初中数学浙教版八年级上册第一章 三角形的初步知识 单元检测（基础篇）
一、单选题
1．（2019八上·景县期中）下列图形中与最右边图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020七下·哈尔滨期中）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2020七下·越秀月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．无限小数是无理数
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．（2020八上·苍南期末）下列选项中，可以用来证明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题的反例的是（ ）
A．a=3 B．a=0 C．a=-2 D．a=-3
6．（2019八上·长兴月考）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，则∠DAC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．150° D．80°
7．（2019八上·霸州期中）下列是利用了三角形的稳定性的有（ ）
①自行车的三角形车架：②校门口的自动伸缩栅栏门：③照相机的三脚架：④长方形门框的斜拉条
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．用一把带有刻度的直角尺，（1）可以画出两条平行线；（2）可以画出一个角的平分线；（3）可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2019八上·南关期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（ ）
A．36 B．24 C．18 D．16
10．（2019八上·睢宁月考）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
二、填空题
11．（2019七下·景县期中）把命题“平行于同一直线的两条直线平行”写成“如果
，那么 ”的形式.
12．（2019八上·淮安期中）已知△ABC≌△DEF，若∠B=40°，∠D=30°，则∠F= .
13．（2019八上·松滋期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 .
14．（2020七下·青岛期中）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC中点，若S△ABC＝36，则S△ADF－S△BEF ＝ ．
15．（2019八上·台安月考）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是 .
16．（2019八上·湖州期中）如图：有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到离A的距离等于 时，ΔABC和ΔPQA全等.
三、解答题
17．（2020七下·青岛期中）（用直尺和圆规作图）
已知：线段 ，求作： ，使 .
18．（2019八上·港南期中）如图，点 ， 在 的边 上， ， ，求证： .
19．（2019八下·新田期中）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.
20．（2019八上·义乌月考）如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．
（1）当∠A=40°,∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；
（2）
当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）
（3）
小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP,那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
21．（2019八上·绍兴月考）探究与发现：在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上(点B、C除外)，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE.
（1）如图①，若∠B＝∠C＝45 ，
①当∠BAD＝60 时，求∠CDE的度数；
②试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由.
（2）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45 ，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
22．（2020八上·赣榆期末）已知：如图，点 在 的边 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若 的平分线 交 于点 ， 交 于点 ，设 ， ，求 的长.
23．（2019八上·霸州期中）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
24．（2020八上·漯河期末）如图，△ ABC中，∠
ABC＝90°，AB＝BC，D在边 AC上，AE┴ BD于 E.
（1）如图 1，作 CF⊥ BD于 F，求证：CF－AE＝EF；
（2）如图 2，若 BC＝CD，求证：BD=2AE ；
（3）如图3，作 BM ⊥BE，且 BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接 CM交 BE于 N，请直接写出△BCM的面积为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：与右边图形的全等的图形为B选项。
故答案为：B。
【分析】根据图形全等的含义即可得到答案。
2．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可得，线段BE是 的高的图是D选项．
故答案为：D
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上垂线，垂足为E，其中线段BE是 的高．
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的三边关系定理进行判断，可得答案。
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，是假命题，不符合题意；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
D、在同一平面内,过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义、点到直线的距离的定义、平行线的判定和垂直公理逐一判断即可．
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a=-3时，∴|a|=3>2，
则-3＜-2，
∴原命题是假命题.
故选D.
【分析】要证明一个命题是假命题，可以通过举反例的方法来证明即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC=∠B+∠C
∴∠DAC=70°+30°=100°.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求出∠DAC的度数。
7．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．
故利用了三角形稳定性的有3个．
故答案为：C．
【分析】根据只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性回答即可．
8．【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：（1）任意画出一条直线，在直线的同旁作出两条垂线段，并且这两条垂线段相等．过这两条垂线段的另一端点画直线，与已知直线平行，正确；（2）可先在这个角的两边量出相等的两条线段长，过这两条线段的端点向角的内部应垂线，过角的顶点和两垂线的交点的射线就是角的平分线，正确；（3）可让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心，正确．
故答案为：D．
【分析】 根据同垂直于一条直线的两直线平行，可对（1）作出判断；利用全等三角形的判定和性质，可对（2）作出判断；利用让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心（圆周角定理），可对（3）作出判断，综上所述，可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵ME、NF分别为AB、BC的垂直平分线，
∴AM＝MB，NB＝NC，
又∵△MNB的周长＝BM＋MN＋NB＝AM＋MN＋NC＝AC，
∴△BMN的周长等于24，
故答案为：B.
【分析】 本题运用线段垂直平分线的特点可以得到AM＝BM，BN＝CN，△BMN的周长＝BM＋MN＋NB＝MA＋NC＋MN＝AC，就可以得出结果.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据全等三角形的判定方法分别进行判定：
A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意。
故答案为：C。
【分析】全等三角形的判定方法有：边边边、边角边、角边角、角角边，直角三角形的全等判定还有直角边斜边。
11．【答案】两条直线平行于同一条直线；这两条直线互相平行
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
【分析】根据题意，将命题进行改写即可。
12．【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E，
又∵∠B=40°，
∴∠E=40°，
又∵∠D=30°，
∴在△DEF中，∠F=180°-40°-30°=110°.
故答案为：110°.
【分析】根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠E=40°，进而根据三角形的内角和定理即可算出∠F的度数.
13．【答案】30
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E.
又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积 AB DE 15×4＝30.
故答案为：30.
【分析】 过点D作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝CD=4，进而根据三角形的面积计算方法算出答案.
14．【答案】9.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵在△ABC中，E是BC上的一点，EC=3BE，
∴S△ACE=3S△AEB= S△ACB= ×36=27，
∵点D是AC的中点，
∴S△ABD=S△CBD= S△ACB=18，
∵设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，
∴S1-S2=27-18=9．
故答案为：9．
【分析】直接利用三角形各边之间关系得出面积关系，进而得出答案．
15．【答案】∠C=∠D（或∠B=∠E或AB=AE）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE.
（ 1 ）添加∠C＝∠D.
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
（ 2 ）添加∠B＝∠E.
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）；
（ 3 ）添加AB＝AE
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD
∴∠CAB＝∠DAE
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）
故答案是：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE.
【分析】由已知∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，又有AC＝AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可.可根据判定定理ASA、SAS尝试添加条件.
16．【答案】5或10
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵∠C=90°，AQ⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
（ 1 ）当AP=BC=5时，
在RtΔACB和RtΔQAP中 ,
∴RtΔACB≌RtΔQAP(HL)；
（ 2 ）当AP=CA=10时，
在RtΔACB和RtΔPAQ中 ，
∴RtΔACB≌RtΔPAQ(HL)；
故答案为：5或10.
【分析】分AP=BC与AP=CA两种情况考虑即可得出答案.
17．【答案】作法：如图，
①以点O为圆心，c长为半径画弧，分别交∠O的两边于点E，F；
②画一条射线AP，以点A为圆心，c长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，a长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】先作∠PAD=∠ ，再在射线AD上截取AC= 得到点C，即可得到符合要求的图形．
18．【答案】证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ .
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意用边角边可证△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可求解.
19．【答案】解：过点P作PE⊥OB，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°.
∵PE⊥OB, PC=4,
∴PE=2.
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，
∴PD= PE=2.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】过点P作PE⊥OB，, 得到∠PCE=∠AOB=30°,从而得到PE=2，再根据OP是∠AOB的平分线，即可解答
20．【答案】（1）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，
∴∠ABC+∠ACB=2∠2+2∠4
∵∠A=40°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=2∠2=180°-40°-60°=80°，
∴∠2=30°，∠4=40°，
∴∠BPC=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°.
（2）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，∵∠A= α° ，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- α°即2∠2+2∠4=180°- α°∴∠2+∠4=，∵∠BPC=180°-（∠2+∠4）=180°-（）=；
（3）证明：如图，
∵BQ⊥BP
∴∠QBP=∠2+∠QBC=90°，
∴∠1+∠QBP+∠DBQ=180°，
∴∠1+∠DBQ=90°，
∵∠1=∠2
∴∠QBC=∠DBQ，
∴BQ是∠CBD的平分线.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，可证得∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，再利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，就可求出∠2和∠4的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BPC的度数.
（2）利用角平分线的定义及三角形内角和定理，易证∠ABC+∠ACB=180°- α°，∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，代入计算可求出∠2+∠4的值，再利用三角形内角和定理就可用含α°的代数式表示出∠BPC.
（3）利用垂直的定义及平角的定义，可证得∠1+∠DBQ=90°，∠2+∠QBC=90°，再利用余角的性质，可证得∠QBC=∠DBQ，继而可证得结论。
21．【答案】（1）解：①∵∠ADC是△ABD的外角，∠B=45°，∠BAD=60°，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°+45°=105°，
∵∠B＝∠C＝45 ，
∴∠BAC=90°，
∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°-60°=30°，
∴∠ADE=∠AED= = = 75°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE =105°﹣75°=30°；
②∠BAD=2∠CDE，
理由如下：设∠BAD=x，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x，
∵∠B＝∠C＝45 ，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣x，
∴∠ADE=∠AED= = ，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE =45°+x﹣ = x，
∴∠BAD=2∠CDE
（2）解：设∠BAD=x，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，
∵∠B＝∠C，
∴∠BAC=180°﹣2∠C，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=180°﹣2∠C﹣x，
∴∠ADE=∠AED= = =∠C+ x，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=（∠B+x）﹣(∠C+ x)= x，
∴∠BAD=2∠CDE.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）①由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠ADC=∠BAD+∠B可求得∠ADC的度数； 由三角形内角和定理可求得∠BAC=90°， 由角的构成得∠DAE=∠BAC﹣∠BAD求得∠DAE的度数，用三角形内角和定理可求得∠ADE=∠AED=（180-∠DAE）， 由角的构成得 ∠CDE=∠ADC-∠ADE可求解；
②∠BAD=2∠CDE，理由如下：同理可求解；
（2）同理可得∠BAD=2∠CDE.
22．【答案】（1）证明：在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴
（2）解：∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在三角形ABE与三角形ABC中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和定理即可得证；（2）由FD与BC平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据AF为角平分线得到一对角相等，再由AF=AF，利用ASA得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AD，由AC-AD求出DC的长即可.
23．【答案】（1）解： 分别是线段 的垂直平分线，
的周长为 ，
即
（2）解： 边的垂直平分线 交 于 ， 边的垂直平分线 交 于 ，
的周长为 即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出 再根据 即可得出结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出 再由 的周长为 求出 的长，进而得出结论．
24．【答案】（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在 中，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF，AE=BF，
∴CF-AE= BE-BF=EF.
（2）解：过点C作 CF⊥BD于点F，
∵BC=CD
∴BF=DF
由（1）得AE=BF，
∴AE=DF
∴BD=2AE
（3）5
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：(3) 由（1）得△ABE≌△BCF
∵BM＝BE
∴BM＝CF
∵BM ⊥BE，∴∠MBN=∠CFN
又∠MNB=∠CNF
∴△BMN≌△FCN，∴BN=FN
∵AE＝2，EN＝4，
∴BF=AE=2,BN= BF=1
故BE=5,
∴S△BCM= S△BCN+S△MBN = S△BCN+S△CFN=
【分析】（1）根据已知条件证明△ABE≌△BCF，即可求解；（2）过点C作 CF⊥BD于点F，由（1）可知AE=BF=DF，故可求解；（3）过点C作 CF⊥BD于点F，由（1）得△ABE≌△BCF，再证△BMN≌△FCN,根据S△BCM= S△BCN+S△MBN = S△BCN+S△CFN= S△BCM= 即可求解.
1 / 1初中数学浙教版八年级上册第一章 三角形的初步知识 单元检测（基础篇）
一、单选题
1．（2019八上·景县期中）下列图形中与最右边图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：与右边图形的全等的图形为B选项。
故答案为：B。
【分析】根据图形全等的含义即可得到答案。
2．（2020七下·哈尔滨期中）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可得，线段BE是 的高的图是D选项．
故答案为：D
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上垂线，垂足为E，其中线段BE是 的高．
3．（2020·绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故答案为：B．
【分析】利用三角形的三边关系定理进行判断，可得答案。
4．（2020七下·越秀月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．无限小数是无理数
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，是假命题，不符合题意；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
D、在同一平面内,过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义、点到直线的距离的定义、平行线的判定和垂直公理逐一判断即可．
5．（2020八上·苍南期末）下列选项中，可以用来证明命题“若|a|>2，则a>2”是假命题的反例的是（ ）
A．a=3 B．a=0 C．a=-2 D．a=-3
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a=-3时，∴|a|=3>2，
则-3＜-2，
∴原命题是假命题.
故选D.
【分析】要证明一个命题是假命题，可以通过举反例的方法来证明即可.
6．（2019八上·长兴月考）如图，在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，则∠DAC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．150° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC=∠B+∠C
∴∠DAC=70°+30°=100°.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，即可求出∠DAC的度数。
7．（2019八上·霸州期中）下列是利用了三角形的稳定性的有（ ）
①自行车的三角形车架：②校门口的自动伸缩栅栏门：③照相机的三脚架：④长方形门框的斜拉条
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】①自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性；②校门口的自动伸缩栅栏门，利用了四边形的不稳定性；③照相机的三脚架，利用了三角形的稳定性；④长方形门框的斜拉条，利用了三角形的稳定性．
故利用了三角形稳定性的有3个．
故答案为：C．
【分析】根据只要三角形的三边确定，则三角形的大小唯一确定，即三角形的稳定性回答即可．
8．用一把带有刻度的直角尺，（1）可以画出两条平行线；（2）可以画出一个角的平分线；（3）可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】尺规作图的定义
【解析】【解答】解：（1）任意画出一条直线，在直线的同旁作出两条垂线段，并且这两条垂线段相等．过这两条垂线段的另一端点画直线，与已知直线平行，正确；（2）可先在这个角的两边量出相等的两条线段长，过这两条线段的端点向角的内部应垂线，过角的顶点和两垂线的交点的射线就是角的平分线，正确；（3）可让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心，正确．
故答案为：D．
【分析】 根据同垂直于一条直线的两直线平行，可对（1）作出判断；利用全等三角形的判定和性质，可对（2）作出判断；利用让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心（圆周角定理），可对（3）作出判断，综上所述，可得出答案。
9．（2019八上·南关期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点E，BC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点F，连接BM，BN，若AC＝24，则△BMN的周长是（ ）
A．36 B．24 C．18 D．16
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵ME、NF分别为AB、BC的垂直平分线，
∴AM＝MB，NB＝NC，
又∵△MNB的周长＝BM＋MN＋NB＝AM＋MN＋NC＝AC，
∴△BMN的周长等于24，
故答案为：B.
【分析】 本题运用线段垂直平分线的特点可以得到AM＝BM，BN＝CN，△BMN的周长＝BM＋MN＋NB＝MA＋NC＋MN＝AC，就可以得出结果.
10．（2019八上·睢宁月考）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】根据全等三角形的判定方法分别进行判定：
A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意。
故答案为：C。
【分析】全等三角形的判定方法有：边边边、边角边、角边角、角角边，直角三角形的全等判定还有直角边斜边。
二、填空题
11．（2019七下·景县期中）把命题“平行于同一直线的两条直线平行”写成“如果
，那么 ”的形式.
【答案】两条直线平行于同一条直线；这两条直线互相平行
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行。
【分析】根据题意，将命题进行改写即可。
12．（2019八上·淮安期中）已知△ABC≌△DEF，若∠B=40°，∠D=30°，则∠F= .
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E，
又∵∠B=40°，
∴∠E=40°，
又∵∠D=30°，
∴在△DEF中，∠F=180°-40°-30°=110°.
故答案为：110°.
【分析】根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠E=40°，进而根据三角形的内角和定理即可算出∠F的度数.
13．（2019八上·松滋期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是 .
【答案】30
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E.
又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积 AB DE 15×4＝30.
故答案为：30.
【分析】 过点D作DE⊥AB于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝CD=4，进而根据三角形的面积计算方法算出答案.
14．（2020七下·青岛期中）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝3BE，点D是AC中点，若S△ABC＝36，则S△ADF－S△BEF ＝ ．
【答案】9.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵在△ABC中，E是BC上的一点，EC=3BE，
∴S△ACE=3S△AEB= S△ACB= ×36=27，
∵点D是AC的中点，
∴S△ABD=S△CBD= S△ACB=18，
∵设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，
∴S1-S2=27-18=9．
故答案为：9．
【分析】直接利用三角形各边之间关系得出面积关系，进而得出答案．
15．（2019八上·台安月考）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是 .
【答案】∠C=∠D（或∠B=∠E或AB=AE）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE.
（ 1 ）添加∠C＝∠D.
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）；
（ 2 ）添加∠B＝∠E.
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE，
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）；
（ 3 ）添加AB＝AE
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD
∴∠CAB＝∠DAE
在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）
故答案是：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE.
【分析】由已知∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，又有AC＝AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可.可根据判定定理ASA、SAS尝试添加条件.
16．（2019八上·湖州期中）如图：有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问P点运动到离A的距离等于 时，ΔABC和ΔPQA全等.
【答案】5或10
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵∠C=90°，AQ⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
（ 1 ）当AP=BC=5时，
在RtΔACB和RtΔQAP中 ,
∴RtΔACB≌RtΔQAP(HL)；
（ 2 ）当AP=CA=10时，
在RtΔACB和RtΔPAQ中 ，
∴RtΔACB≌RtΔPAQ(HL)；
故答案为：5或10.
【分析】分AP=BC与AP=CA两种情况考虑即可得出答案.
三、解答题
17．（2020七下·青岛期中）（用直尺和圆规作图）
已知：线段 ，求作： ，使 .
【答案】作法：如图，
①以点O为圆心，c长为半径画弧，分别交∠O的两边于点E，F；
②画一条射线AP，以点A为圆心，c长为半径画弧，交AP于点B；
③以点B为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D；
④画射线AD；
⑤以点A为圆心，a长为半径画弧，交AD于点C；
⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】先作∠PAD=∠ ，再在射线AD上截取AC= 得到点C，即可得到符合要求的图形．
18．（2019八上·港南期中）如图，点 ， 在 的边 上， ， ，求证： .
【答案】证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ .
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由题意用边角边可证△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可求解.
19．（2019八下·新田期中）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB角平分线上一点，CP∥OA，交OB于点C，PD⊥OA，垂足为点D，且PC=4，求PD的长.
【答案】解：过点P作PE⊥OB，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°.
∵PE⊥OB, PC=4,
∴PE=2.
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PD⊥OA，
∴PD= PE=2.
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】过点P作PE⊥OB，, 得到∠PCE=∠AOB=30°,从而得到PE=2，再根据OP是∠AOB的平分线，即可解答
20．（2019八上·义乌月考）如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．
（1）当∠A=40°,∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；
（2）
当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）
（3）
小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP,那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.
【答案】（1）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，
∴∠ABC+∠ACB=2∠2+2∠4
∵∠A=40°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=2∠2=180°-40°-60°=80°，
∴∠2=30°，∠4=40°，
∴∠BPC=180°-∠2-∠4=180°-30°-40°=110°.
（2）解： ∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，∵∠A= α° ，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- α°即2∠2+2∠4=180°- α°∴∠2+∠4=，∵∠BPC=180°-（∠2+∠4）=180°-（）=；
（3）证明：如图，
∵BQ⊥BP
∴∠QBP=∠2+∠QBC=90°，
∴∠1+∠QBP+∠DBQ=180°，
∴∠1+∠DBQ=90°，
∵∠1=∠2
∴∠QBC=∠DBQ，
∴BQ是∠CBD的平分线.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义，可证得∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，再利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，就可求出∠2和∠4的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠BPC的度数.
（2）利用角平分线的定义及三角形内角和定理，易证∠ABC+∠ACB=180°- α°，∠ABC=2∠2，∠ACB=2∠4，代入计算可求出∠2+∠4的值，再利用三角形内角和定理就可用含α°的代数式表示出∠BPC.
（3）利用垂直的定义及平角的定义，可证得∠1+∠DBQ=90°，∠2+∠QBC=90°，再利用余角的性质，可证得∠QBC=∠DBQ，继而可证得结论。
21．（2019八上·绍兴月考）探究与发现：在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上(点B、C除外)，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE.
（1）如图①，若∠B＝∠C＝45 ，
①当∠BAD＝60 时，求∠CDE的度数；
②试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由.
（2）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45 ，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：①∵∠ADC是△ABD的外角，∠B=45°，∠BAD=60°，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°+45°=105°，
∵∠B＝∠C＝45 ，
∴∠BAC=90°，
∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°-60°=30°，
∴∠ADE=∠AED= = = 75°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE =105°﹣75°=30°；
②∠BAD=2∠CDE，
理由如下：设∠BAD=x，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x，
∵∠B＝∠C＝45 ，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣x，
∴∠ADE=∠AED= = ，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE =45°+x﹣ = x，
∴∠BAD=2∠CDE
（2）解：设∠BAD=x，
∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，
∵∠B＝∠C，
∴∠BAC=180°﹣2∠C，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=180°﹣2∠C﹣x，
∴∠ADE=∠AED= = =∠C+ x，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=（∠B+x）﹣(∠C+ x)= x，
∴∠BAD=2∠CDE.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）①由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠ADC=∠BAD+∠B可求得∠ADC的度数； 由三角形内角和定理可求得∠BAC=90°， 由角的构成得∠DAE=∠BAC﹣∠BAD求得∠DAE的度数，用三角形内角和定理可求得∠ADE=∠AED=（180-∠DAE）， 由角的构成得 ∠CDE=∠ADC-∠ADE可求解；
②∠BAD=2∠CDE，理由如下：同理可求解；
（2）同理可得∠BAD=2∠CDE.
22．（2020八上·赣榆期末）已知：如图，点 在 的边 上，且 .
（1）求证： ；
（2）若 的平分线 交 于点 ， 交 于点 ，设 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴
（2）解：∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在三角形ABE与三角形ABC中，由一对公共角相等，以及已知角相等，利用内角和定理即可得证；（2）由FD与BC平行，得到一对同位角相等，再由第一问的结论等量代换得到一对角相等，根据AF为角平分线得到一对角相等，再由AF=AF，利用ASA得到三角形ABE与三角形ADF全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=AD，由AC-AD求出DC的长即可.
23．（2019八上·霸州期中）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
【答案】（1）解： 分别是线段 的垂直平分线，
的周长为 ，
即
（2）解： 边的垂直平分线 交 于 ， 边的垂直平分线 交 于 ，
的周长为 即
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出 再根据 即可得出结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出 再由 的周长为 求出 的长，进而得出结论．
24．（2020八上·漯河期末）如图，△ ABC中，∠
ABC＝90°，AB＝BC，D在边 AC上，AE┴ BD于 E.
（1）如图 1，作 CF⊥ BD于 F，求证：CF－AE＝EF；
（2）如图 2，若 BC＝CD，求证：BD=2AE ；
（3）如图3，作 BM ⊥BE，且 BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接 CM交 BE于 N，请直接写出△BCM的面积为 .
【答案】（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在 中，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF，AE=BF，
∴CF-AE= BE-BF=EF.
（2）解：过点C作 CF⊥BD于点F，
∵BC=CD
∴BF=DF
由（1）得AE=BF，
∴AE=DF
∴BD=2AE
（3）5
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：(3) 由（1）得△ABE≌△BCF
∵BM＝BE
∴BM＝CF
∵BM ⊥BE，∴∠MBN=∠CFN
又∠MNB=∠CNF
∴△BMN≌△FCN，∴BN=FN
∵AE＝2，EN＝4，
∴BF=AE=2,BN= BF=1
故BE=5,
∴S△BCM= S△BCN+S△MBN = S△BCN+S△CFN=
【分析】（1）根据已知条件证明△ABE≌△BCF，即可求解；（2）过点C作 CF⊥BD于点F，由（1）可知AE=BF=DF，故可求解；（3）过点C作 CF⊥BD于点F，由（1）得△ABE≌△BCF，再证△BMN≌△FCN,根据S△BCM= S△BCN+S△MBN = S△BCN+S△CFN= S△BCM= 即可求解.
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