2022-2023学年浙教版九年级数学上册4.5 相似三角形的性质及其应用 同步练习(word版含答案)

浙教版九上 第4章 相似三角形4.5 相似三角形的性质及其应用
一、选择题（共8小题）
1. 两个相似三角形的一组对应边分别为 和 ，若它们的面积之和为 ，则较大的三角形的面积是
A. B. C. D.
2. 如图所示，在梯形 中，，，，，则 与 的面积比为
A. B. C. D.
3. 如图所示，在 中，， 分别是边 ， 上的点，且 ，若 ，则 的值
A. B. C. D.
4. 如图所示，在 中，，点 在 上，且 ， 的平分线 交 于点 ， 是 的中点，则 为
A. B. C. D.
5. 如图所示， 中，， 是 边的三等分点，， 是 边的三等分点，， 是 边的三等分点，连接 ，，，若 的周长为 ，则六边形 的周长为
A. B. C. D.
6. 如图所示，在平行四边形 中，，， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， 于点 ，，则 的周长为
A. B. C. D.
7. 如图所示，，，， 为 两边上的点，且 ，若 ， 将 的面积三等分，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
8. 如图， 中，， 分别是 ， 上的点，且 ．若 ，则
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
9. 如图所示，如果 与 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么 的值为 ．
10. 如图所示，在平面直角坐标系中， 的顶点 与原点重合，顶点 在 轴上，， 与反比例函数 的图象交于点 ，且 ，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ．若 ，则 的值为 ．
11. 如图所示，菱形 中，，，将 沿 方向向右平移到 的位置，若平移距离为 ，则阴影部分的面积为 ．
12. 如图所示，在 中，， 是 边上一点， 于点 ，，若 ，，则 的面积为 ．
13. 如图所示，在梯形 中，， 平分 交 于 ，且 ，，如果 的面积为 ，那么四边形 的面积是 ．
14. 如图所示， 是 内一点，过点 分别作直线平行于 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是 ，则 的面积是 ．
三、解答题（共7小题）
15. 已知两个相似三角形的一组对应边长分别是 和 ．
（1）若它们的周长相差 ，求这两个三角形的周长．
（2）若它们的面积相差 ，求这两个三角形的面积．
16. 如图所示， 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个与 相似的格点三角形，并填空．
（1）在图1中画 ，使得 的周长是 的周长的 倍，则 ．
（2）在图2中画 ，使得 的面积是 的面积的 倍，则 ．
17. 如图 1 所示，分别以直角三角形 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 ，， 表示，则不难证明 ．
（1）如图 2 所示，分别以直角三角形 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 ，， 表示，则 ，， 之间有什么关系 （不必证明）
（2）如图 3 所示，分别以直角三角形 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 ，， 表示，请你确定 ，， 之间的关系并加以证明．
（3）若分别以直角三角形 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用 ，， 表示，为使 ，， 之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件 请证明你的结论．
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
18. 如图所示，在 中，已知 ，，且 ，将 与 重合在一起， 不动， 运动，并满足：点 在边 上沿点 到点 方向运动，且 始终经过点 ， 与 交于点 ．
（1）求证：．
（2）在 的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形 若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
（3）当线段 最短时，求重叠部分的面积．
19. 如图所示，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， 为 的中点，连接 ，交 于点 ，且 ．
（1）求 的长．
（2）若 的面积为 ，求四边形 的面积．
20. 如图所示，已知 是面积为 的等边三角形，，，， 与 交于点 ，则 的面积等于多少（结果保留根号）
21. 如图所示， 是 斜边 上一点， 是直线 左侧一点，且 ，．
（1）求证：．
（2）如果 是斜边 的中点，且 ，试求 的值．
答案
1. D
2. C 【解析】由题意知 ，
所以 ．
3. D
4. D
5. B
6. D
7. C
8. C
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. （1） 较大的三角形的周长为 ，较小的三角形的周长为 ．
（2） 较大的三角形的面积为 ，较小的三角形的面积为 ．
16. （1） 按要求画图如图所示：
（2） 按要求画图如图所示：
17. （1） 设直角三角形 的三边 ，， 的长分别为 ，，，则 ．
．
（2） ．
证明： ，，，
．
．
（3） 当所作的三个三角形相似时，．
证明： 所作的三个三角形相似，
，，
．
．
（4） 分别以直角三角形 三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用 ，， 表示，则 ．
18. （1） ，
．
，
．
，
．
．
（2） 能．
，
，
．
．
①当 时，则 ，
．
．
②当 时，则 ，
，
即 ．
，
．
．
．
．
．
（3） 设 ．
，
．
．
．
．
当 时， 最短为 ．
此时 ，
为 的中点．
．
．．
．
．
19. （1） 四边形 是平行四边形，
，，．
，．
．
．
为 中点，
，
即 ，
，
即 ．
设 ，则 ，，，
，
解得 ．
．
（2） ，且相似比为 ，
．
，．
．
．
20. ，
．
，
．
．
， 是等边三角形．
也是等边三角形．
．
．
如图所示，作 于点 ．
，，
．
是等腰直角三角形．
设 ．
在 中，
，，．
，即 ，
解得 或 （舍去）．
．
21. （1） ，
．
，即 ，
，
，，
．
．
（2） 设 ，则 ，
，
是斜边 的中点，
，
，
．