第2章 有理数的运算整章学案

第2章 有理数的运算
2．1 有理数的加法（1）
【学习准备】
1．七<1>班举行科普知识竞赛，将加10分记做+10分，则扣20分记作_________。第1小组先后回答两个问题分别加了10分和扣了20分，根据经验，第1小组通过这两个问题的回答结果被扣了10分，扣10分应记作_________．
2．一个点从数轴上的原点开始，先向负方向移动3个单位长度，再向负方向移动7个单位长度，这时点所对应的数是_________．
加法运算是最基础的运算，若有负数参与加法运算，如：；，又应该怎样计算呢，本节课我们就来研究有理数的加法．
【课本导学】
思考一：阅读解答课本第26页“合作学习”中的问题时思考：
1．求两天共运进多少吨或共运出多少吨水泥用什么运算？求一天仓库中增加了多少吨水泥呢？
2．观察根据问题(1) （2）列出的算式：
①这些算式中，哪些是以前学过的？哪些是以前没学过的？它们之间的差异在哪里？
②问题(1) 中的算式两个加数的符号有什么特点？问题（2）中的算式呢？
3．阅读合作学习下面的三行，你能从问题的实际意义和数轴的直观表示两个方面说明等式（+5）+（+3）=+8和（-2）+（-4）=-6成立吗？
[练习]完成课本第26页做一做，第28页课内练习4（1）及第29页作业题2（1）（2）．
『归纳』
1．同号的两个有理数相加，和的符号与两个加数的符号之间有什么关系？和的绝对值与两个加数的绝对值呢？
2．两个正数相加，和的值与两个加数值比较哪个大？两个负数相加呢？
思考二：阅读课本第27页“符号不同的两个数相加的情形”中的内容并思考：
1．等式（+3）+（-4）=-1中+3，-4，-1的实际意义？
2．两个异号的有理数相加，和的符号怎么确定？和的绝对值怎么确定？
3. 如果两个有理数相加为零，则这两个有理数有何关系？
[练习]完成课本第27页做一做，第28页课内练习4（2）及第29页作业题2（3）（4）．
『归纳』
1．异号的两个有理数相加，和的符号与两个加数的符号之间有什么规律？和的绝对值与两个加数的绝对值呢？
2．一个数加上一个正数，其和比原数大还是小？加上一个负数呢？
3．课本采用分类讨论的方法得出两个有理数加法的运算法则，一共分为四类，请将这四类法则整理在一起，然后说说这样分类的依据．
思考三：阅读课本第28页例1，并思考下面的问题：
1．4个小题的计算分别分几步完成？每一步的作用是什么？
2．每一小题的运算依据是什么？
[练习]完成课本第28页课内练习1、2、3及第29页作业题3．
『归纳』总结有理数加法的运算步骤和书写规范．
思考四：阅读课本第28页例2，并思考下面的问题：
1．解答中等式7+（-5）=2和0+（-5）=-5表示的实际意义分别是什么？
2．你能借助“温度计”验证例2的答案正确吗？
3．如果两天后受冷空气影响，实际降温6.1℃，那么两天后该市的最高气温、最低气温分别是多少摄氏度？
[练习]完成课本第29页作业题1、4．
『归纳』总结用有理数加法解决实际问题的步骤、书写规范和注意事项。
【学习检测】
1．计算：
(1) (2)
(3) (4)
2．在括号中填上适当的符号，使下列式子成立．
　 (1)
(2)
(3)
(4)
3．在数轴上表示下列有理数的运算，并求出计算结果．
　 (1) (2)
4．土星表面的夜间平均温度为－150℃，白天的平均温度比夜间平均温度高27℃，求土星白天 的平均温度是多少？
5．如果两个数的和为正数，那么这两个数( )
(A)一定都是正数 (B)一定是一正一负 (C)一定是零和正数 (D)至少一个是正数
【巩固提高】
1．两数相加，如果和小于任一加数，那么这两个数( )
(A)同正数 (B)同为负数 (C)一正一负 (D)一个为零，一个为负数
2．说出一个可用有理数加法计算的实际问题，要求用一个正数和两个负数的加法来解决，写出算式，并借助数轴求出计算结果．
3．我们知道，互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数．在进行绝对值不相等的异号两数相加时，我们可以借助这两条运算法则来进行运算，例如：(+5)+(-7)=(+5)+(-5)+(-2)=
0+(-2)=-2，这种方法叫做“正负抵消法”．自己举出几个绝对值不相等的异号两数相加的例子并完成相应的运算．
2．1 有理数的加法（2）
【学习准备】
1．飞机的飞行高度是2200米，若规定上升为正，则先上升500米，再下降600米，这时飞行高度可列算式表达为____________________________，若先下降600米，再上升500米，这时飞行高度可列算式表达为____________________________．
2． 一位农民出售10袋大豆给粮油批发市场，每袋以100千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录结果如下(单位：千克)：－4，＋3，＋1，0，0，＋2，＋1，－ 1，0，－1，用简便方法计算这个农民共出售了多少千克大豆？
上节课我们已经学习了有理数的加法法则， 本节课我们主要研究加数多余两个的有理数加法．
【课本导学】
思考一：阅读并解答课本第30页“合作学习”中的三个问题，然后思考下面几个问题：
1.图2–5的第一行的图案中，在五角星和三角形内分别填入两个有理数，得到两个算式，计算这两个算式的值(多写几组，，如：一个正数、一个负数，或两个都是负数)，这样得到了等式，得到的等式，能说明什么规律？将这个规律用语言表示出来，并举两个例子来说明。
2．小学中三个或三个以上的数相加，一般怎样运算？对于有括号的式子呢？
3．在图2–5的第二行的图案中在五角星和三角形内分别填入两个有理数，得到两个算式，计算这两个算式的值(多写几组，如：一个负数、两个正数，两个负数、一个正数或三个都是负数)，这样得到了等式，得到的等式，能说明什么规律？将这个规律用语言表示出来，并举两个例子来说明。
[练习]完成课本第32页课内练习1及32页作业题1．
『归纳』1．多个有理数相加的运算顺序与小学所学加法运算有无区别？
2．有理数加法有哪两条运算律？两条运算律的具体含义是什么？
思考二：阅读并解答课本第30页例3，并思考下面的问题：每一小题运用怎样的运算律来简便运算？
[练习]完成课本第32页课内练习2及32页作业题2．
『归纳』在例3及练习的基础上归纳加数具备哪些情形可选用运算律使运算简便？
　
思考三：阅读课本第31页例4，并思考下面的问题：
1．问题(1)：玩具车最终停在何处；问题(2)：玩具车一共行驶了多少米．两个问题中，哪个问题与运动方向有关，哪个问题与运动方向无关？
　　　　2．如果规定向西为正，问题又应该如何解答呢？
[练习]完成课本第33页作业题3及32页课内练习3．
『归纳』一般地，运用有理数加法解决实际问题的一般步骤怎样？
【学习检测】
1．计算：
(1) 　　 (2) 　　 (3)
2．用简便方法计算．
(1)
(2)
(3)
3．列加法算式解答下题：
某天股票A开盘价为每股18元，上午11:30时每股跌1.5元，下午收盘时每股又跌了0.3元，则股票A当天的每股收盘价为多少元？
4．每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下(单位：千克)：91，91， 91.5，89，91.2，91.3 ， 88.7，88.8，91.8，91.1，用简单方法计算10袋小麦的总重量是多少千克？
5．写出一正一负两个有理数，使得它们与的和为零．
【巩固提高】
1．计算：
2．某检修小组乘汽车从A地 出发，在东西走向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，一天中行驶记录如下(单位：km)：－4，＋7，－9，＋8，＋6，－4，－3．
(1)收工时汽车共行驶多少千米？
(2)收工时汽车距A地多远？
(3)在哪次记录时离A地最远？
3．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度，下表是某次测量数据的记录(A-C表示观测点A相对观测点C的高度)，则观测点A相对观测点B的高度为________．
A-C C-D E-D F-E G-F B-G
90米 80米 -60米 50米 -70米 40米
2．2 有理数的减法（1）
【学习准备】
1．计算： ，回顾有理数加法法则．
2．10比3大多少？10比大多少？请列出算式．
3．有意义吗？如有，请举一个实际例子加以说明．
在正有理数范围内没有意义，但引入负数就不同了．例如，你用3元钱向售货员买10元的物品，如果售货员让你先把物品拿走，那么你将欠售货员7元．这件事实如用算式表达，即．
由此可见，引入负数后，任意两个有理数都可以进行减法运算了．
如何进行有理数的减法运算？减法运算与加法运算有何关系？这是我们这节课要学习的内容．
【课本导学】
阅读课本第33页内容，然后思考：
1. 在回答节前语中的问题前，先回答如下问题：
（1）死海湖面低于海平面392米，则死海湖面的海拔是多少？
（2）要求死海湖面与吐鲁番盆地最低点这两地海拔的差，需要进行什么运算？
2. 要求厦门的最高气温度比哈尔滨的最高气温度高多少度，需要进行什么运算？试列出算式．
3. 用两种方法来求以上算式的结果：
（1）观察图2–7，直接写出这个算式的结果．
（2）根据加法与减法互为逆运算，先把加法算式转化为减法算式，再写出算式的结果．
（3）比较（1），（2）中所求得的结果，可得到怎样的等式？
4.观察下列等式，请你尝试着描述有理数减法法则，然后阅读课本第34页的减法法则，看你描述的法则与课本给出的法则是否相同．
阅读课本34页例1．
[练习]完成课本第35页课内练习1，2和作业题1．
『归纳』
1.有理数减法法则的实质是把减法运算转化为什么运算？这种转化方法，是一种数学思想方法，问它称为什么方法？
2. 由有理数减法的法则可知，两个有理数甲与乙的减法运算，可转化两个有理数丙与丁的加法运算，这里甲与丙，乙与丁之间是否相等？有何关系？
阅读课本第34页例2，并思考：
1．结果中的“”号表示的实际意义是什么？
2. 在例2中，如果列式是－155－（－392），是否正确？若正确，此时应怎么计算？结果是多少？如何答？若不正确，说明理由．
[练习]完成课本第35页作业题4．
『归纳』你认为运用有理数减法运算解决实际问题的一般步骤有哪些？
列式并计算：已知3与一个数的和是，求这个数．
若有困难，请先思考下列问题：
1．已知和与一个加数，求另一个加数，可采用什么运算？请列出算式．
2．若把问题中的“和”改为“差”， 又该怎样列这个算式？
[练习]完成课本第36页作业题5．
『归纳』在运用加法运算与减法运算的互逆性列式运算时，你认为应该注意哪些问题？

【学习检测】
1．小聪家的冰箱冷藏室温度是，冷冻室温度是，则他家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）
（A） (B) (C) (D)
2．计算：（1）； （2）； （3）
3．列式并计算：已知某数与的和为，求某数．
4．右图为某一矿井的示意图，以地面为准，点的高度是，
点的高度是，点的高度是，问点比点高
多少米？点比点高多少米？
5．计算：．
【巩固提高】
1．列式计算：求数轴上表示的点与表示的点之间的距离，然后利用数轴检验计算结果是否正确．
2．某中学七年级（1）班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分是100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时四个小组的分数如下表：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
100 150 —400 —100
（1）第一组的分数超过第四组多少分？
（2）如果第三组与第四组的分数和为，则第三组的分数是多少？
3．在与之间插入三个数，使每相邻两个数之间的距离相等，试求出这三个数．
4．计算：．
2．2 有理数的减法（2）
【学习准备】
1．一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
高度的变化 上升4.5千米 下降3.2千米 上升1.1千米 下降1.4千米
记作 +4.5千米 -3.2千米 +1.1千米 -1.4千米
此时飞机所飞高度比起飞点高了多少千米？
列式： ，结果是 ．
2．计算： ；． 回顾有理数减法法则．
3．将以上两个算式串成一个算式：，你认为怎样计算比较简便？
【课本导学】
针对上面问题3，,请思考下面问题：
1．请你从左到右逐步计算，结果是多少？
2．能否运用运算律简化运算？如果能，首先需要做什么？
阅读课本第36页例3之前的内容，并思考下列问题：
1．计算第一步将减法转化成加法，是利用什么运算法则？
2．计算第二步是运用了什么运算律？这样做的目的是什么？
阅读课本第36页例3，请思考下面问题：
从例3的运算中看到，将加减运算统一为加法运算后，再根据加法的交换律和结合律，将负数和负数、正数和正数分别相加．是不是所有加减混合运算都要这样做？通过计算（－）＋（－）－（－）－（－）后，回答此问题．
[练习]完成课本第36页做一做和第37页课内练习1．
『归纳』为什么要将加减混合运算统一为加法运算？
阅读课本第37页例4题目，并思考下面问题：
1．如何用不同的有理数区分“存入100”与“取出100”？
2．经过若干次的存入、取出后，如何判断现款是增加还是减少？
阅读课本例4的解答，并思考下面问题：
1．解答中是如何运用运算律简化运算的？
2．结果“459”表示的实际意义是什么？
3. 例4中，如果在这一时段内再受理一项业务，使得现款即不增加也不减少，那第9项现款储蓄业务是怎样的？如果在这一时段内再受理两项业务，使得现款即不增加也不减少，那第9项、第10项现款储蓄业务又是怎样的？
[练习]完成课本第37页课内练习2．
『归纳』进行加减混合运算时，若算式中的数较多，怎样才能使运算简便？
【学习检测】
1．把统一成加法运算，其形式为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2．计算时，运用加法交换律和结合律变形进行简便运算，其最佳结合方式为 ．
3．计算：
（1）； （2）．
4．求的和．
5．一个环保监测队，第一天沿江向上游走，第二天又向上游走，第三天向下游走了，第四天向下游走，这时环保监测队在出发点的上游还是下游？距离出发点多远？
【巩固提高】
1．若三个不相等的有理数的和为0，则下列结论正确的是（ ）
(A) 三个加数全是0 (B) 至少有两个加数为负数
(C) 至少有一个加数为正数 (D) 至少有两个加数为正数
2．将这9个数分别填入图中的9个空格，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加的和均为0．
3．用简便方法计算：
；
分析：； ； ；
； ----------------------
；
请完成此题．
2．3 有理数的乘法（1）
【学习准备】
1．一只蜗牛在数轴上以每分3cm的速度爬行，它现在的位置恰好在原点0处．
请在下列数轴上分别表示出蜗牛的位置，并用数学算式表示你的结果．(设向左为负，向右为正)
(1)向右爬行2分后它在什么位置
算式：______________，位置______________．
(2)向左爬行2分后它在什么位置
算式：______________，位置______________．
2．观察上面的算式，请猜想：
正数乘正数积是 数， 负数乘正数积是 数；乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 ．
【课本导学】
阅读 阅读课本第39页“做一做”之前的内容并完成“做一做”，再思考下面问题：
1．请用两个实例分别说明“”和“”的实际意义．
2．观察“做一做”左右两列算式中相乘两数及计算结果的符号，你发现两数相乘，乘数的符号的变化与积的符号的变化之间有什么关系？具有怎样的符号规律？
阅读课本第39页“我们发现…”至第40页“做一做”的内容，思考下列问题：
1．你认为运算有理数乘法时可分哪几步进行？
2．你认为两 个有理数相乘，积的符号与两个因数的符号有何关系？积的绝对值呢？
3．请你尝试着描述有理数乘法法则．
阅读课本第40页有理数乘法法则，看你描述的法则与课本给出的法则是否相同．
[练习]完成课本第41页课内练习3．
『归纳』两个有理数相乘，如何确定积的符号？如何确定积的绝对值？
阅读课本第40页例1，并思考下面问题：
1．多个有理数（不含零）相乘时，怎样确定积的符号？
2．多个有理数相乘时，若有一个因数为零，则结果为多少？
3．与，与，它们的积有什么共同特点？联想互为相反数的定义，请你给这样的两个数取个名称，并尝试着给出其定义，再举一些例子．
[练习]完成课本第41页课内练习1和作业题1．
『归纳』求若干个有理数（不含零）的积时，若负因数的个数为偶数，那么积为 （填“正”或“负”）；若负因数的个数为奇数，那么积为 （填“正”或“负”）；若其中一个因数为零，则积为 ．
阅读课本第40页最后两行，并思考下列问题：
1．互为倒数的两数的符号有何关系？
2．零为什么没有倒数？
[练习]完成课本第41页课内练习2和作业题2．
『归纳』
1．多个有理数（不含零）相乘时，若有两个因数互为倒数，怎样运算更简便？
2．填写下表：
定义 特殊情况 符号性 存在性
互为相反数 两个数的和为零 0的相反数 两数符号 任何数都有相反数？
互为倒数 两个数的 0的倒数 两数符号 任何数都有倒数？
【学习检测】
1．用“”，“”或“”填空：
（1） ； （2）；
（3） ； （4）．
2．的倒数是 ( )
（A） (B) (C) (D)
3．一个有理数与它的相反数相乘，积（ ）
（A）一定为正数 (B) 一定为负数 (C) 一定不大于零 (D) 一定不小于零
4．计算：
（1）； 　　　 　　　　（2）；
（3）；　　（4）．
5．汽车从东站出发以每小时40千米的速度向东行驶3小时，接着以每小时50千米的速度向西行驶4小时，求汽车最后的位置？
【巩固提高】
1．已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是１，求的值．
2．如果两数之积是正数，而它们的和是负数，那么这两个数（ ）
(A) 都是正数 (B) 都是负数
(C) 一正一负且负数的绝对值大 (D) 符号不能确定．
3．把6写成两个整数的积，把写成两个整数的积，然后把各个因数分别填入图中的各个方格中，使两条对角线上的两数之积的和等于．
　　　　　　　　　　　　
4．计算：．
2．3 有理数的乘法（2）
【学习准备】
1．填空： (依据：　　　　)
　　 (依据：　　　　)
　　 (依据：　　　　)
猜想：以上运算律在有理数范围内是否仍然成立？
2．运用简便方法计算： ，并说说你的依据.
3．若将上题改为 ，怎样计算更简便？
【课本导学】
阅读 阅读课本第42页“计算下列…”至“…试一试”内容，再仔细观察下列等式，
；
；
.
请思考下列问题：
1．小学所学的乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围是否适用？
2．请你用字母表示上述算式.
阅读课本第42页“在有理数…”至“…有关的运算”内容，体会用字母表示运算律的优越性.
阅读课本第43页例2，并思考下面问题：
1．第(1)题是先处理符号，再运用乘法交换律和结合律计算，这样处理有什么好处？
2．你认为运用分配律计算时要注意些什么？
[练习]完成课本第44页作业题1和2．
『归纳』进行乘法运算时，你认为应从哪些方面入手寻求简便运算？
用简便方法计算下列各题：
（1）; （2） ．
思考下列问题：
1．你是运用什么运算律简化运算的？
2．能运用分配律逆运算的算式具有什么特征？
[练习]完成课本第45页作业题5．
『归纳』你认为逆用分配律时要注意哪些问题？
阅读课本第43页例3题目，并思考以下问题：
1．三个班级若按计划借走篮球总数的后，剩下的篮球占篮球总数的几分之几？请用算式表示剩下的篮球数．
2．够不够借，通过什么反映出来？
阅读课本第43页例3解答过程，并思考以下问题：
1．在计算时，运用了什么运算律？
2．结果“”中的“”号表示的实际意义是什么？
[练习]完成课本第45页作业题3．
『归纳』运用分配律解决实际问题的一般步骤有哪些？
【学习检测】
1．三个有理数的积为负数，则这三个数中负数的个数有（ ）
（A）1个 (B) 3个 (C) 1个或3个 (D) 无法确定
2．在计算时，可以避免通分而进行简便计算的运算律是( )
（A）加法交换律 (B) 分配律 (C) 乘法交换律 (D) 加法结合律
3．运用分配律计算时，你认为下列变形最简便的是（ ）
（A） (B)
(C) (D)
4．用简便方法计算：
（1）； （2）；
（3）．　　
5．筐内共有120个乒乓球，小明拿走总数的，小聪拿走总数的，小惠拿走总数的倍，请你通过计算说明筐内的乒乓球够不够？如果够了，还多几个？如果不够，还缺几个？
【巩固提高】
1．已知下列结论正确的是（ ）
（A） (B)
(C) (D)
2．计算：（1）；
（2）．
3． 计算：；
运用上面的方法计算：
（1） ； （2）．
（提示：）
2.4 有理数的除法
【学习准备】
1.计算12÷3=？，小明的做法是3×4=12，所以12÷3=4；小红的做法是12÷3= 12×=4.
你觉得他们两人的做法正确吗？如果正确，说出运算的依据.

2．计算6×？=168你会列出怎样的算式求解？计算6×？= －168呢？
3．填空：⑴（－2）×3=－（ × ）= . ⑵ 4×(）= （4×）= .
⑶（－7）×（－3）= （ × ）= .
两个有理数的乘法运算分两步进行：先确定积的符号，再确定积的绝对值.那么两个有理数的除法运算应怎么进行呢？学习本节课后你就知道了.
【课本导学】
阅读课本第45页思考下面的问题：
1．结合节前语中的问题情景，说出下面两个等式的实际意义：
12×（-0.4）= -4.8.
（-4.8）÷12= -0.4.
2．有理数的除法也是乘法的逆运算，所以除法运算可以通过什么运算来解决？
[练习]完成课本第46页做一做．
『归纳』在有理数范围内，小学里学过的运算律、运算法则及互逆运算关系等仍适用吗？
阅读课本第46页有理数的除法法则，思考下面的问题：
1．你从做一做中得出的规律与除法法则中的规定是否一样？这个法则与有理数的乘法法则作比较，有什么异同？
2．为什么零不能作除数？
『归纳』1. 两个有理数相除，商的符号怎么确定？商的绝对值呢？
2. 有理数的除法运算可以通过什么方法转化为小学所学的两个正有理数的运算来解决
阅读课本第46页例1并思考：
1. 每个小题的计算分几步完成？先做什么再做什么？每一步的运算依据 是什么？
2．用什么方法可以检验例1后“想一想”中的两个等式是否成立？请具体做一做。
3. 你从想一想中得出的规律与课本关于有理数乘法与除法之间的关系一样吗？请自己再写一个式子验证这个规律成立.
[练习]完成课本第47页课内练习1、2及第47页作业题1、2、3．
『归纳』
1．你认为两个有理数除法的运算步骤是什么？规范的书写格式应怎样 ？
2．比较含有负数的有理数除法运算与两个正有理数的除法运算有哪些不同和相同之处.
阅读课本第47页例2思考下列问题：
1．遇到多个有理数的乘除混合运算时，应该如何进行？
2．结果的符号该怎样确定？
3. 你有不同于课本的做法吗？试着做一做并与课本方法比较哪种方法简便些？
[练习] 完成课本第47页课内练习3、4及第48页作业题4．
『归纳』
1．总结有理数乘除混合运算的运算步骤、运算顺序和书写规范.
2．将有理数乘除混合运算统一为乘法运算有哪些好处？
3．在有理数除法运算中有哪些容易出错的地方？怎样避免错误？
【学习检测】
1. 的倒数是（ ）
A、 B、 C、 D、
2.两个数的商是正数，那么这两个数 的（ ）
A、和为正数 B、差为正数
C、积为正数 D、和、差、积的正负都不能确定
3. 一个数的是－，则这个数是__________.
4. 计算：（1）（－64）÷4； （2） 0÷（－16）；
（3） （）÷（－3）； （4） （－0.75）÷0.25.
5．计算：（1）； （2）.
【巩固提高】
（1）两数的积是1，已知一数是－，求另一数；
（2）两数的商是－3，已知被除数是－70，求除数.
2．两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，则下列说法正确的是（ ）
A、两数一定相等 B、两数一定互为相反数
C、两数互为倒数 D、两数相等或互为相反数
3.有若干个数，第1个记为，第2个记为，…，第n个记为.若＝，第2个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数，试计算＝_______；＝_______；＝_______；＝_______；＝_______.
2.5 有理数的乘方(1)
【学习准备】
1. 我们知道，圆的面积公式是，正方体的体积公式是，如果已知，，那么圆的面积和正方体的体积分别是多少呢？说说你是怎么计算与 的.
2. 传说在古代，有一位大臣为国王发明了一种象棋，国王大喜，要对大臣进行奖赏，就问大臣有什么要求，大臣说：在象棋棋盘上放一些米，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，第4格放8粒米，……，一直放到64格.国王爽快地答应了.国王在第64格里要放的米粒数是多少呢？这个数能不能有简洁的表示形式呢？今天我们将学习一种新的运算.
【课本导学】
1. 阅读课本第48页节前语，并思考下列问题：
（1）对折一次，纸的厚度变成了原来的几倍？对折两次呢？对折三次呢？对折十次呢？如果对折了次，这时候纸的厚度是原来的几倍？请列出算式。
（2）至少对折多少次，纸的厚度会超过你的身高呢？请利用计算器进行探索。
2. 结合图2-13、图2-14， 阅读课本第48-49页的有关乘方运算的概念，思考：
（1）乘方的概念中，关键词有哪几个？由概念我们可以知道乘方运算实质是什么运算？
（2）底数，指数分别表示概念中的哪两个词？
（3）由乘方运算的概念，你联想到了以前学过的哪一种运算也有着类似的概念？
[练习]完成课本第49页做一做及第50页课内练习1、课本第51页作业题2、4．
『归纳』 1. 至今我们学过的运算有哪些？其运算结果分别是什么？各种运算之间有没有联系？
2.把相同因数的积写成幂的形式，书写规范上需要注意什么？
阅读课本第49页例1，思考下列问题及课本想一想：
1. 通过学习，你发现有理数的乘方都是转化成哪种运算来进行的？
2. 通过观察底数、指数与幂的符号，你能得出什么结论？
3.如果底数是小数，应如何进行乘方运算？底数是带分数呢？
4. 偶次幂是本身的数有哪些？奇次幂是本身的数呢？
[练习]完成课本第51页作业题1．
『归纳』1.求一个有理数的幂，我们可以分几步完成？
2.试归纳有理数的幂的符号与底数、指数之间的关系.
3.利用上面归纳出来的符号规律，在进行底数是负数的乘方运算时，除了直接转化为几个负因数相乘外，还可以怎样计算？试举例说明.
阅读课本第50页例2，并思考下列问题：
1. 与的读法、意义是否相同？运算结果是否相等？
2. 算式与表示的含义一样吗？根据它们各自的含义，算式与的运算顺序和运算结果有什么不同？
[练习]完成课本第50页课内练习2及第51页作业题3．
『归纳』1.对于乘除和乘方的混合运算，我们应按照怎样的顺序进行运算？如果有括号呢？
2．在有理数的乘方运算中有哪些容易出错的地方？怎样避免错误？
【学习检测】
1．在（－2）3中，底数是__________，指数是__________.
2．表示的意义是 ，结果是 .
3. 一个数的平方等于它本身，这个数一定是 .
4.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几 次就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条.这样捏合到第__________次后可拉出128根细面条.
计算：（1）. （2）. （3）. （4）.
【巩固提高】
1．请写出的末位数字是__________.
2.是最大的负整数，是最小的正整数，则=_____.
3．1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段. 无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集.右图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为__________.
4.若是任意有理数，则的结果可能是 （ ）
A、正有理数 B、负有理数 C、非负有理数 D、有理数
5. （ ）
A、 B、 C、 D、
2.5 有理数的乘方（2）
【学习准备】
1．10的幂有如下特点：= ，= ，= ，…，一般的，=10…0（在1的后面有 个0）．
2．二十一世纪，纳米技术将被广泛应用.纳米是长度计量单位.1米＝纳米，则55米为多少纳米呢？
【课本导学】
阅读课本第51 页倒数6行至52页第6行，思考下列问题：
1．第51 页的两个问题，你能列出算式并计算吗？
2．在计算过程中，你遇到的困难是什么？
3. “科学记数法”的概念中，关键词有哪些？
[练习]完成课本第52 页课内练习1及第53 页作业题2 ．
『归纳』以6500000=为例，具体说明用科学记数法表示大数的过程中与的确定方法.
阅读课本第 52 页 例3，并思考下面两个问题：
1． 将一个用科学记数法表示的大数还原成原数，可以怎么样操作？
2． 两个用科学记数法表示的大数进行乘、除运算，可以怎样进行？若进行加、 减运算呢？需要注意什么？
[练习]完成课本第53 页课内练习2 及作业题1 ．
『归纳』1. 用科学记数法表示大数时需要注意哪些细节？试着小结一下.
2. 用科学记数法表示的数和原数之间有着怎样的联系 ？
阅读课本第 52 页例4，并思考下列问题：
1. 这个算式所表示的含义是什么？
2. 课本例题的解答还有不同的方法吗？你是怎么想的？
3． 在进行较大数的运算时，你有哪些好的做法可以避免出差错？
[练习]完成课本第53 页作业题3、4 ．
『归纳』生活中的大数的运算和表示，我们常常借助于什么方法来简化过程？
【学习检测】
人类观测的宇宙深度大约是15000000000光年，这个数据用科学记数法可以表示为
.
2．地球上的海洋面积约为3.6×108平方千米，3.6×108表示的原数是 .
3．2012年1月17日，国家统计局发布的2011年中国GDP为74970亿美元，是世界第二大经济体．数据74970亿用科学记数法可表示为（ ）
A. 0.7497×105亿 B.74.97×103 亿 C.7.497×104亿 D.7.497×105亿
4、若一个数等于5.8×，则这个数的整数位数是（ ）
A. 23 B.22 C. 21 D.20
5．椐科学家估计，地球储水总量为立方米，但大量地存在于海中，又有一些封存于两极和高山永久性积雪中，所以可以利用的淡水只有总储水的1﹪。中国人口约为13亿，估计中国的可用淡水量仅占世界的8﹪.（1）请问中国的人均淡水量约为多少？（2）根据联合国的标准每人供水不足立方米，即为缺水国家，那么我国是不是缺水国家？
【巩固提高】
1．下列科学记数法表示530000，正确的是（ ）
A、53×104 B、0.53×106 C、5.3×104 D、5.3×105
2. 数7.35×104是（ ）
A、三位数 B、四位数 C、五位数 D、六位数
3. 比较用科学记数法表示的数的大小．
（1）水星的半径为米，木星的赤道半径约为 ．
（2）我国的陆地面积约为平方千米，俄罗斯的陆地面积约为平方千米.
一天有秒，一年按365天计算，一年有多少秒（用科学记数法表示）？
2.6 有理数的混合运算
【学习准备】
1. 计算：，，，，，，.
回忆小学学过的四则混合运算顺序，并计算：（75+360）÷（20-5）+6×7-5.
3．类比小学混合运算，猜想有理数的混合运算应如何运算？本节课我们就一起研究有理数的混合运算。
【课本导学】
阅读并解答课本第 54 页 “合作学习”，并完成下列问题：
1.请写出你所列的算式并读一读；
2．上式包含的运算有哪几种？
3．若取3.14，这个花坛的实际种花面积是多少？
4．你在运算时，采用的顺序是怎样的？如何确定？再与课本第54页的“有理数混合运算的法则”进行比较，看看是否一致？
5．与小学学习过的四则运算法则相比较，这个法则里多了哪一种运算？
阅读课本第 54页例1 ，并思考下面两个问题：
每个小题分别分几步完成的？每一步分别完成了哪几种运算？将所依据的 运算法则标注在书本的解题过程旁边。
2．第（1）小题还有其他的计算方法吗？试一试.
3．有理数的各种运算与小学学习的运算相比较，最本质的区别是什么？在乘方、乘除、加减运算的时候，我们通常分哪两个部分来确定运算的结果？
[练习]完成课本第55 页课内练习1、2以及第56页作业题1、2、3．
『归纳』1.通过以上问题的解答，你认为有理数混合运算过程中要注意哪些问题？
2. 在运算过程中，我们总是要先审题，你觉得审题时应该审清哪些内容？
3．在运算完成之后，我们要养成检查的习惯，你觉得有哪些方法可以帮助我们进行验算，提高准确率？
阅读课本第 55页例2 ，并思考下列问题：
1．题中哪些量是已知的，哪些量是未知的？
2．长方体的底面长、宽都已知，要求长方体容器内水的高度，关键要求什么？
3． 将剩下的水倒入长方体容器的过程中，保持不变的量是什么？此时剩下的这些水的体积又可以怎样来计算？若设长方体容器内的水面高度为cm，如何列式表示？
4.变式：在例2的长方体容器内放入一个底面半径为5cm，高为4cm的圆柱形铁块。问此时长方体容器内水的高度大约是多少？
[练习]完成课本第56 页作业题4 ．
『归纳』1. 在上面两个问题的解决过程中我们用到的公式有哪些？已学过的面积、体积公式还有哪些？
2．上面的例题与练习，同属于“等积变形”，请说一说解决这一类问题的关键是什么？
【学习检测】
1. ，_________， .
2．从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或-24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数. 对“黑桃1、2、3和方片2”进行运算的算式为：
3．计算：(1)； (2).
4． 下列计算有无错误？若有错，应怎样改正？
（1） ；（2）
（3）.
5． 计算：.
【巩固提高】 1. 计算： .
2．计算： -22+（-）÷-.
3. 计算： 25×－（-25）×－25×.
4. 计算：.
5. 如下3个图形中，长方形的长都为4cm,宽都为2cm,先通过计算,然后判断3个图形中灰色部分面积的大小有什么关系(取3.14)
2.7 近似数
【学习准备】
请你举例说明什么叫“四舍五入”？
2．请你举例说明什么叫“精确度”？1.57用四舍五入法精确到哪一位？1.570呢？
【课本导学】
阅读课本第57页节前语与第一自然段，思考：
准确数有怎样的特征？近似数呢？
2．在实际生活中，哪些地方常常需要使用近似数？请举例子。
[练习]完成课本第57页做一做及第61页作业题1．
『归纳』你是怎么判断一个数是准确数还是近似数的？
阅读课本第57页最后一个自然段至58页第三行，并思考下面两个问题：
1．一个近似数的精确度是如何表述的？
已知一个数的精确度，怎样推导出它的实际范围呢？举例说明。
3．变式：近似数38.0万精确到 位，它的实际范围是 。你认为在写近似数时，小数点后的0能否随便省去？请说明你的理由。近似数3.14×105精确到哪一位？你能写出它的实际范围吗？
[练习]完成课本第58页做一做、第59页课内练习1、2及第61页作业题2．
『归纳』
近似数中最后面的0可以省略不写吗？为什么？
2． 当近似数后面带着单位或用科学计数法表示时 ，在精确度的表述上我们要注意什么？怎样才能避免错误？试举例说明.
3．保留1位小数，精确到小数点后第一位，精确到十分位与精确到0.1，这些说法相同吗？
阅读课本第58页至69页例2，并思考下列问题：
1．在使用计算器计算的过程中，需要注意什么？
例1中的2个小题的结果要求有什么区别吗？
3．例2中的“增长百分比”你是如何理解？
[练习]完成课本第60页课内练习3、第61页作业题3、4及课本第60页探究活动．
『归纳』谈谈你对计算器使用的心得体会.
【学习检测】
1．用四舍五入法得到的近似数1.20所表示的准确数a的范围是( )
A. 1.195≤a<1.205 B. 1.15≤a<1.18 C. 1.10≤a<1.30 D. 1.200≤a<1.205
2．近似数5200千精确到_______位；
已知圆周率π＝3.14159265………，
（1）将π精确到千分位得到近似数： ；
（2）早在南北朝时期，我国著名的数学家祖冲之就得到了圆周率的约率是，密度是， 它们分别精确到小数点后第几位？
4．利用计算器探索规律：1122÷34= ；111222÷334= ；11112222÷3334= ； 111111222222÷333334= ； = .
5． 用四舍五入法对下列各数取近似值:
(1) 37.27 (精确到十分位）；
(2) 810.9 （精确到个位）；
(3) 0.0045078（精确到千分位）；
(4)30790（精确到百位，并用科学记数法表示）.
【巩固提高】
1.小慧测得一根木棒的长度为2.8米，这根木棒的实际长度的范围（ ）
A、大于2米，小于3米 B、大于2.7米，小于2.9米
C、大于2.75米，小于2.84米 D、大于或等于2.75米，小于2.85米
2.新时代家具城在2012年的家具销售额约为8.96×107元，也就是说，家具销售额约为（ ）
A、8.96亿 B、8960万元 C、896万元 D、89.6万元
3. 按下面的按键顺序在某型号计算器上按键，显示结果为 .
4. 利用计算器探索：1×9×123456789= ；2×9×123456789= ；3×9×123456789= ；4×9×123456789= ；…；n×9×123456789= .
5. 已知圆环的外圆半径为46mm，内圆半径为27mm，求圆环的面积（取3.14）.
第2章 复习
[复习目标]
1.理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、 乘、除和简单的混合运算，体会数学的转化思想；
2. 复习有理数运算的运算法则，灵活运用运算律简化计算，能正确使用计算器进行有理数的近 似计算；
3. 回顾本章内容，梳理本章知识，建立一定的知识体系.
【复习准备】
1.计算：（1）；（2）；
（3）； （4）.

2.计算：（1）； （2）；
3.按四舍五入要求对圆周率π取近似数，有π≈ （精确到个位）；π≈ （精确到 ，或叫精确到十分位）；π≈ （精确到0.01，或叫精确到 ）.
【知识整理】
在有理数运算的学习中，我们多次运用了“转化”这一数学思想，比如：在有理数加减混合运算中，我们常常将减法转化为加法进行：减去一个数，等于加上这个数的相反数.请你回顾并写出本章中运用“转化”思想的其他运算.
2. 进行有理数混合运算时，我们还常常应用运算律进行简便运算：
（1）利用加法 律和 律，我们可以实现“凑整”、“同号两数求和”、”同分母的分数 求和”等简便运算；
（2）利用 律、乘法 律和 律，我们可以实现“将乘法转化为加法”、“约 分”、“凑整”等简便运算.
【例题】
例1. 计算：（1）；（2）.
[思考] 1. 这两个算式分别含有哪几种有理数运算？你是如何确定运算顺序的？
2. 第一小题中遇见小括号，除了先算括号里面的，还可以怎样进行运算？
3. 第二小题对中括号里的运算应遵照怎样的顺序进行？可以有其他算法吗？
[解] ：
[归纳]在进行有理数混合运算时,我们要遵循观察、思考、动笔、检查的程序进行计算,养成严谨的学习习惯.上述算式都可以按有理数运算的一般法则进行，也可以利用运算律进行运算.
1. 在运用分配律的过程中，要注意甄别：
能运用分配律吗？呢？
2. 在有理数混合运算中，你积累了哪些解题经验？试进行小结.
例2. 一列火车通过一条4712米长的隧道，用了11分30秒（从车头开始进入隧道口到车尾驶出隧道口），车身长约120米.小明只用5秒就估出这列火车过隧道的时速约为24千米/时，你知道他是怎样估算的吗？小明估出的结果与实际时速相差多少（精确到0.01千米）？
[思考] 1. 在这个问题中准确数、近似数分别是哪些？
2. 估算中我们可以对哪些数取近似数？取近似值的一般方法是什么？
[解]
[归纳] 估算不是乱猜，而是一种数学思考，用一种简便的方法知道答案的范围.我们学习过的估算方法有哪一些？写出两种即可. 从本题中你获得了哪些经验？
【复习检测】
1.判断题:
(1) 0减去任何数,所得的差总等于这个数的相反数; （ ）
(2) 两数之积为正,那么这两数一定都是正数; （ ）
(3) 积比每个因数都大. （ )
(4) 近似数4千和近似数的精确程度一样. ( )
2. 填空题：
（1）平方等于的数是________；立方等于的数是________.
（2）= ；= ；= ；= .
（3）3.78×107是______位数 ；近似数3万精确到______位.
3. 用简便方法计算:
(1) ； (2)；
(3) ；
4.计算：
（1）； （2）；
（3）；
5. 甲、乙、丙三位同学合乘一辆出租车同往一个方向，事先约定三人分摊车资.甲在全程的处下车， 乙在全程的处下车，丙坐完全程下车，车费共54元.问甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合 理？请你设计一个方案.
【巩固提高】
1.（1） 用计算器计算并填空： = ，= ，= ，你发现计算结果有什么规律？ .
（2）根据你发现的规律，先不用计算器填空，再用计算器验证你的结论： = .
2. 与互为相反数，且，那么= .
3.我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”.如图, 在一个边长为1的正方形纸板上,依次贴上面积为,,,,…,的小长方形纸片，请你写出最后余下未贴部分的面积的表达式： .
4. 如果有理数、满足，
试求……的值.
5. 有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：1 4 8 10 30.
请说明：（1）可以得到22；(2）可以得到.
思考一
思考二
思考三
思考一
思考二
思考一
思考二
思考三
思考一
思考二
思考三
思考一
思考二
思考三
思考四
思考一
有理数运算分为三级，乘方是最高级别的运算哦.
思考二
思考三
（第2题）
思考一
生活中有很多既难读又难写的大数都可以用科学记数法来简便表示哦！
思考二
思考三
思考一 yiyiyiyiyiyiyiyi
思考二 yiyiyiyiyiyiyiyi
思考三 yiyiyiyiyiyiyiyi
图1
图2
图3
准确数和近似数都是描述事物性质的工具，要合理地使用哦！
思考一 yiyiyiyiyiyiyiyi
思考二 yiyiyiyiyiyiyiyi
思考三 yiyiyiyiyiyiyiyi
％
SHIFT
8
.
0
一
4
1
+3
×2
+2
×3