．
【解】（1）（-2）+（-5）在数轴上表示如图2-1-1所示，结果在原点左侧7个单位处，即（-2）+（-5）=-7．
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（2）4+（-3）在数轴上表示如图2-1-2所示，结果在原点右侧1个单位处，
即4+（-3）=+1．
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【例3】杭州市出租车司机小张某天下午营运全是在东西走向的解放路上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：
+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6
（1）将最后一名乘客送到目的地，小张距下午出车时的出发点有多远？
（2）若汽车耗油量为0．1升/千米，这天下午小张共耗油多少升？
【分析】（1）求小张距下午出发点有多远，应先出求这11个有理数的和，若所得的和是正数，则此和就是出发地距东边的路程；若所得的和是负数，则此和就是出发地距西边的距离．
（2）要求出耗油量，需求出小张一共行的路程．即要求出这11个有理数的绝对值的和再乘以0．1即可．
【解】（1）+15+（-2）+（+5）+（-1）+（+10）+（-3）+（-2）+（+12）+（+4）+（-5）+（+6）=[（+15）+（+5）+（+10）+（+12）+（+4）+（+6）]+[（-2）+（-1）+（-3）+（-2）+（-5）]=+52+（-13）=39（千米）
（2）（│+15│+│-2│+│+5│+│-1│+│+10│+│-3│+│-2│+│+12│+│+4│+│-5│+│+6│）×0.1=65×0.1=6.5（升）
答：将最后一名乘客送到目的地时，小张距下午出发时的出发点有39千米；这天下午共耗油6.5升．
【注意】利用有理数加法运算解决实际问题时，最后要作答．在解题过程中可以不写单位名称，但作答时，必须写清单位名称．
◆练习提升
一、基础训练
1．下列计算正确的是（ ）
A．-│4+1│=-3 B．-7+8=1 C．-13+2=-15 D．-25-9=-16
2．有下列各式：①│0│+（-99）；②（-）+（+0.75）；③（-59）+（-5.7）；④││+（-）；⑤│-1│+（+1.16），其中和为负数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．某公司第一季度亏损50万元，第二季度盈利75万元．记盈利为正，用有理数的加法求第一，二季度的亏损或盈利额．
解：（______）+（______）=_______（万元）
答：第，二季度________万元．
4．计算：
（1）-6+29+（-）；
（2）（-18）+15+（-21）+20；
（3）（-5.28）+（-3.14）+5+2.28；
（4）-1+++1；
（5）│-45│+（-71）+│-5│+（-9）．
5．检修小组从A地出发，在东西方向的路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中行驶记录如下（单位：千米）：
-4，+7，-9，+8，+6，-4，-3
（1）求收工时距A地多远？
（2）若每千米耗油0.3升，问从出发到收工共耗油多少升？
提高训练
6．如果-3加上一个数的相反数等于3，那么这个数是（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
7．一个数是15，另一个数比15的相反数大4，则这两个数的和是（ ）
A．26 B．-4 C．-26 D．4
8．计算：
（1）12.7+（-13.5）； （2）（-）+；
（3）-│-2│+（-7）； （4）-（-56）+│-（-41）│．
9．计算：2+（-4）+6+（-8）+…+2010+（-2012）．
10．某市2005年年底的森林覆盖率达到49.6%，预计到2010年，该市的森林覆盖率将增加5．4个百分点（一个百分点为），问预计在2010年该市的森林覆盖率将达到百分之向？
11．计算+++HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"的值．
2.2 有理数的减法
◆要点讲解
1．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，记作a-b=a+（-b）．
2．有理数减法与有理数加法互为逆运算，它们可以互相转化．
3．在有理数范围内，不存在“不够减”的问题，被减数可以比减数小，差也可能大于被减数．
4．根据有理数减法法则，减法都可以转化成加法，所以有理数的混合运算都可以统一成加法运算．
5．灵活运用结合律、交换律；使有理数加减混合运算更加简捷、准确．
6．省略加号的和式的两种读法：一是强调了加法运算和其中的各个加数；另一种强调了运算意义及运算顺序．
7．把加、减混合运算统一成加法运算，是一个比较复杂的思维和表达过程，不易掌握．
◆学法指导
1．在进行有理数减法运算时，把减法运算转化为加法运算，要注意减法没有交换律．
2．减法转化为加法时，要同时改变两个符号，既改变了运算符号，又改变了减法本身的性质符号，但被减数符号不变．
3．要注意理解“-”号：一是取某个数的相反数，看成性质符号；二是看成减法的运算符号．
4．有理数减法可以分两步进行：第一步是运用有理数减法法则把减法转化为加法；第二步是按有理数加法计算，并且这一步可以用加法交换律和加法结合律．
5．零减去一个数，得到这个数的相反数．
6．有理数的加减混合运算的一般步骤：第一步减法统一成加法；第二步省略加号与括号；第三步用加法法则和加法运算律进行计算．
7．交换加数的位置时，要连同加数的符号一起交换．
8．省略加号的和式是用性质符号替代运算符号．
9．如需添括号，一定要连同加数前面的符号一起括进括号内，并将原来省略的符号写出来．
◆例题分析
【例1】计算：
（1）（-32）-（+5）； （2）7.3-（-6.8）；
（3）（-2）-（-25）； （4）12-21； （5）0-（+19）．
（6）-40-28-（-19）+（-24）-（-32）；
（6）（-3）+（-5）-（-2）+（-8）-（-14.5）；
（8）-6--1+4-4.5+3；
（9）-14+11-（-12）-14+（-11）．
【注意】（1）该题特别容易出错的是零减去某数，第（5）题易得出0-（+19）=19的错误．（2）使用减法法则时，要同时改变两个符号．
（3）将加减法混合算式统一成加法，再省略加号；（4）如式中有理数先将它们合并为0；（5）利用交换律或结合律把同分母或分母间有倍数关系的分数合并在一起比较简便．
【例2】求数轴上表示+1的点A与表示-2的点B之间的距离．
【解】│（+1）-（-2）│=│1+（+2）│=3，
或者│（-2）-（+1）│=│（-2）+（-1）│=│-3│=3．
【注意】数轴上表示有理数a、b的两点间的距离等于│a-b│（或│b-a│）．
【例3】计算：
（1）│-8.5│-│-4.5│；
（2）│（-4）-（-9）│．
【解】（1）│-8.5│-│-4.5│=8.5-4.5=4．
（2）│（-4）-（-9）│=│-4+9│=│+5│=5．
【注意】第（1）题中先分别求出-8.5和-4.5的绝对值，然后求它们的差；第（2）题先求出-4与-9的差，然后求差的绝对值．
【例4】某煤库2005年5月13日库存煤28.3吨，14日到18日进出煤的记录如下表（记运进为正，单位：吨），问到18日止，库存煤有多少吨？
日期 14 15 16 17 18
进出煤吨数 82 -17.5 -30.1 0 68.3
【分析】要综合运用有理数加减混合运算的有关知识解决简单的实际问题．
【解】28.3+82-17.5-30.1+0+68.3
=（28.3+82+68.3）+（-17.5-30.1）
=178.6-47.6=131（吨）
答：到18日止，库存煤131吨．
【注意】运用加减混合运算解决实际问题时，可以直接列出省略加号的和式，并且求库存结余时，应加上原来的库存或结余．
◆练习提升
一、基础训练
1．下列说法中正确的有（ ）
（1）正数与负数的差不一定是正数;（2）负数与负数的差是负数;
（3）负数减去正数的差为负数; （4）正数减去负数的差为正数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数 B．零减去一个数，仍得这个数
C．两个互为相反数的数相减不可能得零 D．减去一个负数，差一定大于被减数
3．在下面各题的括号里填上适当的数：
（1）（_____）-（-5）=-7； （2）（_____）-（+3）=8；
（3）（_____）-（-60）=60； （4）（_____）-（-60）=-60．
4．算式“-3+5-7+2-9”的读法是（ ）
A．3，5，7，2，9的和 B．减3正5负7加2减9
C．负3，正5，减7，正2，减9的和 D．负3，正5，负7，正2，负9的和
5．把-（-15）-（+8）-（-7）+（-4）写成省略加号的和的形式为（ ）
A．-15-8-7+4 B．15+8-7-4 C．15-8+7-4 D．-15-8+7-4
6．被减数是-11.8，差是7.2，则减数是______．
7．世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度是-155米，两处高度相差______米．
8．计算：
（1）（-）-（+）； （2）（+3.7）-（+6.8）； （3）0-（-3.2）；
（4）（-11）-（-4）+（-15）； （5）（-4）-[（-1）+（-）]；
（6）│-│+（-）-│-│； （7）7+-4--18-+6+．
二、提高训练
9．若m，n是两个有理数，那么m-n与m比较，下列说法正确的是（ ）
A．m-n>m B．m-n10．如下图所示，已知A，B，C分别表示有理数a，b，c，试判断下列各式的符号．
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（1）a-b； （2）a+b； （3）c-a； （4）a+b+c； （5）│c│-b．
11．（1）计算：│-5.2│-│（-2.5）-（+0.8）│．
（2）计算：（-3）+（-15）+1-（-15）-（-3）+（-2）．
12．计算：．
13．计算：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"．
计算：HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"（n为正整数）．
2.3 有理数的乘法
◆要点讲解
1．有理数乘法法则的发生过程比较复杂，特别是在日常生活中很少有学生容易理解的两个负数相乘的实例，因此学生对法则的合理性认识有一定困难．
2．几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，偶正，奇负．
3．零没有倒数．
4．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，记作ab=ba．
5．乘法结合律：三个数相乘，先把前面两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，记作（ab）c=a（bc）．
6．乘法分配律：一个数与两个数的积相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，记作a（b+c）=ab+ac．
◆学法指导
1．两个非零的有理数相乘，一般先确定结果的符号，再计算结果的绝对值．
2．多个有理数相乘时，若因数中含有零，结果显然为零，所以计算时要先观察算式中是否含有零因数．
3．有理数相乘时，带分数一般先化为假分数，再进行计算．
4．一个数与+1相乘得原数，一个数与-1相乘得原数的相反数．
5．利用乘法分配律可以使计算简便，有时把分配律反过来用，也可以使计算简便．
6．在不引起误会时，乘号“×”可以省略不写；在不引起误会时，乘号“×”（叉乘）可用“·”（点乘）代替．例如8×5不能写成8·5，更不能写成85．
7．有时把带分数（或小数）拆成一个整数与一个分数（或小数）的和或差，再用分配律，可使运算简便．
8．遇含加、减、乘、括号等混合运算时，要先判断有哪些运算，有没有带括号的，能否利用运算律，若能用运算律，先用运算律；若不能，则按运算顺序计算．
◆例题分析
【例1】计算下列各式：
（1）（+）×（-）； （2）（-2）×（-6）； （3）（-）×（-1）；
（4）（-）×（+12）； （5）（-25）×0； （6）（+1）×（-2）．
（7）（+2）×（-1）×（-）×（+）； （8）-18×（-1+-）．
（9）1999×（-11）．
【注意】（1）有理数的乘法应遵循“符号优先”，先确定符号，再把它们的绝对值相乘；（2）乘法运算，若有因数是带分数，应先化为假分数，再进行相乘，以便约分．（3）在有理数的乘法中，充分灵活运用乘法运算律，使运算简便，巧用运算律时，千万注意符号
【例2】计算：（-2.5）×（+4）×（-0.3）×（+33）×（-7）．
【分析】正确应用符号法则．
【解】（-2.5）×（+4）×（-0.3）×（+33）×（-7）
=-（）×4×××7=-700．
【注意】若多个有理数相乘时，由符号法则确定积的符号，再把它们的绝对值相乘．
【例3】计算：
（1）（-3）×（-4）-（-11）×（-5）； （2）-20-（-6）×（+3）；
（3）-8-[2-（-3）×（-4）]； （4）（-5）×│-2│．
（5）6.868×（-5）+6.868×（-12）+6.868×（+17）；
（6）-3.14×35.2+6.28×（-23.3）-1.57×36.4．
【注意】（1）计算加减乘混合运算时，可以加号或减号为界，分段计算，严格遵守运算顺序；（2）平时注意养成严谨解题的习惯，分清乘法与加法的区别和联系．（3）逆用乘法分配律；（2）3.14，6.28，1.57之间有倍数关系，只要稍加变形就可逆用分配律．
◆练习提升
一、基础训练
1．两数相乘，若积为正数，则这两个数（ ）
A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．异号
2．7个有理数相乘的积是负数，那么其中负因数的个数最多是（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
3．下列变形中不正确的有（ ）
（1）（-7）×8=8×（-7）
（2）[×（-）]×（-4）=×4×
（3）（-3）×（-4+2-3）=（-3）×（-4）-3×2-3×3
（4）2×（-98）=×（-100+2）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．_______的两个数互为倒数，例如：-与_____；1与_______．
5．（1）若ab>0，a<0，则b_____0； 若ab<0，a>0，则b______0；
若a>0，b>0，则ab______0； 若a>0，b<0，则ab______0；
若a<0，b=0，则ab______0．
（2）-×（10-1+0.5）=-8+1-0.4这个运算应用了（ ）
A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
6．三个数的积为0，可以得到（ ）
A．三个数都是零 B．三个数中有一个为零
C．三个数中有两个为零 D．三个数中至少有一个为零
7．计算：
（1）（-2）×3×（-0.5）； （2）（-3-1+1）×（-12）；
（3）3×（-）×（-）； （4）24×（--）；
（5）56×（-1）×（-1）×（-）．
8．若xy=│xy│，则下列说法正确的是（ ）
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0 C．x，y同号 D．xy≥0
9．有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下面各式中错误的是（ ）
A．b<0│a│ C．ab<0 D．a+b>0
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10．计算：
（1）（1-2）×（2-3）×（3-4）×（4-5）×…×（99-100）；
（2）（-1）×（-1）×（-1）×…×（-1）×（-1）．
11．计算：（-5）×（-3）+（-7）×（-3）-12×3．
12．计算：（5-2-1）×（-18）-（-2）×85×（-5）．
13．计算：（2×3×4×5）×（+++）．
14．计算：（+1）+（-3）+（+5）+（-7）+…+（+97）+（-99）．
15．观察下列各式：
1×=×（1-）；
×=×（-）；
×=×（-）；
×=×（-）；
…
（1）你发现有何规律？（用字母表示出来）．
（2）计算：
①1×+×；
②1×+×+×+×；
③1×+×+×+…+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"×．
16．我国股民张斌上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 +2
已知张斌买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果张斌在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
2.4 有理数的除法
◆要点讲解
1．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．零除以任何一个不等于零的数，都得零．
2．乘积为1的两个数互为倒数．
3．除法转化为乘法的运算方法：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
◆学法指导
1．三个或三个以上的有理数相除，通常把除法转化为乘法，统一为乘法运算，也必须先定符合，再算绝对值．
2．分配律适用于除数为单项式的除法．
3．零不能作除数，零没有倒数．
4．一个有理数的倒数与原来同号．
5．注意倒数与相反数的区别．
6．倒数等于本身的数是1或-1．
◆例题分析
【例1】计算：
（1）（-45）÷（-9）； （2）35÷（-7）； （3）（-）÷（-）．
【分析】（1）先确定商的符号为正，再求45与9的商．（2）商的符号为负，再把35化成假分数与相乘． （3）商的符号为正，再把与相乘．
【解】（1）（-45）÷（-9）=45÷9=5．
（2）35÷（-7）=×（-）=-=-5．
（3）（-）÷（-）=（-）×（-）=-．
【注意】把除法转化成乘法后，再确定积的符号，最后求出结果．
【例2】计算：
（1）-÷（-7）×（+2）； （2）3.5÷÷（-1）．
【分析】乘除混合运算，把除法转化为乘法来解，确定符号后，把绝对值相乘．
【解】（1）-÷（-7）×（+2）
=-×（-）×=××=．
（2）3.5÷÷（-1）=××（-）
=-（××）=-．
【注意】除法转化为乘法时，只能把紧挨着除号的除数写成倒数，第（1）题只能把-7写成-，不能把最后一个因数2写成倒数；第（2）题有两个除号，每个除号后面的除数，都要写成倒数．
【例3】计算：
（1）（-）÷； （2）12÷[（-3）÷4]；
（3）-×+÷（-）-÷．
【解】（1）（-）÷=-×=-4．
（2）12÷[（-3）÷4]
=12÷（-）=-（12×）=-16．
（3）-×+÷（-）-÷
=-×+×（-）-×
=（---）×=-1×=-．
【注意】当把除法转化为乘法后可以运用乘法的运算律来计算，如本例的第（1）题，此题也可以按以下顺序：（-）÷=（-）×=-×=-4，结果相同，应当注意除法没有交换律和结合律，如12÷（-3）÷4≠12÷[（-3）÷4]．第（3）题在进行加减乘除混合运算时，一定要注意按照运算顺序进行，能用简便方法计算的尽量用简便方法．
◆练习提升
一、基础训练
1．填空：
（1）（-256）÷（-16）=_______；（2）（-0.009）÷0.03=________；
（3）5÷（-）=_______； （4）0÷（-0.08）=______； （5）-2÷×（-2）=______．
2．-6的倒数的倒数是______．
3．________的倒数是-3.2．
4．倒数是本身的数是______．
5．相反数是本身的数是_______．
6．没有倒数的数是_______．
7．若ab=1，且a=-1，则b=______．
8．若两数和为负数，商为正数，则这两个数（ ）
A．都为负数 B．都为正数 C．一正一负 D．不能确定
9．下列各式中，结果互为倒数的是（ ）
A．a-b和b-a B．（-1）×（-1）和-（1×1）
C．1÷m和m÷1（m≠0） D．2÷6和
10．计算：
（1）-（-1）÷（-）； （2）│-4│÷│-3│；
（3）（-81）÷2×（-）÷16； （4）-1+5÷（-）×（-6）
（5）（-11）÷-（-21）÷-10÷；
（6）（-12）÷（-）．
二、提高训练
11．如果两个有理数的和除以这两个数的积，得商是零，那么这两个有理数（ ）
A．互为倒数 B．有一个数为零
C．都为零 D．互为相反数，但不等于零
12．若=1，则a____0；若=-1，则a______0．
13．若x<0，则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"=______．
14．计算：
（1）[15-（1÷1）-1÷3]÷（-1）； （2）-209÷19；
（3）（-）÷（-+-）．
三、拓展训练
15．若3a=b（b≠0），求-（-b）÷a-+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"的值．
2.5 有理数的乘方
◆要点讲解
1．求n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂，相同的因数叫底数，相同因数的个数指数，在an中，a叫底数，n叫指数．
2．an看作运算时，读作a的n次方，看作结果时读a的n次幂．
3．正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
4．科学记数法是一种记数形式，把一个大于10的数记成a×10n的形式（其中a是大于或等于1，且小于10的数），就是科学记数法，如92000=9.2×104．
5．在这种记数法中，10的指数n的值的确定：n是比原数的整数位数小1的自然数．
6．我们还可以运用科学记数法记小于－10的数，如－1230000=－1.23×106．
学习互动
◆学法指导
1．指数应写在底数的右上角．
2．负数或分数的乘方，书写时一定要把整个负数或分数（连同符号）用括号括起来．
3．注意区别－an与（－a）n的不同意义．
4．任何数的偶次幂都是非负数，偶次幂是负数的有理数不存在，偶次幂为同一个正数的数有两个，并且这两个数互为相反数．
5．0的任何正整数次幂都是零，1的任何次幂都是1，－1的偶次幂为1，－1的奇次幂为－1．
6．采用科学记数法的目的是为了读、写方便．
7．用科学记数法表示的两个数比较大小时，关键是后一部分．
8．用科学记数法表示的数的易错之处：例如把8600写成8600=8.63或8600=86×102，把567.8写成567.8=5.678×103（要分清整数位数是几位）．
◆例题分析
【例1】计算：
（1）（－2）3； （2）－23； （3）－（－2）4；
（4）－； （5）（－）3； （6）（－1）2005．
【分析】（1）（－2）3表示3个（－2）相乘；（2）－23表示23的相反数，即－23=－（2×2×2）；（3）－（－2）4表示（－2）4的相反数；（4）－表示分子3的平方，而分母没有平方；（5）（－）3表示3个（－）相乘；（6）（－1）2005表示2005个（－1）相乘．由乘方运算法则知（－1）2005的结果为负，绝对值等于2005个1相乘．
【解】（1）（－2）3=（－2）×（－2）×（－2）
=－（2×2×2）=－8．
（2）－23=（－2×2×2）=－8．
（3）－（－2）4
=－[（－2）×（－2）×（－2）×（－2）]
=－（2×2×2×2）=－16．
（4）－=－HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"=－=－4．
（5）（－）3=（－）×（－）×（－）=－=－3．
（6）（－1）2005=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"=－1．
【注意】解此类问题应注意：（1）（－2）3与－23，－与（－）2的区别；（2）不要出现（－2）3=（－2）×3之类的错误．
【例2】计算：
（1）－42×（－）2÷0.23；
（2）－8×（－2）4－（－）2×（－16）+×（－3）2．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解】（1）－42×（－）2÷0.23
=－16××53=－1×125=－125．
（2）－8×（－2）4－（－）2×（－16）+×（－3）2
=－8×16－×（－16）+×9=－128+4+4=－120．
【注意】（1）表示乘方时，当底数是分数或负数时，要加上括号，然后在它的右上角写上指数；（2）注意计算时的符号，当a>0时，－an和（－a）n是不同的．对于任何自然数n，－an表示负数，而（－a）n的符号由指数n的奇、偶为确定．当n为奇数时，（－a）n<0；当n为偶数时，（－a）n>0．
【例3】用科学记数法表示下列各数：
（1）－315700； （2）40352； （3）－3801.74．
【分析】科学记数法就是把一个数写成a×10n（1≤│a│<10，n是整数）的形式，我们上前只研究绝对值大于10的数用科学记数法表示．
【解】（1）－315700=－3.157×105；
（2）40352=4.0352×104；
（3）－3801.74=－3.80174×103．
【注意】（1）用科学记数法表示数时，10的幂指数n=原整数位数－1；（2）负数前面的“－”号不能丢掉；（3）a是一个只含有一位整数的数．
【例4】下列用科学记数法表示的数，原数各是什么？
（1）4.21×105； （2）－2.03×104．
【分析】（1）原数的整数位数为5+1=6位；（2）原数是一个负数，且整数位数是4+1=5位．
【解】（1）4.21×105=421000；
（2）－2.03×104=－20300．
【注意】写出用科学记数法表示数的原数时，乘以10的几次方，就将小数点向右移动几位，或找出原来是几位整数，再根据整数的位数，将原数写出来．
【例5】计算下列各式，结果用科学记数法表示：
（1）4.8×106－4.8×107；
（2）（8×103）×（－0.125×102）；
（3）（6.3×108）÷（7×105）．
【解】（1）4.8×106－4.8×107
=4800000－48000000
=－43200000=－4.32×107
（2）（8×103）×（－0.125×102）
=[8×（－0.125）]×（1000×100）
=－1×100000=－1×105；
（3）（6.3×108）÷（7×105）
=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"=0.9×103=9×102．
【注意】（1）对用科学记数法表示的数进行加减运算时，一般先还原，再进行运算；（2）若进行乘法运算时，可以先还原，再相乘，也可以运用乘法交换律和结合律运算；（3）若进行除法运算时，可以先还原，再相除，也可以先写成分数形式，再约分后计算．
◆练习提升
一、基础训练
1．（－7）9中的底数是______，指数是______，读作_______或______，结果是______；
－79中的底数是________，指数是_______，读作_______或______．
2．把下列各式写成乘方运算的形式：
（1）（－5）×（－5）×（－5）=______； （2）5.3×5.3=______；
（3）（－3）×（－3）×（－3）×（－3）=_____；（4）×××=_____．
3．用科学记数法表示下列各数：
（1）1230000=_______________；（2）28679345=________________；
（3）5607.89=________________；（4）－200300=_______________．
4．－58表示（ ）
A．8个－5相乘 B．5个－8相乘
C．8个5相乘的相反数 D．5个8相乘的相反数
5．下列等式成立的个数有（ ）
（1）23=2×3；（2）（－2）3=（－2）×3；（3）－210=（－2）10；
（4）（－2）2=（－2）×（－2）；（5）（－2）3=－23；（6）－（－2）3=8．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数 C．是正数或负数 D．可以是任意有理数
7．(1)把下列用科学记数法表示的数写成原数：
（1）2×104=_____；（2）106=_____；（3）－2.8×103=_______；（4）1.235×102=_______．
(2)在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威”的计算机运算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒________次．
8．若a<0，下列各式不正确的是（ ）
A．a2=（－a）2 B．a2=│a2│ C．a3=（－a）3 D．－a3=（－a）3
9．计算：
（1）若3.85×10x=a×104，求a+x的值． （2）－34÷（－3）4；
（3）（2×103）3； （4）（7.2×105）÷（8×102）；
（5）－23÷（）2×（－）3； （6）（－3）×（－2）2－（－1）2005÷0．5；
（7）－24×（－2）4×（－）8； （8）│－│－│（－2）3×（－2）│+│（－3）3│．
二、提高训练
10．（1）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．－24<（－0.7）2<（－0.8）3 B．（－0.8）3<－24<（－0.7）2
C．－24<（－0.8）3<（－0.7）2 D．（－0.7）2<（－0.8）3<－24
（2）若x，y为有理数，等式（－a）3=a3，（－a）4=a4，（－a）3=－a3，（－a）4=－a4，（x－y）2=（y－x）2，（x－y）3=（y－x）3，（x－y）3=－（y－x）3中，永远成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）下列选项中，都不可能作为n2（n是整数）的末位数字应是（ ）
A．3，4，9，0 B．1，5，6，9 C．2，3，7，8 D．1，4，5，6
（4）计算（－2）2005+（－2）2006得（ ）
A．22005 B．22006 C．－22005 D．－22006
11．计算：－22005×（－）2006．
12．观察下列各式：
12+1=1×2，
22+2=2×3，
32+3=3×4，
…
请你将猜想到的规律用自然数n表示出来．
13．若│a－1│+（b+2）2=0，求（a+b）2005+a2006的值．
三、拓展训练
14．计算：（－1）+（－1）2+…+（－1）99+（－1）100．
15．（1）研究等式1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，可以发现，从1开始，n个连续奇数的和等于_______．
（2）通过计算，比较下列各组数的大小：
①12____21；23____32；34_____43；45_____54；56_____65．
②从第①题的结果经过归纳，当n≥3时猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是_____．
  ③根据上面归纳的猜想得到一般结论，试比较下列两个数的大小：
19981999_____19991998．
2.6 有理数的混合运算
◆要点讲解
1．加法和减法叫做一级运算；乘法和除法叫做二级运算；乘方和开方（今后学习）叫做三级运算．
2．有理数的混合运算顺序：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行．
（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的．
3．若能应用运算律简化运算，则可不按常规顺序运算．
◆学习互动
1．有理数混合运算中，特别要注意乘方运算以及运算中的符号．
2．进行分数的乘方运算，一般要把带分数转化为假分数，把除法转化为乘法．
3．有理数混合运算的关键是确定合理的运算顺序．
4．灵活应用运算律，简化运算，提高解题速度和能力．
◆例题分析
【例1】计算：（－4）×（－）÷（－）－（－）．
【分析】此题应先计算（－）3，再算乘、除，最后计算减法．
【解】（－4）×（－）÷（－HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"）－（－）3
=（－4）×（－）×（－）－（－）
=－5+=－4．
【注意】本题含有乘方、乘除和减法的混合运算，运算顺序应分为三步：第一步将除法变为乘法；第二步分别计算出乘法的结果和乘方的结果；第三步将上面计算出的两个结果相减．
【例2】计算：（－2）2－（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"－－HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"）×（－12）×（－5）．
【分析】此题中有乘方、乘法、加减等运算，且有小括号．确定运算步骤：一般情况，先算小括号和乘方，再算三个因数相乘，最后算减法，但我们发现（－12）×（－5）=60，（－－）×60可用分配律简便运算，故我们可以先算（－2）2，同时算（－12）×（－5），再用分配律算（－－）×60，最后算减法．
【解】（－2）2－（－）×（－12）×（－5）
=4－（－－）×60
=4－×60+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"×60+×60
=4－25+28+2=9
【注意】有些学生解本题时往往出现以下错误解法：
（－2）2－（－－）×（－12）×（－5）
=4－×60－×60－×60=4－25－28－2=－51
造成错误的原因是运用分配律去括号时，只把括号中第一项变号，而没有把括号内所有的项都变号．
◆练习提升
一、基础训练
1．填空题：
（1）－3+5－=______； （2）－2×2－3×（－1）2=______；
（3）（－15+5）÷5×=______；（4）（－81）÷（－3）2×3=______；
（5）－32－（－2）3=_____； （6）4－（－2）2－32÷（－1）+0×（－5）2=______．
2．下列结果是负数的是（ ）
A．－[－（－3）]+3 B．－│－4│－（+8）
C．－32+（－3）2－（－5） D．[（－1）7+（－3）2]×（－1）4
3．下列式子的值与（－5－2）5相等的是（ ）
A．（－5）5+（－2）5 B．－105 C．（－3）5 D．－75
4．下列等式中，用错了运算律的是（ ）
A．（3+4）+5=（3+5）+4 B．3×4×5=5×（3×4）
C．3×（4+5）=3×4+3×5 D．3÷（4+5）=3÷4+3÷5
5．－4÷×（－）的结果是（ ）
A．4 B．－4 C． D．
6．计算：－22+（－2）2－（－1）3×（－）÷－│－1│．
7．计算：2+10÷23×（－）－1．
8．计算：－14－（1－0.5）××[2－（－3）2]．
9．计算：－4.165×+×7.665－（HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网"－+）÷（－）．
二、提高训练
10．计算：（－+－）×36+2.75×（－3.6）+×（－3.6）．
11．计算：4492×0.25－1992×1.25+1998×0.5．
12．计算：（3－5）7×（0.5）7－（0.125）8×88．
13．如下图，甲，乙，丙三个容器，甲为立方体，内壁的各条棱长为8厘米；乙为圆柱体，内壁高6厘米，内部底面半径为3厘米；丙是长方体，长12厘米，宽6厘米，高6厘米．甲容器盛满酒精，把甲容器内的酒精倒满与乙相同的2个容器，然后把剩下的酒精倒入丙容器，求丙容器内酒精的高度（取3，结果精确到0.1厘米）．
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三、拓展训练
14．有一种“二十四点”的游戏，其中游戏规则是这样的：任取4个1至13之间的自然数，将这4个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．
例如对1，2，3，4可以运算：（1+2+3）×4=24（注意上述运算与4×（2+3+1）应视相同方法的运算）
现有4个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出3种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算如下：
（1）___________________；
（2）____________________；
（3）____________________．
另外有4个数3，－5，7，－13可通过_________________，使其结果等于24．