特殊三角形—等腰三角形
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）21世纪教育网
1．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
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A．
30°
B．
40°
C．
45°
D．
36°
2．（3分）如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（ ）
A．
AB和BC焊接点B
B．
AB和AC焊接点A
C．
AB和AD焊接点A
D．
AD和BC焊接点D
3．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（ ）
A．
30°
B．
40°
C．
60°
D．
80°
4．（3分）关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．
其中，正确的说法有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
5．（3分）已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）
A．
与AB距离相等的点在MN上
B．
与点A和点B距离相等的点在MN上
C．
与MN距离相等的点在AB上
D．
AB垂直平分MN
6．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（ ）
A．
PC＞PD
B．
PC=PD
C．
PC＜PD
D．
不能确定
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，BD=5，CB=4，CD=3，则点D到AB的距离是（ ）
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A．
5
B．
4
C．
3
D．
2
8．（3分）如图，有如下判断，其中正确的有（ ）
（1）过正方形的每个顶点可以画一条正方形的对称轴，过正方形每边的中点也有一条对称轴，所以说正方形有8条对称轴；
（2）如图①，MN是线段AB的垂直平分线，N是垂足，CD和EF分别是AN，NB的垂直平分线，D，F是垂足，则有AD=DN=NF=FB；
（3）如图②，OD是∠AOB的平分线，DA⊥OA，DB⊥OB，A，B是垂足，0E，OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线，分别交AD于E，交BD于F，则有AE=ED=DF=FB．21世纪教育网
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
二、填空题（共11小题，每小题3分，满分33分）
9．（3分）等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成12和10两部分，则腰长为 _________ ．
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 _________ ．
11．（3分）如图，已知AB=AC，DB=DC，试说明∠ABD=∠ACD．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D，若∠ADC=130°，则∠BAC= _________ 度．
13．（3分）等边三角形的周长是30cm，一边上的高是5cm，则该三角形的面积为 _________ cm2．
14．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，AB=5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD= _________ ，∠ADF= _________ ，BD= _________ ，∠EDF= _________ ．
15．（3分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于 _________ ．
16．（3分）已知∠MON=45°，其内部有一点P关于OM的对称点是A，关于ON的对称点是B，且OP=2cm，则S△AOB= _________ ．
17．（3分）如图，DE是△ABC中AB边上的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E两点，连接AE，若BC=20，AC=12，则△AEC的周长为 _________ ．
18．（3分）如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 _________ ，理由是 _________ ．
19．（3分）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= _________ cm．
三、解答题（共14小题，满分0分）
20．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．
（1）求BE的长；（2）BD=ED吗？为什么？
21．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与0E相等，则最多能添加这样的钢管 _________ 根．
22．已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，过点B作BD⊥AC，垂足为D．求证：PE+PF=BD．
23．已知：∠α，线段m，如图．
求作：等腰三角形ABC，使AB=AC，∠ABC=∠α，底边上的中线AD=m．
24．已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．
25．下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．
同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
26．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．
27．图中两个五边形成轴对称吗？如果是，请你标出A，B，C三点的对称点，并想办法画出对称轴．
28．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．
求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．
29．如图，两个班的学生分别在C，D两处参加植树劳动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，M到两条道路的距离相等，且MC=MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？
30．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．
31．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB，
（1）试找出图中相等的线段，并说明理由．
（2）若DE=1cm，BD=2cm，求AC的长．
32．（1）在△ABC中画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线．
（2）设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O在AB的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等？
（3）由点O在BC的垂直平分线上，又可以得到什么结论？
（4）由（2）与（3）的结论，在线段的相等关系方面，你有什么新的发现？请先用等式表示，再用文字加以叙述．
33．如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？
特殊三角形—等腰三角形
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A．
30°
B．
40°
C．
45°
D．
36°
考点：
等腰三角形的性质．806047
分析：
题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
解答：
解：∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∴∠C=∠BDC=2∠A
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°
∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2?2∠A=180°
解得∠A=36°
故选D．
点评：
本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
2．（3分）如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（ ）
A．
AB和BC焊接点B
B．
AB和AC焊接点A
C．
AB和AD焊接点A
D．
AD和BC焊接点D
考点：
等腰三角形的性质．806047
专题：
应用题；压轴题．
分析：
根据等腰三角形三线合一的性质进行分析即可．
解答：
解：根据等腰三角形的三线合一，知：AD⊥BC，根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D，故选D．
点评：
考查等腰三角形三线合一性质的运用．
3．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（ ）
A．
30°
B．
40°
C．
60°
D．
80°
4．（3分）关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．
其中，正确的说法有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
线段垂直平分线的性质．806047
分析：
由线段垂直平分线的定义，可得一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；线段的垂直平分线是一条直线．注意举反例的解题方法．
解答：
解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；
②线段的垂直平分线是一条直线；正确；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．错误，线段有2条对称轴：还有本身．
故选B．
点评：
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握定义与性质是解此题的关键．
5．（3分）已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ 21世纪教育网 ）
A．
与AB距离相等的点在MN上
B．
与点A和点B距离相等的点在MN上
C．
与MN距离相等的点在AB上
D．
AB垂直平分MN
考点：
线段垂直平分线的性质．806047
分析：
由MN是线段AB的垂直平分线，可得与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．继而求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
解答：
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．
故B正确；A、C、D错误．
故选B．
点评：
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握线段垂直平分线的定义是关键．
6．（3分）（2005?盐城）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（ ）
A．
PC＞PD
B．
PC=PD
C．
PC＜PD
D．
不能确定
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，BD=5，CB=4，CD=3，则点D到AB的距离是（ ）
A．
5
B．
4
C．
3
D．
2
考点：
点到直线的距离；角平分线的性质．806047
专题：
计算题．
分析：
作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，然后根据点到直线的距离的定义即可得到答案．
解答：
解：作DE⊥AB于E，如图，
∵BD平分∠ABC，
而∠C=90°，
∴DE=DC=3，
∴点D到AB的距离是3．
故选C．
点评：
本题考查了点到直线的距离：过直线外一点作直线的垂线，则垂线段的长叫这个点到直线的距离．也考查了角平分线的性质．
8．（3分）如图，有如下判断，其中正确的有（ ）
（1）过正方形的每个顶点可以画一条正方形的对称轴，过正方形每边的中点也有一条对称轴，所以说正方形有8条对称轴；
（2）如图①，MN是线段AB的垂直平分线，N是垂足，CD和EF分别是AN，NB的垂直平分线，D，F是垂足，则有AD=DN=NF=FB；
（3）如图②，OD是∠AOB的平分线，DA⊥OA，DB⊥OB，A，B是垂足，0E，OF分别是∠AOD和∠BOD的平分线，分别交AD于E，交BD于F，则有AE=ED=DF=FB．
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
二、填空题（共11小题，每小题3分，满分33分）
9．（3分）等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成12和10两部分，则腰长为 8或 ．
考点：
等腰三角形的性质．806047
分析：
设腰长为x，分①12是腰长与腰长的一半的和，②10是腰长与腰长的一半的和求解，再求出底边长，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
解答：
解：设腰长为x，
①若12是腰长与腰长的一半的和，则x+x=12，
解得x=8，
此时，底边=12﹣8=4，
8、8、4能组成三角形，
②若10是腰长与腰长的一半的和，则x+x=10，
解得x=，
此时，底边=10﹣=，
、、能组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的腰长是8或．
故答案为：8或．
点评：
本题考查了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形．
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 45°或135° ．
考点：
等腰三角形的性质．806047
分析：
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
解答：
解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．
点评：
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
11．（3分）如图，已知AB=AC，DB=DC，试说明∠ABD=∠ACD．
考点：
等腰三角形的性质．806047
分析：
先根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，再根据角的和差关系即可求解．
解答：
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BD=CD．
∴∠DBC=∠DCB．
∴∠ABC﹣∠DBC=∠ACB﹣∠DCB．
即∠ABD=∠ACD．
点评：
考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D，若∠ADC=130°，则∠BAC= 20 度．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；找准角的关系，列出方程式正确解答本题的关键．
13．（3分）等边三角形的周长是30cm，一边上的高是5cm，则该三角形的面积为 25 cm2．
考点：
等边三角形的性质．806047
分析：
首先根据周长可求边长，然后根据三角形面积公式求出面积即可．
解答：
解：∵等边三角形的周长是30厘米，
∴边长为10厘米．
∵高是5厘米，
∴三角形的面积=10×5÷2=25（cm2）．
故答案为25．
点评：
此题考查等边三角形的性质和三角形的面积计算，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，此题属基础题，比较简单．
14．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，AB=5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD= 30° ，∠ADF= 60° ，BD= 2.5cm ，∠EDF= 120° ．
考点：
等边三角形的性质．806047
分析：
根据等边三角形的性质以及垂线的性质进行解答．
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AB=5cm，
∴BD=CD=BC=2.5cm，∠BAD=∠CAD=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°，
故答案为30°，60°，2.5cm，120°．
点评：
本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是等边三角形的边和角等特征，此题难度一般．
15．（3分）如图，已知四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于 30° ．
考点：
正方形的性质；等边三角形的性质．806047
分析：
正方形的四个角相等，四个边相等，等边三角形三个角相等，三个边相等，从而求出∠ABP，进而求出∠PBC的度数，从而得到∠BPC的度数．
解答：
解：∵四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，
∴∠BAP=∠BAD+∠PAB=90°+60°=150°．
∵PA=AD，AB=AD，
∴PA=AB，
∴∠ABP==15°，
∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=90°﹣15°=75°，
同理：∠PCB=75°，
∴∠BPC=180°﹣75°﹣75°=30°．
故答案为30°．
点评：
本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质，此题难度不大．21世纪教育网
16．（3分）已知∠MON=45°，其内部有一点P关于OM的对称点是A，关于ON的对称点是B，且OP=2cm，则S△AOB= 2cm2 ．
考点：
轴对称的性质；等腰直角三角形．806047
分析：
根据轴对称的性质可得OA=OP，OB=OP，∠AOM=∠MOP，∠BON=∠BOP，然后求出∠AOB=90°，从而判断出△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的面积等于直角边平方的一半列式进行计算即可得解．
解答：
解：∵点P关于OM的对称点是A，
∴OA=OP，∠AOM=∠MOP，
∵点P关于ON的对称点是B，
∴OB=OP，∠BON=∠BOP，
∴OA=OB=OP，∠AOB=∠AOM+∠MOP+∠BON+∠BOP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠MON=2×45°=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OP=2cm，
∴S△AOB=×22=2cm2．
故答案为：2cm2．
点评：
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，熟记性质判定出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
17．（3分）如图，DE是△ABC中AB边上的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E两点，连接AE，若BC=20，AC=12，则△AEC的周长为 32 ．
考点：
线段垂直平分线的性质．806047
分析：
由DE是△ABC中AB边上的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，又由BC=20，AC=12，可得△AEC的周长为：AC+BC，继而求得答案．
解答：
解：∵DE是△ABC中AB边上的垂直平分线，
∴AE=BE，
∵BC=20，AC=12，
∴△AEC的周长为：AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=20+12=32．
故答案为：32．
点评：
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
18．（3分）如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在 ∠A的角平分线上，且距A1cm处 ，理由是 角平分线上的点到角两边的距离相等 ．
点评：
此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．
19．（3分）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE= 2.4 cm．
考点：
角平分线的性质．806047
分析：
首先过点D作DF⊥BC于点F，由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，然后由S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB?DE+BC?DF，求得答案．
解答：
解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵AB=18cm，BC=12cm，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=AB?DE+BC?DF=DE?（AB+BC）=36cm2，
∴DE=2.4（cm）．
故答案为：2.4．
点评：
此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
三、解答题（共14小题，满分0分）
20．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．
（1）求BE的长；（2）BD=ED吗？为什么？
考点：
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．806047
分析：
（1）首先根据等边三角形的性质知AB=AC=BC=10cm，再由D是AC的中点，CE=CD，得到CE=5cm，进而求出BE的长；
（2）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC=30°，结合CD=CE，以及角角之间的等量关系，得到∠DBE=∠CED，即可求出BD=ED．
点评：
本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度一般．
21．如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与0E相等，则最多能添加这样的钢管 8 根．
考点：
等腰三角形的性质．806047
分析：
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
解答：
解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，
…
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．
所以一共有8个．
故答案为：8．
点评：
此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
22．已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，过点B作BD⊥AC，垂足为D．求证：PE+PF=BD．
考点：
等腰三角形的性质．806047
专题：
证明题．
分析：
根据已知，过P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，则△BPE≌△PBG，所以得PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD．
解答：
证明：过P作PG⊥BD于G，
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∵∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PF=GD（矩形的对边相等）①
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C（两条直线平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代换）
∵在△BPE与△PBG中，
，
∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG②
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD．
点评：
此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形PGDF，再证△BPE≌△PBG．
23．已知：∠α，线段m，如图．
求作：等腰三角形ABC，使AB=AC，∠ABC=∠α，底边上的中线AD=m．
考点：
作图—复杂作图．806047
分析：
作法：（1）作PQ⊥EF，垂足为D，在DE上截取DA=m．
（2）以AF为一边，分别在AF两侧作∠FAB=∠FAC=90°﹣∠α，分别交直线PQ于点B、C，则△ABC为所求作的等腰三角形．
解答：
解：由分析作图如下：三角形ABC即为所求．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的性质及用尺规作等腰三角形的方法；作图题一定要保留作图痕迹，这是比较重要的，做题时注意应用．
24．已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由．
考点：
等边三角形的性质．806047
分析：
根据△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点得到AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，求出∠BDA=90°，由CE∥AB得∠ACE=∠BAD，利用90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD得出∠CAE=∠ABD．
解答：
解：∠CAE=∠ABD，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，
∴∠BDA=90°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=∠BDA=90°，
又∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAD，
∴90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD，
即∠CAE=∠ABD．
点评：
本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度不大．
25．下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．
同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
考点：
等腰三角形的性质．806047
专题：
阅读型；分类讨论．
分析：
乍一看两个同学说的都对，但是细分析我们就能看出两个人的回答都不全面，而正确的应该是两者的结合，即结果有两种情况．通过此题教我们养成考虑问题要全面考虑的好习惯．
解答：
答：（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．
理由如下：
①当∠A是顶角时，设底角是α．
∴30°+α+α=180°，
α=75°．
∴其余两角是75°和75°．
②当∠A是底角时，设顶角是β，
∴30°+30°+β=180°，
β=120°．
∴其余两角分别是30°和120°．
（2）感受为：解题时，思考问题要全面，有的题目要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．
点评：
本题考查等腰三角形的性质；题目涉及分类讨论的思想方法，求等腰三角形的角，不能盲目地将其做为顶角或底角中的一种，而应全面考虑问题，把所有的情况都进行分析求解．
26．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．
考点：
轴对称-最短路线问题．806047 21*cnjy*com
分析：
利用轴对称得出找到A，B的对称点A'，B'，连接A'B'，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．
解答：
解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．
因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A'，B'，
连接A'B'，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．
点评：
此题主要考查了利用轴对称的性质找出最短路径问题，根据已知找到A，B的对称点A'，B'，连接A'B'得出C、D两点是解题关键．
27．图中两个五边形成轴对称吗？如果是，请你标出A，B，C三点的对称点，并想办法画出对称轴．
考点：
作图-轴对称变换．806047
专题：
作图题．
分析：
观察图形找出对应关系即可得到点A、B、C的对应点A′、B′、C′，连接AA′，作AA′的垂直平分线即为对称轴．
解答：
解：这两个五边形成轴对称，如图，AA′的垂直平分线l即为对称轴．
点评：
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
28．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．
求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．
考点：
角平分线的性质．806047
专题：
证明题．
分析：
作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得OD=OE，OF=OE，∴OD=OE=OF．
解答：
证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，
D、E、F为垂足，
∵BM为△ABC的角平分线，
OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
同理可证：OF=OE．
∴OD=OE=OF．
即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．
点评：
此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．正确作出辅助线是解答本题的关键．
29．如图，两个班的学生分别在C，D两处参加植树劳动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，M到两条道路的距离相等，且MC=MD，这个茶水供应点的位置应建在何处？
考点：
作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．806047
分析：
因为P到两条道路的距离相等，且使MC=MD，所以M应是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点．
解答：
解：如图，∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点即为茶水供应点的位置．
理由是：因为M是∠O的平分线和CD的垂直平分线的交点，
所以M到∠O的两边OA和OB的距离相等，M到C、D的距离相等，
所以M就是所求．
点评：
此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键．
30．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．
考点：
角平分线的性质．806047
分析：
首先设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，由角平分线的性质，可得：PD=PE，PE=PF，即可得PD=PF，又由角平分线的判定，即可得AP平分∠BAC．
解答：
证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，
∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，
∴PD=PE，PE=PF，
∴PD=PF，
∴AP平分∠BAC，
即AQ，BM，CN交于一点P．
点评：
此题考查了角平分线的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
31．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB，
（1）试找出图中相等的线段，并说明理由．
（2）若DE=1cm，BD=2cm，求AC的长．
考点：
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．806047
分析：
（1）根据线段垂直平分线得出AD=BD，根据角平分线性质得出DE=CD，根据勾股定理得出BE2=BC2=BD2﹣CD2，推出BE=BC，根据线段中点得出AE=BE．
（2）根据（1）得出AD=BD=2，CD=DE=1，代入取出即可．
解答：
解：（1）图中相等的线段有AD=BD，CD=DE，BE=AE=BC，
理由是：∵DE垂直平分线段AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
∵DE⊥BA，BD平分∠ABC，
∴CD=DE，
由勾股定理得：BE2=BD2﹣DE2，BC2=BD2﹣CD2，
∴BE=BC，
∵E为AB中点，
∴AE=BE=BC；
（2）∵由（1）知DE=DC=1cm，BD=AD=2CM，
∴AC=AD+DC=3cm．
点评：
本题考查了线段垂直平分线，角平分线，勾股定理等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．角平分线上的点到角两边的距离相等．
32．（1）在△ABC中画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线．
（2）设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O在AB的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等？
（3）由点O在BC的垂直平分线上，又可以得到什么结论？
（4）由（2）与（3）的结论，在线段的相等关系方面，你有什么新的发现？请先用等式表示，再用文字加以叙述．
考点：
线段垂直平分线的性质．806047
分析：
（1）利用尺规分别画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线．
（2）由点O在AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得OA=OB；
（3）由点O在BC的垂直平分线上，可得OB=OC；
（4）可得三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
解答：
解：（1）如图：分别以BC为圆心，大于BC一半为半径画弧，两弧相交，连接交点，即可得到BC边的垂直平分线；
同理可得：AB边的垂直平分线；
（2）∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB；
（3）∵点O在BC的垂直平分线上，
∴OB=OC；
（4）OA=OB=OC．
三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
33．如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？
考点：
作图—应用与设计作图．806047
分析：
根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．
解答：
解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
∴货物中转站可以供选择的地址有4个．
点评：
本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
