特殊三角形—等腰三角形的判定21世纪教育网
一、选择题（共20小题）
1、下列说法正确的是（ ）
A、当x=±1时，分式的值为零 B、若4x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值一定为12
C、若8a4bm+2n÷6a2mb6的结果为常数，则m=n=2 D、若△ABC的三边abc满足a4﹣b4﹣c2（a2﹣b2）=0，则△ABC是等腰直角三角形
2、△ABC的三边满足a2﹣2bc=c2﹣2ab，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等边三角形 D、锐角三角形
3、（2006?温州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（ ）
A、6 B、5
C、4 D、3
4、若三角形中一角的平分线是它对边的中线，则这个三角形一定是（ ）三角形．
A、等腰 B、直角
C、等边 D、等腰直角
5、下列说法中，正确的是（ ）
A、两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B、有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C、两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D、两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
6、下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
错误的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个21世纪教育网版权所有
7、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+BD，下列正确的是（ ）
A、∠B=∠C B、∠B=2∠C
C、∠B=3∠C D、∠B=∠C
8、下列命题中正确的命题是（ ）
A、有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B、两个等边三角形全等
C、各有一个角是40°的两个等腰三角形全等 D、三条边对应相等的两个三角形的对应角也相等
9、（2009?营口）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE的长是（ ）
A、3 B、6
C、2 D、3
10、三角形中，一条边的垂直平分线恰好经过三角形的另一个顶点，那么这个三角形一定是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等边三角形 D、等腰直角三角形
11、（2011?十堰）如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有（ ）
A、4个 B、6个
C、7个 D、9个
12、（2010?株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A、6 B、7
C、8 D、9
13、（2010?济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
14、（2010?鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A、4个 B、5个
C、6个 D、7个
15、（2006?贵港）小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
16、（2004?宿迁）如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A、（1）（2）（3） B、（1）（2）（4）
C、（2）（3）（4） D、（1）（3）（4）
17、（2002?佛山）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A、3个 B、4个
C、5个 D、6个
18、（1999?烟台）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，则△AEF是（ ）
A、等边三角形 B、等腰三角形
C、不等边三角形 D、无法确定
19、若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等边三角形 D、锐角三角形
20、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是（ ）
A、直角三角形 B、等边三角形
C、等腰三角形 D、等腰直角三角形
二、填空题（共5小题）
21、设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，如图，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC的形状是 _________ ．
22、给定锐角△ABC，且AC＜AB＜BC，若△ABC所在平面上的点M使△ABM，△BCM都是等腰三角形，则称M为“正则点”，那么“正则点”的个数是 _________ ．
23、在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的情况有 _________ 种．
24、如图，已知∠ADB=∠ACB=90°，AC=BD，且AC，BD相交于O点，则①AD=BC；②∠DBC=∠CAD；③AO=BO；④AB∥CD；⑤△DOC为等腰三角形，其中正确的式子有 _________ （把所有正确的式子的序号①，②等都填在横线上）．
25、（2004?乌鲁木齐）满足底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A在 _________ 上．
三、解答题（共5小题）
26、在锐角三角形ABC中，三个内角的度数都是质数，求证：三角形ABC是等腰三角形．
27、已知△ABC的三边a，b，c满足等式：a2﹣c2+2ab﹣2bc=0，试说明△ABC是等腰三角形．
28、上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向下北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
29、（2008?金华）如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是 _________ ．（直接写出结论，不需证明）
30、如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交线段AC于E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状是 _________ 三角形（填锐角、直角或钝角）；当∠BCD=15°时，∠EDA= _________ ；
（2）请添加一个条件，使得△ADE≌△BCD，并说明理由；
（3）在点D运动的过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠AED的度数．若不可以，请说明理由．
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特殊三角形—等腰三角形的判定与性质
一、选择题（共20小题）
1、如图，∠ABC=60°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC等于（ ）
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A、100° B、60°
C、150° D、120°
2、如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相交于点E，下列结论中错误的是（ ）
A、∠DAE=∠CBE B、△DEA≌△CEB
C、CE=DA D、△EAB是等腰三角形
3、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，那么 ①BD=FC；②∠ABD=∠FCA；③BC=2CE；④CE=FE．其中正确的结论的个数（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
4、已知直线a是线段AB的垂直平分线，C，D是直线a上的两点，则∠CAD与∠CBD的关系是（ ）
A、∠CAD＞∠CBD B、∠CAD＜∠CBD
C、∠CAD与∠CBD互补 D、∠CAD=∠CBD
5、如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）
A、20° B、30°
C、35° D、40°
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
7、如图，在△DAE中，∠DAE=40°，线段AE、AD的中垂线分别交直线DE于B和C两点，则∠BAC的大小是（ ）
A、100° B、90°
C、80° D、120°
8、已知：如图，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形，其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
9、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
10、在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A、（1）和（2） B、（2）和（3）
C、（3）和（4） D、（1）和（4）
11、如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（ ）
A、3cm B、4cm
C、1.5cm D、2cm
12、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
13、如图，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么△BDE的周长是（ ）
A、5+2 B、5+
C、3+2 D、3+
14、如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（ ）
A、6 B、8
C、10 D、无法确定
15、如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
16、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是（ ）
A、0.5厘米 B、1厘米
C、1.5厘米 D、2厘米
17、D为等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（ ）
A、2AB B、2AB+BC
C、2BC D、AB+BC
18、如图：AC⊥BC，AC=BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中共有等腰三角形（ ）
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A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
19、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，DE∥BC，若AB=8，AC=6，则△ADE的周长是（ ）
A、7 B、10
C、14 D、20
20、如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（ ）
A、16cm B、18cm
C、20cm D、22cm
二、填空题（共5小题）
21、如图所示，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D为AC上一点，若∠CBD=20°，BD=ED，则∠CED等于 _________ ．
22、已知如图，BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，则三角形OEF的周长为 _________ ．
23、已知两边相等的三角形一边等于5cm，另一边等于11cm，则周长是 _________ ．
24、在△ABC中AB=AC，D是AC上的一点，E是AB上的一点，若∠DBC=2∠ABD，添加一个条件 _________ 可得到BD=CE．
25、（2011?梅州）如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°．ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=30°，则∠C的度数为_ _________ °．
三、解答题（共5小题）
26、如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC，请说明△ABC是等腰三角形．
27、如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB于E，请说明
AE=BE．
28、已知：BE平分∠ABC，DE∥BC，F为BE中点，试说明：DF⊥BE．
29、如图，AB=AC，DE∥BC，请说明AE=AD的理由．
30、如图（1），△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A．
（1）求∠A和∠B的度数；
（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线：
①写出图中与BD相等的线段，并说明理由；
②直线BC上是否存在其它的点P，使△BDP为等腰三角形，如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由．
特殊三角形—等腰三角形的判定与性质
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，∠ABC=60°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC等于（ ）
A、100° B、60°
C、150° D、120°
考点：角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质。
分析：由角平分线得到∠CBE=30°，利用垂直平分线，可得∠C=∠EBC，进一步求出∠DEC即可．
解答：解：∵∠ABC=60°，BE平分∠ABC，∴∠CBE=30°，
∵AD垂直平分线段BC，∴∠C=∠CBE=30°，
∴∠CED=60°，
即∠AEC=180°﹣60°=120°
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及判定及角平分线的性质；求得∠C=∠CBE=30°是正确解答本题的关键．
2、如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相交于点E，下列结论中错误的是（
A、∠DAE=∠CBE B、△DEA≌△CEB
C、CE=DA D、△EAB是等腰三角形
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：A、首先用AAS定理证明△ADB≌△BCA，进而可得到∠DAB=∠CBA，再由∠1=∠2，可得到∠DAE=∠CBE，可判断此选项；
B、由△ADB≌△BCA可得到AD=CB，即可证明此选项；
C、可以直接由△ADB≌△BCA判断出此选项；
D、根据∠1=∠2可判断．
解答：解：A、∵在△ADB和△BCA中：
，
∴△ADB≌△BCA（AAS），
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠CBE，
故此选项错误；
B、∵△ADB≌△BCA，
∴AD=CB，
在△DEA和△CEB中
，
∴△DEA≌△CEB，
故此选项错误；
C、∵△ADB≌△BCA，
∴CE=ED，
故此选项正确；
D、∵∠1=∠2，
∴△EAB是等腰三角形，故此选项错误．
故选：C．
点评：此题主要考查了三角形全等的判定定理以及性质，等腰三角形的性质，关键是要把握三角形全等的判定定理：SSS，ASA，SAS，AAS．
3、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，那么 ①BD=FC；②∠ABD=∠FCA；③BC=2CE；④CE=FE．其中正确的结论的个数（ ）
∴∠ABD=∠ACF，
又∵AB=AC，∠BAD=∠FAC=90°，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=FC，∠ABD=∠FCA，
故①②正确；
又∵BE为△BCF的角平分线，BE⊥CF，
∴△EBF≌△EBC
∴EF=EC，故④正确．
正确个数为3，故选B．
点评：本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转与轴对称发现图形中的两个全等三角形．
4、已知直线a是线段AB的垂直平分线，C，D是直线a上的两点，则∠CAD与∠CBD的关系是（ ）
A、∠CAD＞∠CBD B、∠CAD＜∠CBD
C、∠CAD与∠CBD互补 D、∠CAD=∠CBD
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，由等腰三角形的性质得到角相等，然后加和可得答案．
解答：解：∵C，D是AB的垂直平分线a上的两点
∴CA=CB，AD=BD
∴∠CAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA
∴∠CAD=∠CBD
故选D
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定及性质；利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键．
5、如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）
A、20° B、30°
C、35° D、40°
考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质。
分析：由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°﹣∠ADB）÷2答案可得．
解答：解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=DB
∴∠B=∠DAB
∵∠C=90°，∠CAD=20°
∴∠B=（180°﹣∠C﹣∠CAD）÷2=35°
故选C
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有（ ）
又∵DE垂直平分BC，故根据等腰三角形的性质可得∠CDE=∠EDB=60°．
CE=EB，AC∥DE?AD=DB，AB=12，故AD=DB=6，AC=6．
∴△ADC为等边三角形，
∴∠ADC=∠ACD=∠A=60°．
∴∠ADC，∠ACD，∠A，∠CDB，∠EDB都为60°．
故选D．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）及等腰三角形的判定与性质；求得∠B=30°是正确解答本题的关键．
7、如图，在△DAE中，∠DAE=40°，线段AE、AD的中垂线分别交直线DE于B和C两点，则∠BAC的大小是（ ）
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A、100° B、90°
C、80° D、120°
考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质。
分析：由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解．
解答：解：如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，
∴AB=BE，AC=CD
∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，
∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°
∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+∠EAC=180°
∴∠BAD+∠EAC=60°
∴∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°．
故选A
点评：本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键．
8、已知：如图，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形，其中正确的有（ ）
∴∠ABC=∠C=72°．故①正确；
∵MN垂直平分AB，∴DB=DA，即△ABD是等腰三角形．故③正确；
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠CBD=72°﹣36°=36°=∠ABD．故②正确；
∵∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C，
∴BC=BD，即△BCD是等腰三角形．故④正确．
故选D．
点评：此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，属基础题．
9、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理。
分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
10、在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四个结论中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正确的是（ ）
A、（1）和（2） B、（2）和（3）
C、（3）和（4） D、（1）和（4）
考点：等腰三角形的判定与性质。
分析：此题采取排除法做．
（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；
（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB∴BC=DE成立，排除C．
解答：解：∵AB=AE，所以△ABE是等腰的，
∴△ABE是等腰的，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB不可能90°，
∴AC⊥BD不成立，故排除A，D；
又∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD，
∴△DAE≌△CAB，
∴BC=DE，成立．
所以B是正确的．
故选B．
点评：本题考查了需注意根据所给条件及选项，用排除法求解比较简便，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
11、如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（ ）
12、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质。
专题：几何图形问题；综合题。
分析：利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．
解答：解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．
故选D．
点评：有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．
13、如图，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，E为BC延长线上一点，CD=CE，那么△BDE的周长是（ ）
A、5+2 B、5+
C、3+2 D、3+
考点：等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质。
专题：计算题。
分析：根据△ABC的周长为6，求得CE=1，再求证△BDE为等腰三解形，求得DE=BD=，然后即可求出△BDE的周长．
解答：解：△ABC的周长为6，
∴AB=BC=AC=2，DC=CE=1，
又∵∠ACB=∠CDE+∠CED
∴∠CED=30°，△BDE为等腰三解形，
DE=BD=
∴BD+DE+BE=2+2+1=3+2．
故选C．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△BDE为等腰三解形，这是此题的突破点．
14、如图，△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则△BCD的周长是（ ）
A、6 B、8
C、10 D、无法确定
．
15、如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理。
分析：三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．
解答：解：∵三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=∠EDC=90°
∴∠DEC=∠C=45°，
∴△EDC是等腰三角形，
∵BD=AB，
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠BAD=∠BDA，
而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴△EAD是等腰三角形，
因此图中等腰三角形共4个．
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
16、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC、BD平分∠ABC．若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是（ ）
A、0.5厘米 B、1厘米
C、1.5厘米 D、2厘米
考点：等腰三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据等腰三角形的判定定理，得△ABC为等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角平分线得∠BDC=72°，得出边之间的关系，从而求得BD的长．
解答：解：由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD=BC，
由题意，（AB+AD+BD）﹣（BD+BC+CD）=1厘米，
即 AC+2BD﹣2BD﹣CD=1厘米，
即 AC﹣CD=AD=1厘米，
即 BD=1厘米
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和定理求解；得到各角的度数和各边的关系是正确解答本题的关键．
17、D为等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE的周长是（ ）
A、2AB B、2AB+BC
C、2BC D、AB+BC
考点：等腰三角形的判定与性质。
专题：几何图形问题。
分析：根据题意，画出图形可知，△FBD和△EDC都是等腰三角形，从而将四边形AFDE的周长转化为原等腰三角形的两腰长．
解答：解：根据题意画出图形如图示，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠FDE=∠C，∠EDC=∠B，
∴∠FDE=∠B，∠EDC=∠C，
∴BF=DF，DE=EC，
∴四边形的周长为AF+FD+D+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC=2AB．
故选A．
点评：本题既考查了等腰三角形的性质，又考查了等腰三角形的判定，题目难度不大，解题的关键是对线段进行巧妙转化．
18、如图：AC⊥BC，AC=BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中共有等腰三角形（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
考点：等腰三角形的判定与性质。
分析：由AC=BC，即△ABC为等腰三角形，等腰三角形中利用三线合一的性质即可得出其它的等腰三角形，注意做到由易到难，不重不漏．
解答：解：∵AC=BC，∴△ABC为等腰三角形，又CD⊥AB，
∴△ACD，△BCD为等腰三角形，DE⊥BC，
∴△CDE，△BDE为等腰三角形，
所以题中共有5个等腰三角形．
故选D．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质；两次运用三线合一的性质是正确解答本题的关键．
19、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，DE∥BC，若AB=8，AC=6，则△ADE的周长是（ ）
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A、7 B、10
C、14 D、20
考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。
专题：计算题。
分析：因为DE∥BC，所以∠2=∠3，又因为BO是∠ABC的平分线，所以∠1=∠3，所以∠2=∠1，于是DO=DB，同理，EO=EC，
△ADE的周长为：（AD+DO）+（AE+EO）=（AD+DB）+（AE+EC）=8+6=14．
解答：解：∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠1，
∴DO=DB，
同理，EO=EC，
∴△ADE的周长为：（AD+DO）+（AE+EO）=（AD+DB）+（AE+EC）=8+6=14．
故选C．
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点评：根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到相等的角，根据等角对等边，可以将周长转化为三角形两边长来解答．
20、如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（ ）
A、16cm B、18cm
C、20cm D、22cm
考点：等腰三角形的判定与性质。
分析：△ODE的周长=OD+DE+OE，可以先证明BD=OD，CE=OE，则OD+DE+OE=BC得出．
解答：解：∵OD∥AB
∴∠ABO=∠BOD
∵OB平分∠ABC
∴∠ABO=∠OBD
∴∠ABO=∠BOD
∴BD=OD
则同理可得CE=OE
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=20cm．
故选C．
点评：本题利用了：①两直线平行，内错角相等；②角的平分线的性质；③等边对等角．
二、填空题（共5小题）
21、如图所示，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D为AC上一点，若∠CBD=20°，BD=ED，则∠CED等于 10° ．
考点：角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质。
分析：根据∠ACB=20°和∠CBD=20°，得BD=CD，结合BD=ED，得ED=CD，则∠CED=∠DCE，根据角平分线定义即可求解．
解答：解：∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，
∴BD=CD，
又BD=ED，
∴ED=CD，
∴∠CED=∠DCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠CED=∠DCE=10°．
点评：此题综合运用了等腰三角形的判定和性质．
22、已知如图，BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，则三角形OEF的周长为 3 ．
考点：平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：先根据角平分线的性质求出∠1=∠2，∠4=∠5，再根据平行线的性质求出∠1=∠3，∠4=∠6，通过等量代换可得，∠2=∠3，∠5=∠6，根据等腰三角形的判定定理及性质可得BE=OE，OF=FC，即可解答．
解答：解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
点评：本题涉及到角平分线及平行线的性质，属中档题目．
23、已知两边相等的三角形一边等于5cm，另一边等于11cm，则周长是 27cm ．
考点：三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质。
分析：因为边为3和7，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解答：解：当5cm为底时，其它两边都为11cm，
5cm、11cm、11cm可以构成三角形，
周长为27cm；
当5cm为腰时，其它两边为5cm和11cm，
∵5+5=10＜11，所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有27cm．
点评：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
24、在△ABC中AB=AC，D是AC上的一点，E是AB上的一点，若∠DBC=2∠ABD，添加一个条件 ∠BCE=2∠ACE 可得到BD=CE．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。
专题：开放型。
分析：由等边可得等角，要满足∠DBC=2∠ABD，可借助添加的条件，当然应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．
解答：解：添加∠BCE=2∠ACE；
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACE+∠BCE
∵∠DBC=2∠ABD，∠BCE=2∠ACE
∴∠ABD=∠ACE
∵∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE（ASA）
∴BD=CE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
25、（2011?梅州）如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°．ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，已知∠BAE=30°，则∠C的度数为_ 30 °．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质。
专题：应用题。
分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质，得到EA=EC，进而得到∠EAD=∠ECD，利用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
解答：解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=30°，
∴∠AEB=60°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=30°．
故答案为30．
点评：本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和，难度适中．
三、解答题（共5小题）
27、如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB于E，请说明
AE=BE．
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考点：平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠ADE=∠CAD，根据AD是∠BAC的平分线可以得到∠EAD=∠CAD，所以∠ADE=∠EAD，根据等角对等边的性质得AE=DE，又∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，根据等角的余角相等的性质∠ABD=∠BDE，所以BE=DE，因此AE=BE．
解答：证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴AE=BE．
点评：本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，等角的余角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
28、已知：BE平分∠ABC，DE∥BC，F为BE中点，试说明：DF⊥BE．
考点：平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：要使DF⊥BE．因为F为BE中点，所以只需证明BD=DE即可．
解答：证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBC，
∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠DEB，∴BD=DE，
∵F为BE中点，∴DF⊥BE．
点评：本题综合考查了平行线和角平分线的性质，等腰三角形的性质及判定．
29、如图，AB=AC，DE∥BC，请说明AE=AD的理由．
考点：平行线的性质；等腰三角形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：如图，由AB=AC，所以∠B=∠C，又由DE∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可得∠B=∠D，∠E=∠C，所以∠D=∠E，从而得出结论．
解答：证明：如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角），
又∵DE∥BC，
∴∠B=∠D，∠E=∠C（两直线平行，内错角相等），
∴∠D=∠E，
∴AE=AD（等角对等边）．
点评：本题主要考查了平行线的性质及等腰三角形的判定与性质，在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等．
30、如图（1），△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A．
（1）求∠A和∠B的度数；
（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线：
①写出图中与BD相等的线段，并说明理由；
②直线BC上是否存在其它的点P，使△BDP为等腰三角形，如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由．
考点：三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质。
专题：开放型。
分析：（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算；
（2）①结合（1）中的角的度数，又可以发现两个等腰三角形，即△ABD和△BCD，
②根据BD是底和BD是腰的时候，进行画图．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行求解．
（2）①∵BD是△ABC中∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠CBD=36°
∴∠BDC=72°
∴BD=AD=CD；
②当BD是腰时，以B为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P1（点C除外）
此时∠BDP=∠DBC=18°．
以D为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P3（点C除外）
此时∠BDP=108°．
当BD是底时，则作BD的垂直平分线和BC的交点即是点P2的一个位置．
此时∠BDP=∠PBD=36°
特殊三角形—等腰三角形的判定21世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列说法正确的是（ ）
A、当x=±1时，分式的值为零 B、若4x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值一定为12
C、若8a4bm+2n÷6a2mb6的结果为常数，则m=n=2 D、若△ABC的三边abc满足a4﹣b4﹣c2（a2﹣b2）=0，则△ABC是等腰直角三角形
考点：整式的除法；因式分解-运用公式法；分式的值为零的条件；分式的化简求值；等腰三角形的判定。
专题：综合题。
分析：若分式要有意义，则分母不能为0，一个完全平方公式必须满足a2+b2±2ab=（a±b）2的形式，若8a4bm+2n÷6a2mb6的结果为常数，则两式中a、b的指数对应相等，判断一个三角形的形状，关键看三角形三边的关系．
解答：解：A、当x=﹣1时分母为0，没意义，故A错误；
B、当k的值等于﹣12时，4x2+kx+9也是一个完全平方式，故B错误；
C、结果为常数，即a、b的指数为0，所以4=2m，即m=2，m+2n=6，得n=2，故C正确；
D、由a4﹣b4﹣c2（a2﹣b2）=0，可变为a4﹣b4=c2（a2﹣b2）化简得c2=a2+b2，
故只能说明是直角三角形，不能说明是等腰三角形，故D错误；
故选C．
点评：本题主要考查了分式的性质：分母不能为0及完全平方公式和常数的定义．
2、△ABC的三边满足a2﹣2bc=c2﹣2ab，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等边三角形 D、锐角三角形
3、（2006?温州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（ ）
A、6 B、5
C、4 D、3
考点：平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定。
专题：计算题。
分析：先利用角平分线的性质再利用平行线的性质即可计算．
解答：解：∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB；
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD=5．
故选B．
点评：此题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，还综合应用了等角对等边的性质．
4、若三角形中一角的平分线是它对边的中线，则这个三角形一定是（ ）三角形．
A、等腰 B、直角
C、等边 D、等腰直角
点评：本题考查了等腰三角形的判定及三角形角平分线、中线和高的性质；通过利用角平分线的性质，构造全等直角三角形和等角对等边来求解是正确解答本题的关键．
5、下列说法中，正确的是（ ）
A、两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B、有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C、两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D、两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定。
分析：根据判定方法判断．注意高的位置讨论．
解答：解：A、属于SSA，不符合全等的条件，错误；
B、不符合全等的条件，错误；
C、可利用证两步全等的方法求得，正确；
D、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，错误．
故选C．
点评：本题主要考查三角形全等的判定，不够条件的或者有不确定因素的，应排除．
6、下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
错误的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定。
分析：认真阅读各小问题提供的已知条件，根据等腰三角形的性质，和两三角形全等是所需要的条件逐一进行验证，找出正误的具体原因，其中（3）错误．
解答：解：（1）正确，等腰三角形腰长相等，有一腰相等，另一角也相等，又因为顶角相等，两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以两个等腰三角形全等；
（2）正确，等腰三角形中，周长为二倍的腰长+底边长，所以可以知道三边对应相等，三条边对应相等的两个三角形全等；
（3）错误，腰长相等，有一角是50°，并非是顶角，如果一个是顶角，一个是底角则两个三角形是不全等的；
（4）正确，两条直角边对应相等的两个直角三角形，是两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形，所以全等．
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和两三角形全等的判定；找出各小问题正误的具体原因是正确解答本题的关键．
7、如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+BD，下列正确的是（ ）
A、∠B=∠C B、∠B=2∠C
C、∠B=3∠C D、∠B=∠C
A、有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B、两个等边三角形全等
C、各有一个角是40°的两个等腰三角形全等 D、三条边对应相等的两个三角形的对应角也相等
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定。
分析：A、D根据全等三角形的判定方法：SSS，SAS，AAS判断，B、C可举反例证明．
解答：解：A、不符合全等三角形的判定方法：SSS，SAS，AAS，故本项错误；
B、两个等边三角形的边长分别是3、5时，两等边三角形并不全等，只是相似，故本项错误；
C、一个顶角为40°的等腰三角形和一个底角为40°的等腰三角形，既不全等，也不相似，故本项错误；
D、符合全等三角形的判定方法：SSS，故本选项正确．
故选D．
点评：此题主要考查全等三角形的判定方法，方法有三种：SSS，SAS，AAS，容易出错的是SSA的形式，并不能判断两三角形全等．
9、（2009?营口）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE的长是（ ）
10、三角形中，一条边的垂直平分线恰好经过三角形的另一个顶点，那么这个三角形一定是（ ）
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等边三角形 D、等腰直角三角形
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定。
分析：由已知条件，根据线段的垂直平分线的性质，可得，此三角形的两边相等，则这个三角形一定是等腰三角形．
解答：解：根据线段的垂直平分线的性质，
可得，此三角形的两边相等，
则这个三角形一定是等腰三角形．
故选B
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定；由线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到边相等是正确解答本题的关键．
11、（2011?十堰）如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的毎个小正方形的边长均为1个单位1长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有（ ）
A、4个 B、6个
C、7个 D、9个
考点：等腰三角形的判定。
专题：应用题；网格型。
分析：根据题意进行分析可知：以原三角形的边长4，5为腰画出即可与新三角形一起组成一个等腰三角形即有6个，
作原来斜边的中垂线，并与边长为3的直角边的延长线交于一点，此点与原三角形斜边两点构成的三角形也符合要求，从而得出结论共有7个符合要求的三角形．
解答：解：如图所示；
根据题意可知：
∴符合要求的新三角形有7个，
故选：C．
点评：本题主要考查了等腰三角形的定义，同时需要认真分析，避免遗漏，难度适中．
12、（2010?株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
．
13、（2010?济南）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
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A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
考点：等腰三角形的判定。
专题：分类讨论。
分析：根据题意，结合图形，分情况讨论：①BP为底边；②BP为等腰三角形一腰长．
解答：解：①BP为底边时，符合点E的位置有2个；
②BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个；
③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在．
故选C．
点评：本题综合考查等腰三角形的判定，需对知识进行推理论证、运算及探究．
14、（2010?鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A、4个 B、5个
C、6个 D、7个
考点：等腰三角形的判定。
分析：根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
解答：解：如图，
①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．
∴符合条件的点有六个．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能做出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
15、（2006?贵港）小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：等腰三角形的判定。
分析：根据腰三角形的判定定理，由已知可证∠A=∠D=30°∠B=∠E=60°，则∠EGM=∠EMG=∠BMH=∠BHM=60°，故图中是等腰三角形的有：△EMG，△BMH，△MAD．
解答：解：已知两个直角三角形全等，且有一个角是60°，
则可知∠A=∠D=30°∠B=∠E=60°
则∠EGM=∠EMG=∠BMH=∠BHM=60°
∴图中是等腰三角形的有：△EMG，△BMH，△MAD．
故选B．
点评：本题主要考查等腰三角形的判定；做题时，首选明显的、简单的，由易到难，不重不漏．
16、（2004?宿迁）如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A、（1）（2）（3） B、（1）（2）（4）
C、（2）（3）（4） D、（1）（3）（4）
考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理。
分析：由已知条件，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理进行判定．
解答：解：根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，
①中，作底角的角平分线即可；
②中，不能；
③中，作底边上的高即可；
④中，在BC边上截取BD=AB即可．
故选D．
点评：考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键．
17、（2002?佛山）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
A、3个 B、4个
C、5个 D、6个
考点：等腰三角形的判定。
分析：先由已知运用角平分线及平行线的性质找出相等的角，再根据等角对等边找出等腰三角形．
解答：解：∵AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠DCF，
∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且△ABC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=∠ABC，
∴△AEF是等腰三角形．
所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形；找出相等的角是解答本题的关键．
18、（1999?烟台）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线交AD于点E，交AB于点F，则△AEF是（ ）
A、等边三角形 B、等腰三角形
C、不等边三角形 D、无法确定
19、若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等边三角形 D、锐角三角形
考点：等腰三角形的判定。
分析：通过解关系式得出a，b，c的关系，然后再判断三角形的形状即可．
解答：解：∵（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，
∴（a﹣b）=0或（b﹣c）=0或（c﹣a）=0，
即a=b或b=c或c=a，因而三角形一定是等腰三角形．
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形的概念．了解各类三角形的定义是解题关键．
20、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是（ ）
A、直角三角形 B、等边三角形
C、等腰三角形 D、等腰直角三角形
考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质。
分析：利用角边角即可证明所分得的两三角形全等，所以这一定是个等腰三角形．
解答：解：∵∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
∴这个三角形一定是等腰三角形．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质；本题的关键是利用全等证明两腰相等．
二、填空题（共5小题）
21、设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，如图，当A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC的形状是 等腰三角形 ．
考点：正弦定理与余弦定理；等腰三角形的判定。
专题：证明题。
分析：假设AB≠AC，不妨设AB＞AC，则∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，则AP＞AQ．然后在△ABQ、△ACQ中分别应用正弦定理求得AP?AB=AC?AQ；又有AB＞AC推知AP＜AQ，这与AP＞AQ矛盾，所以假设不成立，故而AB=AC，所以该三角形是等腰三角形．
解答：解：反证法．
假设AB≠AC，不妨设AB＞AC，则∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，则AP＞AQ，
在△ABQ、△ACQ中分别应用正弦定理，得
===，
则==，
∴AP?AB=AC?AQ
又∵AB＞AC，
∴AP＜AQ，这与AQ＞AQ矛盾，
∴AB=AC，从而△ABC为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、正弦定理与余弦定理．解答此题时，采用了“反证法”．
22、给定锐角△ABC，且AC＜AB＜BC，若△ABC所在平面上的点M使△ABM，△BCM都是等腰三角形，则称M为“正则点”，那么“正则点”的个数是 6 ．
考点：三角形三边关系；等腰三角形的判定。
专题：新定义。
分析：△ABM是等腰三角形时，若AB是底边，则M一定在AB的中垂线l1上，当AB是腰时，另一顶点M在以A或B为顶点，以AB为直径的弧上．同时满足△BCM是等腰三角形的线与弧的交点就是满足条件的点．
解答：解：△ABM是等腰三角形时，
若AB是底边，则M一定在AB的中垂线l1上，当AB是腰时，另一顶点M在以A或B为顶点，以AB为直径的弧上．
同理，△BCM都是等腰三角形时，当BC是底边时，则M一定在BC的中垂线上，当BC是腰时，另一顶点M在以B或C为顶点，以BC为直径的弧上．
满足△ABM是等腰三角形的直线和两条弧，与满足△BCM是等腰三角形的直线和两条弧的交点就是满足条件的点，共有6个．
故答案是：6．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，已知等腰三角形的一边即两个顶点，确定第三个顶点是解决本题的关键．
23、在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的情况有 4 种．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定。
专题：应用题。
24、如图，已知∠ADB=∠ACB=90°，AC=BD，且AC，BD相交于O点，则①AD=BC；②∠DBC=∠CAD；③AO=BO；④AB∥CD；⑤△DOC为等腰三角形，其中正确的式子有 ①②③④⑤ （把所有正确的式子的序号①，②等都填在横线上）．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定。
分析：由已知条件，得到三角形全等，得到结论，对每一个式子进行验证从而确定正确的式子．
解答：解：∵∠ADB=∠ACB=90°，AC=BD，AB=AB
∴△ADB≌△BCA（HL）
∴AD=BC（第一个正确）
∠DAB=∠CBA，∠DBA=∠CAB
∴∠DBC=∠CAD（第二个正确）
∵∠ADB=∠ACB=90°，∠DBC=∠CAD，AD=BC
∴△AOD≌△BOC（AAS）
∴AO=BO（第三个正确）
DO=CO，即△DOC为等腰三角形（第五个正确）
∵∠CDO+∠DCO+∠COD=180°，∠CDO=∠DCO
∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OAB=∠OBA
∠COD=∠AOB
∴∠DCO=∠OAB
∴AB∥CD（第四个正确）
所以以上结论都正确．
故填①②③④⑤．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及三角形全等的判定与性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．
25、（2004?乌鲁木齐）满足底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A在 线段BC的垂直平分线 上．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定。
分析：根据等腰三角形的定义，知点A到B、C的距离应相等，再结合线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即可解答．
解答：解：因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴满足底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A在是线段BC的垂直平分线上．
点评：此题考查了等腰三角形的判定和线段垂直平分线的性质；理解BC是底边是正确解答本题的关键．
三、解答题（共5小题）
26、在锐角三角形ABC中，三个内角的度数都是质数，求证：三角形ABC是等腰三角形．
考点：质数与合数；等腰三角形的判定。
专题：证明题。
分析：此题的关键是由三个质数之和是偶数，来判断其中一个为偶质数，还应注意三角形是锐角三角形，所以其余两个角的度数是小于90的质数．
解答：证明：不妨设0°＜∠A≤∠B≤∠C＜90°，
由∠A+∠B+∠C=180°及∠A、∠B、∠C为质数，
∠A+∠B+∠C为偶数，所以∠A、∠B、∠C三个质数不能同时为奇数，
其中一个必为偶数，则不妨令∠A=2°，
则∠B+∠C=178°及∠B≤∠C＜90°，21世纪教育网版权所有
得∠B=∠C=89°．
故三角形ABC是等腰三角形．
点评：本题主要考查了质数的计算，解决的关键是根据三个质数的和是偶数180，即可确定其中一个必定是2．
27、已知△ABC的三边a，b，c满足等式：a2﹣c2+2ab﹣2bc=0，试说明△ABC是等腰三角形．
考点：因式分解的应用；等腰三角形的判定。
分析：首先进行合理分组，然后运用平方差公式和提公因式法进行因式分解，从而找到边之间的关系，判定三角形的形状．
解答：解：∵a2﹣c2+2ab﹣2bc=0，
∴（a+c）（a﹣c）+2b（a﹣c）=0，
∴（a﹣c）（a+c+2b）=0，（2分）
∵a，b，c是△ABC三边，
∴a+c+2b＞0，（3分）21世纪教育网
∴a﹣c=0，有a=c．
所以，△ABC是等腰三角形．（4分）
点评：此题考查了因式分解的应用，利用因式分解，找出边的关系是本题的关键．
28、上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向下北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°，求从海岛B到灯塔C的距离．
考点：方向角；等腰三角形的判定。
专题：应用题。
分析：根据已知可求得AB的长，再根据三角形外角的性质可求得∠A=∠C，即AB=BC，从而不难求解．
解答：解：∵船的速度是20海里/时，从A到B所用的时间=11﹣8=3时，
∴SAB=20×3=60（海里），
∵∠NAC=40°，∠NBC=80°=∠A+∠C，
∴∠C=40°，
∴BC=AB=60（海里）．
点评：此题主要考查等腰三角形的判定及方向角等知识点的综合运用．
29、（2008?金华）如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是 等腰三角形 ．（直接写出结论，不需证明）
考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定。
专题：证明题。
分析：由已知条件，结合公共边可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，由三角形全等得角相等，可得OB=OC，所以△OBC是等腰三角形．
．
30、如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交线段AC于E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状是 直角 三角形（填锐角、直角或钝角）；当∠BCD=15°时，∠EDA= 15° ；
（2）请添加一个条件，使得△ADE≌△BCD，并说明理由；
（3）在点D运动的过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠AED的度数．若不可以，请说明理由．
考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定。
分析：（1）由DE∥BC，∠CDE=30°，可得∠BCD=30°，再由∠ACB=120°，即可推出∠ACD=90°，即可推出△ACD的形状为直角三角形；由BC=AC，∠ACB=120°，可得∠A=∠B=30°，再由∠BCD=15°，即可推出∠CDA=45°，然后由∠CDE=30°，即可推出∠EDA的度数；
（2）若BC=AD，则AC=AD，∠ACD=∠ADC，由已知条件即可推出∠A=∠B=30°，即可推出∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，再由∠A=∠CDE=30°，即可推出∠AED=∠BDC，然后通过全等三角形的判定定理“AAS”即可推出结论；
（3）当∠CDE为75°或60°时，△CDE的形状可以是等腰三角形，即可推出∠AED的度数．
解答：解：（1）①∵DE∥BC，∠CDE=30°，
∴∠BCD=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD的形状为直角三角形，
②∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∵∠BCD=15°，
∴∠CDA=45°，
∵∠CDE=30°，
∴∠EDA=15°；
