1.6 尺规作图专题训练一（含解析）

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尺规作图专题训练（含解析）
一、单选题
1．已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（　　）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　）
A．B．C． D．
3．如图，在
中，
，
，观察图中尺规作图的痕迹，可知
的度数为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
4．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　）
A．① B．② C．①② D．无
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．用无刻度的直尺和圆规在△ABC内部作一个角∠α，下列作法中∠α不等于45°的是（　　）
A．B．C． D．
二、作图题
7．如图，已知.用三种不同的方法作等于.要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法.
8．如图所示，校园里有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌，学校准备在这里（内部）安装一盏路灯，要求灯柱离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置.（不写过程，保留作图痕迹）
9．如图，已知线段 ，用两种不同的方法作一点 ，使得 .
要求：
（1）尺规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.
10．用两种不同的方法作出线段AB的中点C.
要求：（1）用直尺和圆规作图：
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明.
11．如图，已知，用三种不同的方法画出的平分线.要求：
（ 1 ）画图工具：带有刻度的直角三角板；
（ 2 ）保留画图痕迹，简要写出画法.
12．尺规作图：
已知：如图1，直线MN和直线MN外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQMN．
小智的作图思路如下：
①如何得到两条直线平行？
小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内错角相等，两条直线平行”．
②如何得到两个角相等？
小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相等．小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理．最后，小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”．
③画出示意图：
④根据示意图，确定作图顺序．
（1）使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （ ① ）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （ ② ）．
（3）参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
故答案为：D．
【分析】连接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，得出PA＝PC，从而得出答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC=BC
∴∠B=∠A=40°
∴∠ACB=180°－2∠A=100°
由尺规作图知，CF是AB的垂线，
根据等腰三角形的三线合一得∠BCG=
故答案为：B.
【分析】由等边对等角可得∠B=∠A=40°，利用三角形内角和可得∠ACB的度数，由尺规作图知，CF是AB的垂线，从而根据等腰三角形的三线合一得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】解： ①作一个角的平分线的作法正确；
②作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误.
故答案为：A.
【分析】根据作一个角的平分线的作法以及作一条线段的垂直平分线的作法，即可得出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A．此选项是作直角∠ACB的平分线，∠α＝∠ACB＝45°，不符合题意；
B．此选项是作CA＝CD，由∠ACB＝90°知∠CAD＝∠CDA＝∠α＝45°，不符合题意；
C．此选项是作∠CAB的平分线，由∠CAB＜90°知∠α＝∠ACB＜45°，符合题意；
D．此选项是作∠CAB和∠CBA的平分线，∠α＝∠DAB＋∠EBA＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的尺规作图和等腰直角三角形、直角三角形的性质逐一判断即可。
7．【答案】解：如图①、②、③，即为所求.
，
【解析】【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作出∠BAC=∠α；或由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，及等边对等角作出∠BAC=∠α；或利用等腰三角形的性质：等边对等角，作出∠BAC=∠α.
8．【答案】解：连结CD，作CD的垂直平分线，和∠AOB的平分线，两线交于P，
如图，点P为所作.
【解析】【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”和线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可知点P应该在线段CD的垂直平分线及∠AOB的角平分线的交点处，进而根据作垂直平分线及角平分线的方法作出图形.
9．【答案】解：作法一如下，
说明：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，作NC=NB，可得CN=AN=NB，∠ANC=∠BNC=90°，从而△ANC和△BNC为等腰直角三角形，∠CAN=∠BCN=45°，所以可得∠ACB=90°；
作法二如下，
说明：过点A向右上方作射线AM，过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，则∠ACB=90°.
【解析】【分析】作法一：作AB的垂直平分线EF，与AB交于N，再作NC=NB，可得CN=AN=NB，利用等腰直角三角形的性质，可得到∠ACB=90°；作法二：过点A向右上方作射线AM，利用尺规作图过点B作AM的垂线与AM交于C，连接BC，利用垂直的定义可知∠ACB=90°.
10．【答案】解：方法一：如图，作线段AB的垂直平分线CD，直线CD与线段AB的交点E即为所求线段AB的中点，
方法二：如图，分别点A、B为圆心，线段AB长为半径作等边三角形ABC，再作角C的角平分线交线段AB于点E，点E即为所求线段AB的中点.
【解析】【分析】方法一：作出线段AB的垂直平分线，可得到线段AB的中点；方法二：以AB为边做等边△ABC，再作出∠ACB的角平分线，可得到线段AB的中点.
11．【答案】 解：①在AC上取线段AD，AB上取线段AE，使，再连接DE，并取DE中点F，最后连接AF并延长，则AF即为的平分线；
②在AC上取线段AG，AB上取线段AH，使.再过点G作，过点H作，GJ和HI交于点K，最后连接AK并延长，则AK即为的平分线；
③在AC上取线段AR，在AB上取线段AP，使AR=AP，过点P作，再在PQ上取线段PO，使PO=AR，连接AO并延长，则AO即为的平分线.
【解析】【分析】利用SSS去思考，因此在AC上取线段AD，AB上取线段AE，使AE=AD，再连接DE，并取DE中点F，最后连接AF并延长 即可；利用HL去思考，可作出∠BAC的角平分线；或利用平行线的性质和等腰三角形的性质，可作出∠BAC的角平分线；分别画出图形即可.
12．【答案】（1）解：如图1，PQ即为所求；
（2）解：证明：∵AB平分∠PAN，
∴∠PAB＝∠NAB．
∵PA ＝PQ，
∴∠PAB＝∠PQA （等边对等角）．
∴∠NAB ＝∠PQA．
∴PQMN （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行；
（3）解：如图2，PQ为所求．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质解决问题即可；
（3）根据要求作图即可。
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