2022-2023学年浙教版八年级数学下册5.3 正方形同步练习（word版含答案）

浙教版 八下（浙教版）第5章 特殊平行四边形5.3 正方形
一、选择题（共9小题）
1. 如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形
2. 四边形 的对角线 ， 相交于点 ，能判定它为正方形的条件是
A. B.
C. ，， D. ，
3. 如图所示，在矩形 中，，， 分别是 ， 的中点，连接 与 ， 与 分别交于点 ，，连接 ，则图中一共有 个正方形．
A. B. C. D.
4. 甲、乙、丙、丁四名同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：甲量得构件四边都相等；乙量得构件的两条对角线相等；丙量得构件的一组邻边相等；丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 如图所示，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕所成角的度数为
A. B. C. D.
6. 如图所示，正方形 的边长为 ，在各边上顺次截取 ，则四边形 的面积是
A. B. C. D.
7. 如图所示，在一张 的方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，则在该 方格纸上最多可画出的正方形的个数是
A. B. C. D.
8. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ．请你从中选两个作为补充条件，使平行四边形 为正方形（如图所示）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
9. 如图所示，将长方形纸片折叠，使点 落在 上的点 处，折痕为 ，若沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形
二、填空题（共6小题）
10. 如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是 ．
11. 如图所示，在矩形 中，， 分别是边 ， 的中点，， 分别是边 ， 的中点，当 时，四边形 是正方形．
12. 如图所示， 是 的角平分线，，交 于点 ，，交 于点 ，当 满足条件 时，四边形 是正方形．
13. 如图所示，在 中， 是 上一动点，过点 作直线 ，设 交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ，若点 运动到 的中点，则 度时，四边形 是正方形．
14. 如图所示，在四边形 中，，， 于点 ．若四边形 的面积是 ，则 的长是 ．
15. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 ，，若我们将菱形的“接近度”定义为 ，于是 越小，菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为 时，“接近度” ．
②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为 ，则：
①当菱形的一个内角为 时，“接近度” ．
②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形．
（3）甲、乙两名同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下两种矩形的“接近度”的定义，在你认为合理的定义后面打“”，不合理的打“”．
①甲：设矩形相邻两条边长分别是 和 ，将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩形越接近于正方形． ．
②乙：设矩形相邻两条边长分别是 和 ，将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩形越接近于正方形． ．
三、解答题（共6小题）
16. 如图所示，在矩形 中， 的平分线交对角线 于点 ，，，垂足分别为点 ，．判定四边形 的形状，并证明你的结论．
17. 如图所示，在 中，， 是 的中点，，，垂足分别为点 ，．
（1）求证：．
（2）只添加一个条件，使四边形 是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
18. 如图所示，在 中， 是 边上的一点， 是 的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的中点．
（2）如果 ，试猜想四边形 的形状，并证明你的结论．
（3）当 满足什么条件时，四边形 为正方形 并证明你的结论．
19. 两个长为 ，宽为 的长方形，摆放在直线 上（如图1所示），，将长方形 绕着点 顺时针旋转 角，将长方形 绕着点 逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点 ， 重合时，连接 （如图2所示），求点 到 的距离．
（2）当 时（如图3所示），求证：四边形 为正方形．
20. 如图所示， 垂直平分 ，并交 于点 ，过点 作 ，，垂足分别为点 ，．
（1）求证：；
（2）若 ，求证：四边形 是正方形．
21. 以四边形 的边 ，，， 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 ，，，，顺次连接这四个点，得四边形 ．
（1）如图1所示，当四边形 为正方形时，我们发现四边形 是正方形；如图2所示，当四边形 为矩形时，请判断四边形 的形状（不要求证明）．
（2）如图3所示，当四边形 为一般平行四边形时，设 ．
①试用含 的代数式表示 ．
②求证：．
③四边形 是什么四边形 请说明理由．
答案
1. C
2. D
3. D
4. D
5. C
6. B
7. D
8. B
9. A
10. 正方形
11.
12.
13.
14.
15. ，，，，，
16. 四边形 是正方形．
证明： 四边形 为矩形，
．
，，
．
，
四边形 为矩形．
平分 ，
．
四边形 为正方形．
17. （1） 因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ．
又因为 是 的中点，
所以 ．
所以 ．
故 ．
（2） 添加的条件为① ；② ．
18. （1） ，，
四边形 为平行四边形．
为 的中点，，
，．
在 和 中，
．
．
，即 为 的中点．
（2） 四边形 为矩形．理由如下：
， 为 的中点，
．
．
平行四边形 为矩形．
（3） 当 为等腰直角三角形时，四边形 为正方形．
理由如下：
为等腰直角三角形， 为 中点，
，．
矩形 为正方形．
19. （1） 作 于点 ．
因为 ，
所以 是等边三角形．
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ，
所以点 到 的距离为 ．
（2） 因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．
因为 ，
所以四边形 是矩形．
因为 ，
所以 ．
所以矩形 是正方形．
20. （1） 因为 是 的垂直平分线，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（2） 因为 ，，，
即 ，
所以四边形 是矩形．
又因为 ，，，
所以 ．
所以矩形 是正方形．
21. （1） 四边形 的形状是正方形．
（2） ① 在平行四边形 中，，
．
和 是等腰直角三角形，
．
② 和 是等腰直角三角形，
，．
在平行四边形 中，，
．
和 是等腰直角三角形．
．
．
是等腰直角三角形，
．
．
．
③四边形 是正方形，理由如下：
由②同理可得 ，．
，
．
四边形 是菱形．
，
．
，
．
四边形 是正方形．