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二次函数复习学案一答案
一．二次函数的概念：
例1.（1）函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．3 B． C． D．或3
答案：D
解析：∵函数是关于x的二次函数，
∴，且，
由得，或，
∴m的值是3或-1，
故选D．
(2）函数y＝x＋1，y＝x2＋2，y＝x2，y＝－2x2＋1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
解析：当x＞0时，y随x的增大而增大的函数是一次函数y＝x＋1和二次函数y＝x2＋2和y＝x2．
故选C．
（3）对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x=﹣2 D．当x＜2时y随x的增大而减小
答案：D
解析：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y=1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误，
当x＜2时y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选D．
（4）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．.
答案：B
解析：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
（5）已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2 C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
答案：A
解析：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
1．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确
答案：C
解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
2.下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线
C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0
答案：C
解析：A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误；
B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；
D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误；
故选：C．
3.若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：∵抛物线经过
∴设抛物线解析式为
把代入得：
∴抛物线解析式为
故选A.
4．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
答案：B
解析：由题意，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有=100种，
故选：B
5．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（ ）
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0
答案：C
解析：将（0,0）代入求出a的值，因为二次函数二次项系数不能为0，排除一个a的值即可.
将（0,0）代入y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1，得a=±1，∵a≠1，∴a=-1.
故选择：C
二．二次函数的图象：
例2.（1）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
解析：A选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，A错误；
B选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；
C选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；
D选项，由函数解析式，<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．
故选择：C
（2）若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．0或3
答案：B
解析：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，
∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，
∴-（m2-3m）=0，
解得：m=0或m=3，
∵二次函数的二次项系数m不能为0，
∴m=3．
故选：B．
（3）抛物线与的形状完全相同，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．不能确定
答案：C
解析：抛物线与的形状完全相同，则a=2或-2
故选：C．
（4）抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
答案：B
解析：抛物线的顶点为(0,0)，抛物线的顶点为(-3,-1)，抛物线向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位得到抛物线．
故选：B．
（5）．下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数的图象开口向上，函数的图象开口向下
B．二次函数，当时，随的增大而增大
C．与图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线与的图象关于轴对称
答案：D
解析：、若当时，则函数的图象开口向下，函数的图象开口向上，故不正确；
、若时，则二次函数开口向上，当时，随的增大而减小，故不正确；
、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故不正确；
、因为和互为相反数，所以抛物线与的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于轴对称；
故选:D.
1.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是_____
答案：y=-x2+2（答案不唯一）
解析：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），
∴a＜0，c=2，
∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．
故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．
2．把二次函数化成的形式，则________，把此函数图象向右平移个单位后，它的顶点坐标是________
答案：y= ,
解析：把二次函数化成顶点式得y= ,
把y= 的图像向右平移个单位后得y= ,
∴函数的顶点坐标是.
3.如图，点A（﹣，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B，则线段AB的长是_____
答案：3
解析：∵点A（﹣，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，
∴该抛物线的对称轴是直线x=1，
∵过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B，
∴点B的横坐标是：1×2﹣（﹣）=，
∴AB==3，
故答案为：3．
4.已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
答案：D
解析：由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确；
当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确；
图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误.
故选D
例3.已知抛物线的对称轴是直线x=2，该抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式．
解析：∵抛物线y＝a（x＋m）2，
∴对称轴为x＝ m，
∵抛物线对称轴是x＝2，
∴m＝ 2，
∴抛物线解析式为y＝a（x 2）2，
∵抛物线与y轴的交点是（0，8），
∴8＝a（0 2）2，
解得a＝2．
∴这个二次函数的解析式是y=2(x 2)2
1.已知函数是二次函数．
（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
解析：（1）∵
∴
∵
∴m≠3
∴
（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为
∵a=-6＜0
∴开口方向向下
∴对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）．
例4.如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
解析：(1)把代入得：，
∴抛物线解析式为；
(2)设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
1．已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．
解析：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
(2)在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：
2.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；（2）求点的坐标； （3）求．
解析：（1）二次函数与一次函数的图象相交于，
则，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点
联立
解得
（3）设直线与轴的交点为,如图，
由，令，解得
，
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二次函数复习学案一
一．二次函数的概念：
例1.（1）函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．3 B． C． D．或3
(2）函数y＝x＋1，y＝x2＋2，y＝x2，y＝－2x2＋1中，当x＞0时，y随x的增大而增大的函数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1
C．图象的对称轴为直线x=﹣2 D．当x＜2时y随x的增大而减小
（4）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A． B． C． D．.
（5）已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2＋4x﹣1 B．y＝x2＋4x﹣2 C．y＝-2x2＋4x+1 D．y＝2x2＋4x+1
1．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确
2.下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点(，) B．它的图象的对称轴是直线
C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．当x=0时，y有最大值为0
3.若抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
5．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（ ）
A．1或－1 B．1 C．－1 D．0
二．二次函数的图象：
例2.（1）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
（2）若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．0或3
（3）抛物线与的形状完全相同，则a的值为（ ）
A．2 B． C． D．不能确定
（4）抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
（5）．下列判断中唯一正确的是（ ）
A．函数的图象开口向上，函数的图象开口向下
B．二次函数，当时，随的增大而增大
C．与图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同
D．抛物线与的图象关于轴对称
1.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是_____
2．把二次函数化成的形式，则________，把此函数图象向右平移个单位后，它的顶点坐标是________
3.如图，点A（﹣，t）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，过点A平行于x轴的直线交抛物线于另一点B，则线段AB的长是_____
4.已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图象的顶点坐标是（1，4） D．图象与x轴的另一个交点是（4，0）
例3.已知抛物线的对称轴是直线x=2，该抛物线与y轴的交点坐标是(0，8)，求这个二次函数的解析式．
已知函数是二次函数．
（1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．
例4.如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
1．已知：二次函数y＝x2﹣1．(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)画出它的图象．
2.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；（2）求点的坐标； （3）求．
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复习作业答案
一．选择题：
1.答案：D
解析：∵是二次函数,
∴a-1≠0,
解得：a≠1,
故选你D.
2.答案：C
解析：由题意得，解得
故选C.
3.答案：C
解析：y＝2x 2－8x－1
＝2（x 2－4x＋4）－8－1
＝2（x－2）2－9，
即y＝2（x－2）2－9．
故选C．
4.答案：D
解析：将抛物线先向左平移3个单位得，再向上平移5个单位得；
故选D．
5.答案：A
解析：∵抛物线经过
∴设抛物线解析式为
把代入得：
∴抛物线解析式为
故选A.
6.答案：D
解析：由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线，
∵抛物线：与抛物线：关于直线对称，
∴，解得.
∵点关于直线对称的点，在抛物线：上，
∴把点代入得，
解得，
故选D．
7.答案：C
解析：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
8.答案：B
解析：由题意，
∴a有四种选法：1、2、3、4，
∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4，
∴共有=100种，
故选：B
9.答案：B
解析：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1
=
∴抛物线的顶点坐标为
∴顶点到原点的距离为：
设
故此函数的顶点坐标为，
当时，函数取最小值为，
故抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标到原点的最短距离为：
因此平移的最短距离为：
故选：B．
10.答案：D
解析：将化为顶点式得：，
∴这条抛物线的顶点坐标为，
∴关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∵它们的顶点相距6个单位长度．
∴，化简得：，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的值是或，
故选：D．
二．填空题：
11.答案：
解析：将（0,0）代入y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1，得a=±1，∵a≠1，∴a=-1.
12.答案：
解析：∵y＝﹣2（x+m）2﹣3，
∴对称轴为x＝﹣m，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴﹣m≤1，解得m≥﹣1，
故答案为m≥﹣1．
13.答案：4
解析：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．
故答案为4．
14.答案：6
解析：∵点是二次函数图像上，
∴则．
∴
故答案为：6．
15.答案：
解析：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6经过（0，0），
∴m2+m﹣6＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
∵抛物线开口向下，
∴m﹣2＜0，
解得m＜2，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16.答案：，．
解析：根据题意，设抛物线的解析式y＝a（x＋3）2 2，
∵抛物线经过点（1，6），
∴6＝a（1＋3）2 2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y1＝（x＋3）2 2．
把（1，6）代入y2＝2x＋m得6＝2×1＋m，解得m＝4，
∴y2的函数解析式为y2＝2x＋4．
三．解答题：
17.解析：(1)二次函数的图象经过点，，
，解得，
即的值为，的值为；
(2)由（1）可知二次函数解析式为，
二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线．
18.解析：（1）∵a=1＞0，∴图象开口向上；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，-4）;
（2）由图象与y轴相交则x=0，代入得：y=-3，
∴与y轴交点坐标是（0，-3）；
由图象与x轴相交则y=0，代入得：x2-2x-3=0，
解方程得x=3或x=-1，
∴与x轴交点的坐标是（3，0）、（-1，0）；
（3）当时，y随x的增大而增大.
19.解析：（1）设y1＝k1（x﹣3），y2＝k（x2+1），
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），
把x＝0，y＝﹣4；x＝﹣1，y＝﹣6分别代入y＝k1（x﹣3）+k（x2+1），
得：，
解得：，
则y＝x﹣3﹣（x2+1）＝﹣x2+x﹣4；
（2）点A（1，﹣4）在此函数图象上，理由如下：
把x＝1代入y＝﹣x2+x﹣4，
得：y＝﹣1+1﹣4＝﹣4，
∴A（1，﹣4）在此函数图象上．
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复习作业
一．选择题：
1.当函数是二次函数时，a的取值为（ ）
A． B． C． D．
2.二次函数，当函数值为2时，自变量的值是（ ）
A．x=-2 B．x="2" C．x=1 D．x=-1
3.将二次函数y＝2x 2－8x－1化成y＝a（x－h）2＋k的形式，结果为（ ）
A．y＝2（x－2）2－1 B．y＝2（x－4）2＋32 C．y＝2（x－2）2－9 D．y＝2（x－4）2－33
4.在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
5.抛物线经过三点，则此抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
6.若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7.函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
8．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（ ）
A．125个 B．100个 C．48个 D．10个
9．若要平移二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．
10．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为则的值是( )
A． B．或 C．或 D．或
二．填空题：
11．若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值为_____________
12.已知抛物线y＝﹣2（x+m）2﹣3，当x≥1时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是_____
13.若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=___________
14.点是二次函数图像上一点，则的值为__________
15．如图所示的抛物线是二次函数y＝（m﹣2）x2﹣3x+m2+m﹣6的图象，那么m的值是_____
16．已知函数，它的顶点坐标为与交于点，则的函数解析式分别为________
三．解答题：
17．二次函数的图象经过点(1，－8)，(5，0)．
(1)求b，c的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
18.已知二次函数y＝x2－2x－3．(1)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
19．已知y＝y1+y2，其中y1与x﹣3成正比例，y2与x2+1成正比例，且当x＝0时，y＝﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣6．（1）求y与x的函数关系式；
（2）判断点A（1，﹣4）是否在此函数图象上，并说明理由．
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