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2.5 逆命题和逆定理
一、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
二、线段垂直平分线定理的逆定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证明 (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．
(2)当点P不在线段AB上时，
作PC⊥AB于点O．
PA=PB，PO⊥AB，
∵ OA=OB，
∴PC是AB的垂直平分线．
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
三、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
、
一、单选题
1．下列选项中，有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形 B．同角的补角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等 D．对顶角相等
2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．同角的余角相等 D．两直线平行，内错角相等
3．如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（ ）
A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误
C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确
5．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．四边形的面积为
6．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
7．如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
8．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
9．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
11．命题：“如果m是有理数，那么它是实数”，则它的逆命题为：_____________________．
12．已知命题：等边三角形是等腰三角形．该命题的逆命题为______命题．（填“真”或“假”）
13．命题“实数、，若，则”的逆命题是_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假命题．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，联结AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__．
15．如图，已知，，，是的中点，只需添加_______，就可使，分别为和的平分线．
16．如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，∠CAB平分线与CB的垂直平分线交于点E，连接BE．若∠ACB＝28°，∠EBC＝25°，则∠EBD的度数为 _____°．
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点P在A上，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，则以上结论中：①BD＝CD；②△ABD ≌△ACD；③△BPC是等腰三角形；④DE＝PE．正确的有________．
18．如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．
三、解答题
19．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．
（1）若，则．
（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
（3）若，则．
20．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．
21．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．
22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AB垂直平分DF．
23．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将这个三角形绕点A旋转，使点B落在边BC延长线上的点D处，点C落在点E处．求证：AD垂直平分线段CE．
25．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点F，连CF．过点C作CG⊥AD于点G，CH⊥BE于点H．
(1)求证：CG=CH；
(2)求∠CFE的度数．（用含α的式子表示）
26．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．
27．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
28．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．
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2.5 逆命题和逆定理
一、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
二、线段垂直平分线定理的逆定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证明 (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．
(2)当点P不在线段AB上时，
作PC⊥AB于点O．
PA=PB，PO⊥AB，
∵ OA=OB，
∴PC是AB的垂直平分线．
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
三、角的平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
、
一、单选题
1．下列选项中，有逆定理的是（ ）
A．等腰三角形是轴对称图形 B．同角的补角相等
C．三边对应相等的两个三角形全等 D．对顶角相等
【答案】C
【提示】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据等腰三角形的判定、对顶角的定义、三角形全等的性质各逆命题的真假．
【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形的逆命题为：轴对称图形是等腰三角形，此逆命题为假命题，所以A选项没有逆定理，不符合题意；
B、同角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角，此逆命题为假命题，所以B选项没有逆定理，不符合题意；
C、三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理；
D、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以D选项没有逆定理；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．同角的余角相等 D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【提示】先写出各个命题的逆命题，再判断其真假即可．
【解答】解：A. 对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，是假命题；
B. 全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C. 同角的余角相等的逆命题是余角相等的两个角是同角，是假命题；
D.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
3．如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
4．如图，在中，点D为边上一点，给出如下关系：①平分；②于D；③D为中点．甲说：如果①②同时成立，可证明；乙说：如果②③同时成立，可证明；丙说：如果①③同时成立，可证明．则正确的说法是（ ）
A．甲、乙正确，丙错误 B．甲正确，乙、丙错误
C．乙正确，甲、丙错误 D．甲、乙、丙都正确
【答案】D
【提示】通过①②可证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得判断甲的说法；通过②③可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可得判断乙的说法；延长至点，使，连接，先证出，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断丙的说法．
【解答】解：当①②同时成立时，
平分，
，
，
，
在和中，，
，
，即甲的说法正确；
当②③同时成立时，则垂直平分，
，即乙的说法正确；
当①③同时成立时，
如图，延长至点，使，连接，
为中点，
，
在和中，，
，
，
平分，
，
，
，
，即丙的说法正确；
综上，甲、乙、丙都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，较难的是证明丙的说法，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
5．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．四边形的面积为
【答案】D
【提示】根据作图过程可得AD=CD=AC，判定BD垂直平分AC，可判断A，再根据等腰三角形三线合一判定B，根据等边对等角推出∠BAD=∠BCD，可判定C，再根据四边形面积计算方法可判定D．
【解答】解：由作图可知：AD=CD=AC，
∵AB=BC，
∴BD垂直平分AC，故A正确，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，故B正确，
∵AB=BC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAD=∠BCD，故C正确，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为，故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的判定得到AC⊥BD是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
【答案】B
【提示】根据题意可判断出△BCD中BC边上的高和△ABD中AB边上的高相等，再根据角平分线的判定可得BD是∠ABC的角平分线，即可得∠ABD的度数．
【解答】解：设△BCD中BC边上的高为：h1，△ABD中AB边上的高为：h2，
∵BC=1，AB=3，S△BCD：S△ABD=1：3，
∴h1=h2，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD==35°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形面积和角平分线的判定，解题关键是根据题意可判断出△BCD中BC边上的高和△ABD中AB边上的高的关系．
7．如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【提示】由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，根据角平分线的判定可得OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，则∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，根据等腰三角形三线合一得到OM⊥AB，然后利用等角的余角相等即可解答．
【解答】解：∵由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB
∴OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，
在△OBM和△OAM中
∴△OBM≌△OAM（AAS）
∴∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，
∵AM=BM，
∴OM⊥AB，
∵∠MAB+∠OAB=90°，∠AOM+∠OAB=90°，
∴∠AOM=∠MAB
∵∠MAB=20°，
∴∠AOM=∠MAB=20°．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
8．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【提示】过点E作EH⊥BC，EG⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，由三角形的角平分线的判定定理可得AE平分∠FAC，结合三角形外角的性质可求得∠BAC＝2∠BEC＝70°，由补角的定义可求解∠FAC的度数，再利用角平分线的定义可求解．
【解答】解：过点E作EH⊥BC，EG⊥AC，EM⊥AB，垂足分别为H、G、M，如图所示：
∵BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBD，∠ACD＝2∠ECD，EH＝EM，EH＝EG，
∴EG＝EM，
∴AE平分∠FAC，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ECD＝∠EBC+∠BEC，
∴2∠ECD＝2∠EBD+∠BAC，2∠ECD＝2∠EBD+2∠BEC，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠FAC＝55°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定定理、性质定理及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定定理及性质定理、三角形外角的性质是解题的关键．
9．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【提示】过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．
【解答】如图，过点D作于点F．
∴在和中，
∴，
∴，
∴AD为的角平分线，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．
10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【提示】根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质逐个分析即可．
【解答】∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD，
∴，则BP=AD，故①正确；
由得∠PBC=∠DAC，则，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠PAF，
，
假设，
在和中，，
，
，
，
，
在中，，
又，
，与相矛盾，
则假设不成立，②错误；
在与中，，
∴，
，
即，故③正确；
由得BF=PF，
则，故⑤正确；
，AD平分∠BAC，
AF为BP的垂直平分线，
OB=OP，
为等腰三角形，
，
，
又AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
，
，
∴，
为等腰直角三角形，且，
即，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键．
二、填空题
11．命题：“如果m是有理数，那么它是实数”，则它的逆命题为：_____________________．
【答案】如果m是实数，那么它是有理数
【提示】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题：“如果m是有理数，那么它是实致”，它的逆命题是“如果m是实数，那么它是有理数”，
故答案为：如果m是实数，那么它是有理数．
【点睛】本题考查互逆命题，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．已知命题：等边三角形是等腰三角形．该命题的逆命题为______命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【提示】根据等腰三角形的定义及互逆命题的关系进行判断即可．
【解答】解：命题：等边三角形是等腰三角形的逆命题为“等腰三角形是等边三角形”，该命题是假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题考查互逆命题及等腰三角形的判定，解题关键是正确写出原命题的逆命题．
13．命题“实数、，若，则”的逆命题是_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假命题．
【答案】 若a2＝b2，则a＝b 当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b（答案不唯一）
【提示】根据真假命题的定义进行判断，再举出反例即可．
【解答】解：命题“实数a、b，若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是：若a2＝b2，则a＝b，
逆命题是假命题，
举反例：如，当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，
故答案为：若a2＝b2，则a＝b；当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉相关的性质定理．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，联结AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__．
【答案】12
【提示】根据AB＝AC，OB＝OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD＝6，从而可以得到BC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵AB＝AC，OB＝OC，
∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AO是线段BC的垂直平分线，
∵AO与BC交于点D，
∴BD＝CD，
∵BD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题．
15．如图，已知，，，是的中点，只需添加_______，就可使，分别为和的平分线．
【答案】（答案不唯一）
【提示】利用角平分线的判定定理即可得．
【解答】解：只需添加，就可使，分别为和的平分线．
理由：，，，且点在的内部，
点在的角平分线上，即为的平分线，
点是的中点，
，
，
又，点在的内部，
点在的角平分线上，即为的平分线，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．
16．如图，在△ABC中，点D在AB的延长线上，∠CAB平分线与CB的垂直平分线交于点E，连接BE．若∠ACB＝28°，∠EBC＝25°，则∠EBD的度数为 _____°．
【答案】53
【提示】过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，证明Rt△ECM≌Rt△EBN，进而可得结果．
【解答】解答：解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AD，垂足分别为M，N，连接E C，
∵AE是∠CAB平分线，
∴EM＝EN，
∵E是CB的垂直平分线上的点，
∴EC＝EB，
∴∠ECB＝∠EBC＝25°，
在Rt△ECM和Rt△EBN中，
，
∴Rt△ECM≌Rt△EBN（HL），
∴∠EBN＝∠ECM＝∠ACB+∠ECB＝28°+25°＝53°．
故答案为：53．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点P在A上，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，则以上结论中：①BD＝CD；②△ABD ≌△ACD；③△BPC是等腰三角形；④DE＝PE．正确的有________．
【答案】①②③
【提示】根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质即可依次判断．
【解答】∵在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD=CD，①正确；AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°，
又BD=CD，AD=AD
∴△ABD ≌△ACD（SAS），②正确；
∵BD=CD，AD⊥BC
∴AD垂直平分BC
∴BP=CP，③正确；
∴△BPC是等腰三角形
∵PD⊥BC
∴DP平分∠BPC
∵DE⊥BP，DF⊥CP，
∴DE=DF
∵DF≠PE，∴DE≠PE．④错误
故答案为：①②③．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定与性质、垂直平分线与角平分线的性质，解题的关键是熟知其各自的性质特点．
18．如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．
【答案】①②③
【提示】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，AC=BD， 故①②正确；
由三角形的内角和定理得： ∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∵∠OAC=∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=α， ，故③正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
△AOC≌△BOD，
∴结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，
∴MO平分∠AMD，
∴∠AMO=∠DMO， 假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM， 即∠AOM=∠DOM，
在△AMO与△DMO中， ，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴OA=OD， ∵OC=OD，
∴OA=OC， 而OA＜OC，故④错误； 正确的个数有3个；
故答案为：①②③．
【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题
19．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．
（1）若，则．
（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
（3）若，则．
【答案】（1）逆命题为：若，则，假命题；（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题；（3）逆命题为：若，则，真命题．
【提示】分析命题的条件与结论，然后交换条件与结论即可写出逆命题，最后进行判断真假即可．
【解答】解：（1）逆命题为：若，则；它是假命题；如，；
（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；它是真命题；
（3）逆命题为：若，则；它是真命题．
【点睛】本题考查了逆命题、真假命题，解题的关键熟练掌握命题和逆命题之间的关系．
20．已知，如图，AB＝AC，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，联结AO并延长交BC于点D，求证：AD⊥BC．
【答案】见解析
【提示】由题意易得∠ABC＝∠ACB，则有∠OBC＝∠OCB，进而根据线段的垂直平分线的性质与判定可求证．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线，
即AD⊥BC．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
21．已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．
【答案】见解析
【提示】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．
【解答】证明：如图，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AB垂直平分DF．
【答案】见解析
【提示】（1）根据∠ACB=90°，证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF．
（2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵，
∴△ACD≌△CBF；
（2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF．
∵CD=BD=BC，
∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
23．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【提示】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；
（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．
【解答】（1）∵分别是上的中线，
∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，
∵BC=CB，
∴△EBC≌△DCB，
∴∠ECB=∠DBC，
∴OB=OC；
（2）设AO与DE的交点为F，
∵△EBC≌△DCB，
∴EC=DB，
∵OB=OC；
∴OD=OE，
∴点O在线段DE的垂直平分线上，
∵AE=AD，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴直线AO是线段DE的垂直平分线，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．
24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将这个三角形绕点A旋转，使点B落在边BC延长线上的点D处，点C落在点E处．求证：AD垂直平分线段CE．
【答案】详见解析.
【提示】根据旋转的性质得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，进而利用等边对等角和垂直平分线的判定证明即可．
【解答】∵△ADE是由△ABC旋转得到，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，
∵AD=AB，
∴∠ADC=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵AE=AC，
∴AD垂直平分线段CE．
【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC．
25．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点F，连CF．过点C作CG⊥AD于点G，CH⊥BE于点H．
(1)求证：CG=CH；
(2)求∠CFE的度数．（用含α的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)∠CFE的度数为90°-α．
【提示】（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；
（2）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，继而求得∠AFB=∠ACB=α，则可求得∠CFE的度数．
（1）证明：∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，S△ACD=S△BCE，∴S△ACD= AD CG，S△BCE= BE CH，
即AD CG=BE CH，又AD=BE，∴CG=CH；
（2）解：设AD交BC于点O，则∠BOD=∠AOC，又由（1）中△ACD≌△BCE知，∠CBF=∠CAO，∴∠AFB=∠ACB=α，∴∠AFE=180°-α，又由（1）中知CG=CH，又∵CG⊥AD于点G，CH⊥BE于点H，∴FC平分∠AFE，∴∠CFE=90°-α，
∴∠CFE的度数为90°-α．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定以及等面积法．证明出△ACD≌△BCE是解决此题的关键．
26．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．
(1)EC＝BF；
(2)EC⊥BF；
(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【答案】(1)见解析．
(2)见解析．
(3)见解析．
【提示】（1）先求出∠EAC＝∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC＝∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE＝90°可得∠ABF+∠BDM＝90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD＝90°，从而得证．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；
（1）
证明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC＝BF；
（2）
根据（1），∵△ABF≌△AEC，
∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，
所以EC⊥BF．
（3）
作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC＝∠BAF是证明的关键，也是解答本题的难点．
27．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【提示】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论；
（2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可；
②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明∠ MP=30°即可．
(1)
证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC＝CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠ACB=∠ACD；
(2)
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CED，
∵∠EBA=90°，
∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC=∠MAE=30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB=90°，
∴∠MEA=120°，
∵∠MAE=30°，
∴∠EMA=30°，
∵CР⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP=∠MCE=60°，
∴△NEC≌△NPC (SAS)，
∴EN=PN，
∴ N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，
∵AM垂直平分PE，
∴ME=MP，
∵∠EMP=60°，
∴∠MPE=60°，
∴∠EPD=30°，
∴∠=30°，
∴∠ MP=30°，
∵∠MЕP=60°，
∴O点与E点重合．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
28．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠BAD+∠BAC＝∠BAE，理由见解析；（2）见解析；（3）∠B+∠C＝180°，理由见解析
【提示】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC＝∠DAE，进而得到∠CAE＝∠BAD，得到答案；（2）过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的对应高相等得到AG＝AH，根据角平分线的判定定理证明结论；
（3）延长DC至点P，使DP＝AD，证明△BAD≌△CAP，得到∠B＝∠ACP，根据邻补角的定义证明即可．
【解答】（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，
理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；
（2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME．
（3）∠B+∠C＝180°，
理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，
∵∠ADP＝60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAP，
在△BAD和△CAP中，
，
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠B＝∠ACP，
∵∠ACD+∠ACP＝180°，
∴∠B+∠ACD＝180°．
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键．
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