浙教版八年级数学上册1.5用SSS和SAS判定三角形 全等讲义（表格式）

课堂名称 用SSS和SAS判定三角形全等
课堂要点 用“边边边”判定三角形全等　 用“边角边”判定三角形全等　 线段垂直平分线
知识汇总 1.全等三角形判定1:三边对应相等的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”） ； 2.三角形的稳定性:当三角形的三条边确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性. 3.证明两个三角形全等的过程的一般格式:（1）准备条件：把题中没有直接给出的相等条件证明出来，一般由线段的中点、两条线段的和或差、等量代换获得；（2）确定范围：在哪两个三角形中；（3）摆齐条件：把要证明的两个三角形全等的所需的三组条件按顺序摆好，并用大括号括在一起，注意对应元素放在对应位置上，依据写在每一步后面的括号内（如下图）；（4）得出结论：得出三角形全等的结论. 如图，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SSS). 4.方法技巧:（1）证明两条线段相等和两个角相等可以通过两个三角形全等来实现； （2）要充分挖掘隐含条件，如公共边、边的中点等； （3）要抓住图形特征，有时需要运用等式的性质找出证明三角形全等缺少的相等的条件，从而实现两个三角形全等； （4）巧妙作出辅助线，沟通图形的关系，为证明打开通道. 5.全等三角形判定2: 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）； 6.注意书写格式：边角边中的角是指两对应边的夹角，在证明过程中角一定要放在两组对应边的中间. 如图，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS). 7.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 8.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 9.全等变换的应用：全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换. （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换.
例题讲解 例1：如图，若点B、F、C、E在同一条直线上，AB=DE，BF=EC，AC=DF，∠B=62°, ∠DFE=31°，求∠A的度数. (
例题
1
图
) 例2：如图所示，BC=ED，BD=EC，求证：BC∥DE. 请你给下面的每一步填上依据. (
例题
2
图
) 例3：如图所示，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是(　D　)　 A．两点之间线段最短 B．长方形的对称性 C．长方形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 例4：如图AB=AD，∠1=∠2，AC=AE，试说明BC=DE. 例5：如图，在△ABC中，ED是AB的垂直平分线，△ADC的周长为7cm，BC比AC大3 cm，若AB为奇数，求AB的长． 例6：如图所示，在△ABC中，BC＝9，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE＝6，求△BCE的周长． 例7：如图所示，线段AB⊥CD,垂足为O，CO=DO则下列说法正确的有（ ） （1）AB垂直平分CD；（2）CD的垂直平分线是AB ；（3）CD垂直平分AB；（4）AB的垂直平分线是CD所在的直线；（5）CD的垂直平分线是AB所在的直线. A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
综合练习 1.不是利用三角形稳定性的是（　　） A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条 2.如图，点E是BD的中点，AB=AD，BC=DC，图中全等三角形有（　　） A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 3.如图，点E，D分别在AB，AC上，若AB=AC，BE=CD，BD=EC，∠B=32°，∠A=41°， 则∠BOC度数是（ ） A.135° B.125° C.115° D.105° 4.在△ABC中，已知AB=AC，AD是BC边上的中线，则∠ADC是（ ） A. 直角 B. 锐角 C. 钝角 D.不能确定 5.如图，木工师傅用4根木条钉成一个四边形木架ABCD，要使这个木架不变形，木工师傅至少要再钉上木条（ ） A.4根 B.3根 C.2根 D.1根 6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是_． 7.若确定，则需要满足的条件是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 8.如图①AB=CB，AD=CD时，则图中有一对全等三角形； （1）如图②在BD上取一个点E时，图中共有全等三角形 对？ （2）如图③在线段BD上取两个点E，F时，图中共有全等三角形 对？ （3）若在线段BD上取n个点时（不包括端点B、D），图中共有全等三角形 对？（用含n的代数式表示即可） (
图①
图②
图③
) 9.在△ABC中，点E在边AC上， D是边AB的中点，若BE=AE， CE=DE，AD=BC， 求∠C的度数. 10.如图，AF垂直平分BC，AD=CE，DB=AE，求证:∠D=∠E. 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=AF，过点F作EF∥CB ，交CD于点E，连接AE并延长交CB于M，CE=FE.求证:AM是∠CAB的平分线. 12.如图，点E、F在直线BD上，AD∥CB，DE=BF，AD=CB，求证：∠BAD=∠DCB. (
第
13
题图
) 13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AD=3，则AC的取值范围是（ ） A.1＜AC＜5 B. 2＜AC＜5 C. 2＜AC＜8 D. 1＜AC＜11
答案 例1：∵BF=EC（已知），∴BC=BF＋FC，EF=EC＋CF（等式的性质）， 即BC=EF.在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）. ∴∠ACB=∠DFE=31°（全等三角形对应角相等）.∵∠B=62°（已知）， ∴∠A=180°－（∠B+∠ACB）=180°－（62°+31°）=87°（三角形内角和定理） 例2：连接CD，在△BCD和△EDC中， ∴△BCD≌△EDC(SSS). ∴∠BCD=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.∴BC∥DE（内错角相等两直线平行）. 例3：D 例4：∵∠2=∠1（已知），∴∠BAE＋∠2 =∠1＋∠BAE（等式的性质）. 即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）. ∴BC=DE（全等三角形对应边相等）. 例5：∵ED是AB的垂直平分线（已知）， ∴AD=BD（线段垂直平分线性质定理）. ∵△ADC的周长为7cm（已知）， ∴△ADC的周长=AC＋CD＋AD=AC＋CD＋BD=AC＋BC=7 cm. 又∵BC比AC大3 cm（已知）， ∴BC－AC=3 cm（由题意得到等式）. ∵BC－AC＜AB＜BC＋AC（三角形三边关系定理）， ∴3＜AB＜7.（等量代换） ∵AB为奇数，∴AB=5 cm. 例6： 例7：B 综合练习 C B D A D SSS B ∵D是边AB的中点（已知），∴BD=AD（中点定义）. 在△BED和△AED中， ∴△BED≌△AED(SSS).∴∠BDE=∠ADE(全等三角形对应角相等). ∵∠BDE＋∠ADE=180°（平角定义），∴∠BDE=∠ADE=90°. ∵BD=AD(已证)，AD=BC（已知）∴BD=BC（等量代换） 在△BED和△BEC中， ∴△BED≌△BEC(SSS).∴∠C=∠BDE =90°（等量代换） 10.证明：连接AB、AC， ∵ AF垂直平分BC（已知），∴ AB=AC（线段垂直平分线的性质）. 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA（SSS∴∠D=∠E（全等三角形对应角相等） 11.证明：∵CD⊥AB（已知），∴∠CDB=90°（垂直定义），∴∠3+∠B=90°（直角三角形中两锐角互余）. ∵∠ACB=90°（已知），∴∠1+∠3=90°（直角定义）.∴∠1=∠B（等式的性质）. ∵EF∥CB （已知），∴∠2=∠B（两直线平行同位角相等）.∴∠1=∠2（等量代换）. 在△ACE和△AFE中， ∴△ACE≌△AFE（SAS）.∴∠CAE=∠FAE(全等三角形对应角相等) ∴AM是∠CAB的平分线（角平分线定义）. 12.证明：∵AD∥CB（已知），∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等）， ∴∠ADE=180°－∠1，∠CBF=180°－∠2（邻补角定义）. ∴∠ADE=∠CBF（等量代换） 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. ∴∠E=∠F，∠DAE=∠BCF（全等三角形对应角相等）∴AE=CF（全等三角形对应边相等） ∵DE=BF（已知）∴DE+BD=BF+DB（线段的等量加等量和相等）即：EB=FD 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）. ∴∠BAE=∠DCF（全等三角形对应角相等）∴∠BAE－∠DAE=∠DCF－∠BCF（角的等量减等量差相等）即：∠BAD=∠DCB. 13.如图延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=6. ∵AD是BC边上的中线（已知）， ∴BD=CD（中点定义）， 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC=5（全等三角形对应边相等）， 在△ABC中， AE－EC＜AC＜AE＋EC（三角形三边关系定理）. 即6－5＜AC＜6＋5. 1＜AC＜11故选D.