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【浙教版九年级数学上册每周一练】01 二次函数3
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
2.二次函数y＝（x+m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
3.已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大
4.已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0
6.小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度；④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0； ②2c﹣3b＜0； ③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
9.已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m≤2 B．﹣2≤m＜0 C．m＞2 D．m＜﹣2
10.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.一个二次函数，当自变量时，函数值，且过点和点，则这个二次函数的解析式为________________
12.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
13．如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为__________________
14.把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：
15.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是________________
16.如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
18（本题8分）已知二次函数y＝x2－2x－3．(1)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
19.（本题8分）已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为．抛物线的顶点为．（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点为抛物线上一动点，是否存在点．使与的面积相等 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
20（本题10分）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
21.（本题10分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围
22（本题12分）．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为_____________；
(3)点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；
(4)若点是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题12分）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．（1）求二次函数的解析式和直线的解析式；
（2）点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
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【浙教版九年级数学上册每周一练】01 二次函数3答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选择：B．
2.答案：D
解析：∵y＝（x+m）2+n，
∴抛物线顶点坐标为（﹣m，n），
∵抛物线顶点在第四象限，
∴m＜0，n＜0，
∴直线y＝mx+n经过第二，三，四象限，
故选择：D．
3.答案：D
解析：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选择：D．
4.答案;D
解sr ：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选择：D．
5.答案：D
解析：选项A：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴．
∴b＝2a．
∴b＜0．故选项A错误；
选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为（x1，0），
则抛物线的对称轴可表示为x＝（x1﹣3），
∴﹣1＝（x1﹣3），解得x1＝1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（﹣3，0）．
又∵抛物线开口向下，
∴抛物线与y轴交于正半轴．
∴c＞0．故选项B错误．
选项C：∵抛物线过点（1，0）．
∴a+b+c＝0．故选项C错误；
选项D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，
∴3a+c＝0．故选项D正确．
故选择：D．
6.答案：D
解析：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意；
故选择：D．
7.答案：B
解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，
5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，
观察图象可知，y1＜y2＜y3，故④正确，
故选择：B．
8.答案：C
解析：由表格可得，
，
解得，
∴，
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选择：C．
9.答案：A
解析：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），
∴该抛物线的对称轴为直线，
∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，
∴当m＞0时，
0＜2m≤4，
解得0＜m≤2；
当m＜0时，
2m＞4，
此时m无解；
由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，
故选择：A．
10.答案：B
解析：∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝2a，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，4），
∴a﹣b+c＝﹣a+c＝4，
∴a＝c﹣4，
∵抛物线与y轴交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴1＜c＜2，
∴﹣3＜a＜﹣2，②正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，③正确．
∵a＝c﹣4，
∴ax2+bx+a＝m﹣4可整理为ax2+bx+c＝m，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
∴m＜4时，抛物线与直线y＝m有两个不同交点，④错误．
由图象可得x＜﹣1时y随x增大而增大，
∴⑤错误．
故选择：B．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：依题意，设函数解析式为
∵当自变量时，函数值
∴，解得
∴函数的解析式为
故答案为：．
12.答案：
解析：以水平面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，
由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，
把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
9a+2＝0，
解得：a＝，
所以抛物线解析式为y＝x2+2，
当x＝4时，y＝×16+2＝﹣，
∴水面下降米，
故答案为：．
13.答案：
解析：∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为，B点坐标为
设函数解析式为，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为，即
故答案为．
14.答案：
解析：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
15.答案：
解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
16.答案：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
解析：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
18.解析：（1）∵a=1＞0，∴图象开口向上；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，-4）;
（2）由图象与y轴相交则x=0，代入得：y=-3，
∴与y轴交点坐标是（0，-3）；
由图象与x轴相交则y=0，代入得：x2-2x-3=0，
解方程得x=3或x=-1，
∴与x轴交点的坐标是（3，0）、（-1，0）；
（3）当时，y随x的增大而增大.
19.解析：由题意得
将点和点的坐标代入得:
解得:
抛物线的解析式为；
设的坐标为．
与的面积相等，
．
当时，， 解得，
或，
当时， 解得:或
或．
综上所述点的坐标为或或或．
20.解析：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4；
（2）设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+
∵﹣3＜0，x为正整数，且|6﹣|＞|7﹣|，
∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7﹣）2+＝140（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
21.解析：（1）将点（1，m），N（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴，即．
当t＝时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
22.解析：(1) 抛物线过点，
解得：
抛物线解析式为．
(2) 点，
∴抛物线对称轴为直线
点在直线上，点，关于直线对称
，
当点、、在同一直线上时，最小．
抛物线解析式为，
∴C（0，-6），
设直线解析式为
，
解得：
直线：
，
，
故答案为：．
(3)过点作轴于点，交直线与点，
设，则
，
当时，面积最大为
，
此时点坐标为．
(4)存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
设N（x，y），M（，m），
①四边形CMNB是平行四边形时，CM∥NB，CB∥MN，
，
∴x= ，
∴y= = ，
∴N（，）；
②四边形CNBM是平行四边形时，CN∥BM，CM∥BN，
，
∴x=，
∴y==
∴N（，）；
③四边形CNMB是平行四边形时，CB∥MN，NC∥BM，
，
∴x=，
∴y==
∴N（，）；
点坐标为（，），（，），（，）．
23.解析：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即，
点在轴上，令可得，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
设点横坐标为，则，，
，
当时，有最大值；
如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
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