二次函数导学案

二次函数（第1课时）
一、学习目标
　（1）理解并掌握二次函数的概念；
（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；
（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。
二、学习重点难点
1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出
函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。
三、教学过程
（一）：知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。
2. 形如的函数是一次函数，当时，它是 函数；形如 的函数是反比例函数。
（二）自主探究、合作交流：
问题1： 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。
问题2： n边形的对角线条数d与边数n之间有怎样的关系
问题3： 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示
问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点
小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 __________________________的形式。
问题5：什么是二次函数？
形如
问题6：函数y=ax +bx+c，当a、b、c满足什么条件时，
(1)它是二次函数
(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
三）尝试应用：
例1． 关于x的函数 是二次函数，
求m的值． （注意：二次函数的二次项系数必须是 的数）。
例2． 已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法)
（四）巩固提高：
1．下列函数中，哪些是二次函数
(1)y=3x－1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2;
(4)y=2x2－2x+1; (5)y=x2－x(1+x); (6)y=x－2+x．
2. 是二次函数，则m的值为______________．
3．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
4、n支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。
5、已知二次函数y=x +px+q，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式．
6.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
二次函数（第2课时）
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】 数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】 一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .
二、自主学习: （一）画二次函数y＝x2　　与的图象．
列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … …
在图（3）中描点，并连线
x … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
… …
思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
答：_____
2.归纳：① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ； ③的图象开口_______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 。
（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．
解：列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
… …
归纳：抛物线，，的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；　
顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
例2 请在图（4）中画出函数，，的图象．
归纳：抛物线，，的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
三、合作交流：
归纳： １.抛物线的性质
图象（草图） 对称轴 顶点 开口方向 有最高或最低点 最值
＞0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
2.当＞0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。
3．在前面图（4）中，关于轴对称的抛物线有 对，它们分别答： 。由此可知和抛物线关于轴对称的抛物线是 。
4．当＞0时，越大，抛物线的开口越___________；当＜0时， 越大，抛物线的开口越_________；因此，越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
1．函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
2. 函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________．
3. 二次函数的图象开口向下，则m___________．
4. 二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．
5. 二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________．
6．若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是___________．
7．抛物线①② ③④ 开口从小到大排列是___________________________________；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。
8．点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。
9．如图，A、B分别为上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为 。
10. 当m= 时，抛物线 开口向下．
11.二次函数与直线交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
二次函数（第3课时）
【学习目标】 1．知道二次函数与的联系．
2.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学法指导】
类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】
一、知识链接：直线可以看做是由直线 得到的。
练：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
由此你能推测二次函数与的图象之间又有何关系吗？
猜想： 。
二、自主学习
1.填表： 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 增减性
（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，，的图象．
2．可以发现，把抛物线向______平移______个单位，就得到抛物线；把抛物线向_______平移______个单位，就得到抛物线.
3．抛物线，，的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：
（一）抛物线特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是 。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由
平移得到的。（填上下或左右） 二次函数图象的平移规律：上 下 。
（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。
三、跟踪练习： 1.抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当= 时，有最 值是 。
3．由抛物线平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
5. 抛物线关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴求该函数的表达式；
⑵若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值。
二次函数（第4课时）
【学习目标】
1．会画二次函数的图象；
2.知道二次函数与的联系．
3.掌握二次函数的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
画出二次函数，的图象；先列表：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
… …
… …
归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。
可以看作由向 平移 个单位形成的。
（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；
在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。可以看作由向 平移 个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线特点：1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）
结合学案可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。
四、课堂训练
1．抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。
2. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。
3. 抛物线的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________．
7．抛物线与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．
8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_______________．
9.抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2,
则m＝__________,n＝___________.
10.若抛物线y＝m (x＋1)2过点(1,－4),则m＝_______________.
二次函数（第5课时）
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式的图象；
2．掌握二次函数的性质；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。
2.将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。
二、自主学习
在右图中做出的图象：
观察：1. 抛物线开口向 ；
顶点坐标是 ；对称轴是直线 。
2. 抛物线和的形状 ，
位置 。（填“相同”或“不同”）
抛物线是由如何平移得到的？
答：
。
三、合作交流
平移前后的两条抛物线值变化吗？为什么？
答： 。
四、知识梳理
结合上图和课本第9页例3归纳：
（一）抛物线的特点：
1.当时，开口向 ；当时，开口 ；
2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。
（二）抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。
二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。
（三）平移前后的两条抛物线值 。
五、跟踪训练
1.二次函数的图象可由的图象（ ）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
2.抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
当x＝ 时，y有最 值为 。
3.函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。
4.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。
5. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
（4）
（1）
（2）