中小学教育资源及组卷应用平台
、
2.6 直角三角形
一、直角三角形的概念
有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
二、直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.
三、直角三角形判定
两个角互余的三角形是直角三角形.
在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD=CD，
∴∠A=∠1．
同理∠2=∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
一、单选题
1．如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
3．在中，，分别是，上的点，，则的度数（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
4．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．如图，中，，，点在上，且点与点关于直线对称，则的度数为( )
A．10° B．14° C．38° D．52°
6．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
7．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
8．如图，在等边△ABC中，，E是延长线上一点，且，D是上一点，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，中，，若，则__________．
12．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___．
13．如图，中，，将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______．
14．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为_______．
15．如图，在中，，点D是的延长线上一点，，则__________．
16．如图，在中，，，，，则为____________cm．
17．如图，在中，，，垂直平分，交于点E，，则的值是________．
18．如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____．
三、解答题
19．如图，△ABC中，线段AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，且∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数．
20．已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE＝4cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A＝30°，求AB和CD的长.
21．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°．
(1)求AD的长度；
(2)求△ABE的面积．
22．如图，，O是线段的中点，求证：．
23．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H．
(1)求证：DH=DC；
(2)若AC＝2，BD＝，∠CAD＝30°，求AH的长．
24．如图，在△中，，点为上一点，以为腰作等腰△，且，，连接．
(1)求证：△≌△；
(2)已知，，求的面积．
25．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何 请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形 若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形
26．如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边△ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
(1)求证：∠FEA=∠FBA；
(2)求∠EFC的度数；
(3)点N在线段FC上且FN=FE，连接EN，证明：FE+FA=2FD．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2.6 直角三角形
一、直角三角形的概念
有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
二、直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.
三、直角三角形判定
两个角互余的三角形是直角三角形.
在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD=CD，
∴∠A=∠1．
同理∠2=∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，
即2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
一、单选题
1．如图，已知，于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在中，，，
则，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【提示】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，AC=10，
则OB=AC=5，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
3．在中，，分别是，上的点，，则的度数（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】D
【提示】根据，得，再利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.
【解答】解：∵
∴，
，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键.
4．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【提示】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
5．如图，中，，，点在上，且点与点关于直线对称，则的度数为( )
A．10° B．14° C．38° D．52°
【答案】B
【提示】在中，根据点与点关于直线对称，得到∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°，又根据三角形的外角的性质得到∠A+∠ACD=∠CDE，即可求得∠ACD的度数．
【解答】解：中，点与点关于直线对称，
所以∠CDB=∠CBD=90°-∠A=52°，
∵∠A+∠ACD=∠CDE，
∴∠ACD=∠CDE-∠A=52°-38°=14°，
故答案为：B
【点睛】本题考查了轴对称的性质，以及三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟悉并掌握以上性质是解题关键．
6．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
【答案】C
【提示】利用垂线段最短分析最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于6．此题可解．
【解答】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于3；
中，，，，
，
的长不能大于6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出．
7．如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
【答案】B
【提示】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
，
，
∠EBC＝45°，
，
为等腰直角三角形，
，
，
则△EBC的面积是．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
8．如图，在等边△ABC中，，E是延长线上一点，且，D是上一点，且，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【提示】过点E作于点F，根据含30°角的直角三角形的性质求得BF，再根据等腰三角形三线合一的性质求得DF，继而即可求解．
【解答】如图，过点E作于点F，则，
∵△ABC是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作辅助线．
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【提示】先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．
【解答】解：在中，，
，
是的中线，
，且AD平分，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
10．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【提示】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，通过全等的性质得到∠1＝∠2，证得∠APE＝∠C＝60°，故②正确；再根据BQ⊥AD，得到∠PBQ＝30°，进而BP＝2PQ，故④正确；由BD＝CE，得到AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误，从而得到结果．
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1＝∠2，
∴∠BPQ＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝60°，
∴∠APE＝∠C＝60°，故②正确；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90° ∠BPQ＝90° 60°＝30°，
∴BP＝2PQ，故④正确；
∵AC＝BC，AE＝DC，
∴BD＝CE，
∴AE＋BD＝AE＋EC＝AC＝AB，故①正确；
根据题中条件，无法判断BQ＝AQ，故③错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
11．如图，中，，若，则__________．
【答案】60°##60度
【提示】根据平行线的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠A ．
【解答】解：∵CE∥AB，∠BCE=30° ，
∴∠B=∠BCE=30°，
∵Rt△ACB中， ∠ACB=90°,
∴∠A=60°，
故答案为60°．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形和平行线的性质是解题关键 ．
12．直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是___．
【答案】30
【提示】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求出斜边，再根据三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：直角三角形斜边上中线是6，
斜边是12
它的面积是30
故答案为：30．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边与斜边中线的关系，解题的关键是在于知道直角三角形斜边中线为斜边的一半．
13．如图，中，，将沿折痕对折，点恰好与的中点重合，若，则的长为______．
【答案】6
【提示】根据线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解∶ 根据题意得：∠BDE=∠C=90°，∠ABE=∠CBE，
∵点D为AB的中点，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE=4，
∴∠A=∠ABE，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ABE=∠CBE =30°，
∴，
∴AC=4+2=6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在中，，，于D，于E，若，则的长为_______．
【答案】9
【提示】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝3，
∴AD＝2AE＝6，
∴AC＝2AD＝12，
∴CE＝AC AE＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
15．如图，在中，，点D是的延长线上一点，，则__________．
【答案】2
【提示】根据等边对等角性质，解得，再由三角形外角性质解得，最后根据含30°角直角三角形的性质解题．
【解答】∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查含30°角直角三角形的性质、三角形外角性质、等边对等角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．如图，在中，，，，，则为____________cm．
【答案】9
【提示】先根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据等腰三角形的判定可得，根据含角的直角三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得．
【解答】解：，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．
17．如图，在中，，，垂直平分，交于点E，，则的值是________．
【答案】4
【提示】先由线段垂直平分线性质得AE=BE，从而得∠BAE=，继而∠AEC=∠BAE+∠B=30°，即可由含30度的直角三角形性质求得AE=2AC=4，即BE=4，然后由S△ABE=求解即可．
【解答】解：∵垂直平分，
∴AE=BE，
∴∠BAE=，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=30°
∵，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=AE=4，
∴S△ABE=
=
=4
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度的直角三角形性质，三角形面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质、含30度的直角三角形性质是解题的关键．
18．如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____．
【答案】3
【提示】如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可．
【解答】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．
∵，，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴是点到直线的最短距离，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题最短路线问题，涉及等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含的直角三角形的性质等知识．解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值．
三、解答题
19．如图，△ABC中，线段AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，且∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数．
【答案】∠DAE=20°．
【提示】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC=×80°=40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°，
∴在Rt△AEC中，∠EAC=90°-∠C=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=40°-20°=20°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
20．已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE＝4cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A＝30°，求AB和CD的长.
【答案】AB=16cm，CD=8cm．
【提示】根据含30°角的直角三角形性质求解AD的长，由中点的定义可求解AB的长，再利用斜边上的中线性质求出CD．
【解答】解：∵DE⊥AC，∠A=30°，DE=4cm，
∴AD=2DE=8cm；
∵D为AB中点，
∴AB=2AD=16cm，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AB=8cm．
∴AB和CD的长分别为：16cm，8cm．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上性质定理是解题的关键．
21．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°．
(1)求AD的长度；
(2)求△ABE的面积．
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）根据三角形的面积求出AD即可；
（2）根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BE，再根据三角形面积公式求出面积即可．
（1）
解：在中，，是边上的高，
，，，
根据可得
；
（2）
解：在中，是边上的中线，且，
，
在中，是边上的高，且由（1）知，
．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，解题关键是巧用面积法求直角三角形斜边上的高．
22．如图，，O是线段的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【提示】根据直角三角形斜边上的中线性质得出OB=AC，OD=AC，等量代换，即可求出答案；．
【解答】证明：∵，O是的中点，
∴，
∴
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，掌握直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键．
23．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H．
(1)求证：DH=DC；
(2)若AC＝2，BD＝，∠CAD＝30°，求AH的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)-1
【提示】（1）先利用垂直关系证明∠BHD＝∠C，再利用等角对等边证明BD＝AD，进而证明△BDH≌△ADC（AAS），即可得出DH=DC；
（2）先利用含30度角的直角三角形的性质求出DC，进而得出DH，又BD＝AD，则．
(1)
证明：∵AD和BE是△ABC的高，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C．
∵∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD．
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴DH=DC．
(2)
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠CAD＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝1，
∴DH=DC＝1，
∵BD＝AD=，
∴，
既AH的长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是找出相应条件证明△BDH≌△ADC．
24．如图，在△中，，点为上一点，以为腰作等腰△，且，，连接．
(1)求证：△≌△；
(2)已知，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【提示】（1）先根据角的和差可得，再利用定理即可得证；
（2）过点作的垂线，交的延长线于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，从而可得，然后利用含角的直角三角形的性质可得，最后利用三角形的面积公式即可得．
（1）证明：∵，∴，即，在与中，，∴．
（2）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，
由（1）已证：，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴的面积为．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
25．如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何 请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形 若能，请求出t，若不能，请说明理由．
(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形
【答案】(1)PQ与AB垂直，理由见解析
(2)能，当时，△BPQ是等边三角形
(3)或，△BPQ是直角三角形
【提示】（1）先求出AP的长，可得点P是AB的中点，由等边三角形的性质可求解；
（2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程，可求解．
（1）
点Q到达点C时，PQ与AB垂直，理由如下：
∵，
∴当点Q到达点C时，s，
∴，
∴点P为AB的中点，
∴；
（2）
假设点P与点Q的运动过程中，△BPQ是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，解得，
∴当时，△BPQ是等边三角形；
（3）
根据题意得，，，，
当时，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
当时，同理可得，
解得．
综上所述，或，△BPQ是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．
26．如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边△ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．
(1)求证：∠FEA=∠FBA；
(2)求∠EFC的度数；
(3)点N在线段FC上且FN=FE，连接EN，证明：FE+FA=2FD．
【答案】(1)见解析
(2)∠EFC=60°
(3)见解析
【提示】（1）由等边三角形的性质及线段的垂直平分线的性质证明；
（2）利用角之间的相等关系进行等量代换，再根据等边三角形的性质可得出答案；
（3）利用（2）的结论，证明△EFN是等边三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再证明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半得到FC=2FD，结论得证．
（1）∵AD为边BC的垂直平分线， ∴AB=AC，∵△ACE为等边三角形， ∴AC=AE，∴AB=AE， ∴∠FEA=∠FBA；
（2）解：∵AD为边BC的垂直平分线 ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，FB=FC，∠FBC=∠FCB，∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB， 即∠ABE=∠ACF，∵∠ABE=∠AEF， ∴∠AEF=∠ACF，∵∠FME=∠CMA， ∴∠EFC=∠CAE，∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°， ∴∠EFC=60°．
（3）解：FE+FA＝2FD，证明：由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，∵FN=FE， ∴△EFN是等边三角形， ∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，∵△ACE为等边三角形， ∴∠AEC=60°，EA=EC，∴∠FEN=∠AEC，∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN， 即∠AEF=∠CEN，在△EFA和∠ENC中，EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，∴△EFA≌△ENC（SAS）， ∴FA=NC，∴FE+FA=FN+NC=FC，∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB， ∴∠FCB=×60°=30°，∵AD⊥BC， ∴∠FDC=90°，∴FC=2FD， ∴FE+FA=2FD．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及线段的垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
