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专题2.2 等腰三角形
模块一：知识清单
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
2.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形 (2)∠B＝∠C (3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
3.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°，等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.
(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 济南八年级期中）等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
【思路点拨】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和10cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【答案】解：分两种情况：
当腰为5时，5+5＝10，所以不能构成三角形；
当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5＝25（cm）．故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．（2022 浙江八年级月考）如图，是等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质，以及平角的性质即可求得．
【解析】∵是等边三角形，∴，
∴,故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
3．（2021春 高新区八年级月考）等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．4或8
【思路点拨】分4是底边和腰长两种情况，利用三角形的三边关系讨论求解．
【答案】解：①4是底边时，腰长为（16﹣4）＝6，
此时，三角形的三边分别为4、6、6，能组成三角形，
②4是腰长时，底边为16﹣4×2＝8，
此时，三角形的三边分别为8、4、4，不能组成三角形，
综上所述，底边为4．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
4．（2022 杭州八年级期中）如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
【答案】C
【分析】根据题意，分已知角是底角和不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案．
【解析】解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度，
当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是，
当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为，
则，解得：，即该等腰三角形的底角为：，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是解答本题的关键．
5．（2022 长春八年级期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拨】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可．
【答案】解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
6．（2022 浦东新区八年级期末）等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（ ）
A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定
【思路点拨】根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm，根据周长是20cm，求出x的值即可；
【答案】解：根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm．
x+2x+2x＝20，解得 x＝4 故底边长为4cm，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；验证是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．（2022·浙江杭州市·八年级期中）已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时．
【详解】解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18-8=10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；当4是底边时，腰长是（18-4）× =7，4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7．故选：B．
8．（2022 江州区八年级期中）已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A．5cm B．10cm C．11cm D．5cm或11cm
【思路点拨】根据分成的两个部分的周长的差等于腰长与底边的差，再分两种情况求出腰长，然后根据三角形的三边关系判断即可．
【答案】解：设腰长为xcm，根据题意得x﹣8＝3或8﹣x＝3，解得x＝11或x＝5，
当x＝11时，三角形的三边分别为11cm、11cm、8cm，能组成三角形，
当x＝5时，三角形的三边分别为5cm、5cm、8cm，能组成三角形．
综上所述，腰长为5cm或11cm．故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，理解分成的两个部分的周长的差等于腰长与底边的差是解题的关键．
9．（2022 上城区八年级模拟）若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
【分析】因为题中没有指明该外角是顶角的外角还是底角的外角，所以应该分两种情况进行分析．
【解析】当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故顶角的度数为80°或20°．故选：D．
10．（2021春 江都区八年级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【思路点拨】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．
【答案】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB PE，S△ACP＝AC PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB PE+AC PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江温州市·八年级月考）等边三角形的边长为a，则它的周长为______，等边三角形共有________条对称轴．
【答案】 3a 3
【分析】根据周长公式求解即可，根据轴对称图形的概念及对称轴求解即可.
【解析】解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a；等边三角形共有对称轴有3条．故答案为：3a，3．
【点睛】本题利用了等边三角形的三边相等的性质以及轴对称图形的对称轴的概念．
12．（2021·浙江杭州·九年级一模）在等腰三角形ABC中，∠B＝30°，若AB＞BC．则∠C＝________．
【答案】120°
【分析】由题意易得BC=AC，进而可得∠B=∠A，然后问题可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且AB＞BC，∴BC=AC，∴∠B=∠A，
∵∠B＝30°，∴∠C＝180°-2∠B=120°，故答案为120°．
13．（2022·浙江八年级期中）一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．
【答案】或
【分析】先画出图形，根据图形结合已知写出条件，再分两种情况讨论：根据一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，构建方程，再解方程可得答案.
【解析】解：如图，为等腰三角形，
设 则
当时，
解得：
当时， 解得：
故答案为：或
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的中线的性质，清晰的分类讨论是解题的关键.
14．（2022·浙江宁波市·八年级期中）有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰钝角三角形纸片的顶角度数为______．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠BAC与∠B的关系，再根据三角形内角和定理即可求得顶角的度数．
【解析】解：如图，
，．
设．，
，，．
，，，
．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．正确画出图形是解题关键．
15．（2021春 章丘区八年级期末）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为 ．
【思路点拨】设等腰三角形的腰长为2x，根据等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分可列方程，解方程可求解等腰三角形的腰长，由等腰三角形的周长可求解底边长，利用三角形的三边关系进行判定，进而可求解．
【答案】解：设等腰三角形的腰长为2x，
由题意得2x+x＝9或2x+x＝12，
解得x＝3或4，
∴等腰三角形的腰长为6或8，
∵等腰三角形的周长为9+12＝21，
∴该等腰三角形的底边长为：21﹣2×6＝9或21﹣2×8＝5，
∵6+6＝12＞9，5+8＞8，
∴等腰三角形的腰长，底边长分别为：6，9或8，5．
故答案为6，9或8，5．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题中分类讨论的运用是解题的关键．
16．（2022 浦东新区八年级期中）已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是 ．
【思路点拨】其中一部分比另外一部分长2，分两种情况：腰比底大2或底比腰大2，分别求出腰即可．
【答案】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，这两部分的差即是腰与底的差的绝对值，
∵其中一部分比另外一部分长2，
∴腰比底大2或底比腰大2，
∴腰为8或4．故答案为：8或4．
【点睛】本题考查等腰三角形的中线，掌握中线的定义是解题的关键．
17．（2022 郑州八年级期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝ ．
【思路点拨】分两种情况：AB为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k．
【答案】解：当AB腰时，则底边＝3cm；
此时，优美比k＝＝0.6；
当AB为底边时，则腰为4；
此时，优美比k＝＝1.25；
故答案为0.6或1.25．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．（2022·浙江八年级期中）等腰三角形一腰上的高线与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的底角为_________．
【答案】61°或29°
【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．
【详解】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A=90°-32°=58°，底角=（180°-58°）÷2=61°；
②若三角形是钝角三角形，∠BCA=32°+90°=122°，此时底角=（180°-122°）÷2=29°．
所以等腰三角形底角的度数是61°或29°．故答案为：61°或29°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 汉阳区八年级期中）用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
【思路点拨】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【答案】解：（1）设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x＝18，解得，x＝cm，
∴2x＝2×＝cm，
∴各边长为：cm，cm，cm．
（2）①当4cm为底时，腰长＝＝7cm；
②当4cm为腰时，底边＝18﹣4﹣4＝10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
20．（2022 荔城区八年级期中）（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．
（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1，x+1，3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
【思路点拨】（1）分两种情况进行分析：第一种AB+AD＝12，第二种AB+AD＝15；由此可分别求得三角形的三边的长．
（2）分三种情况讨论列出关于x的方程，解方程即可求得x的值，即可求得三角形的边长，进而即可求得周长．
【答案】解：在△ABC中，AB＝AC，BD是中线，设AB＝x，BC＝y
当AB+AD＝12时，则，解．
∴三角形三边的长为8、8、11；
当AB+AD＝15时，则，解得．
∴三角形三边的长为10、10、7
经检验，两种情况均符合三角形三边关系定理
因此这个三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
（2）①当2x﹣1＝x+1时，解x＝2，此时3，3，4，能构成三角形．
∴三角形周长为3+3+4＝10；
②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝1，此时1，2，1不能构成三角形．
③当x+1＝3x﹣2，解得，此时，能构成三角形，
∴三角形的周长为2++＝7，
∴这个等腰三角形的周长为10或7．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
21．（2022 杭州八年级期中）（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
（2）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
【答案】（1）都是；（2）或．
【分析】（1）根据三角形内角和是，等腰三角形的两个底角相等，可以判断出的角是顶角，进而求出等腰三角形的两底角的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当已知角是顶角以及已知角是底角时分别求解即可．
【解析】解：（1）∵等腰三角形的一个角是，所以等腰三角形的顶角为，
设底角的度数为，则：，解得：，
∴它的另外两个角都是；
（2）当顶角是时，底角等于：；
当底角是时，则另一个底角度数也为，
等腰三角形的顶角为，
∴等腰三角形的另外两个角是：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况讨论，这是非常重要的，也是解答问题的关键．
22．（2022·浙江九年级期中）如图，在中，，点，在上，．
（1）求证：≌．（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由已知即可证明；
（2）由及，可得，从而可得AD=BD=2，再由（1）的结论可得AE的长度．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴≌．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵≌，
∴．
23．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE．（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）141°．
【分析】（1）由角平分线的性质得∠BAE＝∠DAE，由SAS证得△BAE≌△DAE，即可得出结论；
（2）由△BAE≌△DAE，得出∠BEA＝∠DEA，推出∠BEC＝∠DEC，易求∠BAC＝∠DAC＝×78°＝39°，由等腰三角形与三角形内角和定理求出∠ACD＝∠ADC＝70.5°，由平行线的性质得出∠BEC＝∠ACD＝70.5°，即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
在△BAE和△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）由（1）得△BAE≌△DAE，
∴∠BEA＝∠DEA，
∴∠BEC＝∠DEC，
∵AC平分∠BAD，∠BAD＝78°，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝×78°＝39°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣39°）＝70.5°，
∵BE∥CD，
∴∠BEC＝∠ACD＝70.5°，
∴∠BEC＝∠DEC＝70.5°，
∴∠BED＝2×70.5°＝141°．
24．（2022 仓山区八年级期中）等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论．
【答案】相等，相等，相等，见解析
【分析】根据题意，作出图像，根据等腰三角形的性质，以及已知条件结合三角形全等的性质与判定证明即可
①等腰三角形两底角的平分线相等，证明如下，
如图， 中，，分别为两底角的角平分线
分别为两底角的角平分线
在与中
等腰三角形两底角的平分线相等；
②等腰三角形两腰上的中线相等，证明如下，
如图，中，，分别为的中点
在与中
等腰三角形两腰上的中线相等；
③等腰三角形两腰上的高相等
如图，中，，分别为两腰上的高线，
，
在与中，，，
等腰三角形两腰上的高相等．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形全等的性质三角形的高，中线，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
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专题2.2 等腰三角形
模块一：知识清单
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
2.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是轴对称图形 (2)∠B＝∠C (3)BD＝CD，AD为底边上的中线.
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.
3.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°，等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.
(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春 济南八年级期中）等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为10cm，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．25cm B．15cm或25cm C．20cm D．20cm或25cm
2．（2022 浙江八年级月考）如图，是等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021春 高新区八年级月考）等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．4或8
4．（2022 杭州八年级期中）如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（ ）度
A．62 B．59 C．62或59 D．62成56
5．（2022 长春八年级期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2022 浦东新区八年级期末）等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（ ）
A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定
7．（2022·浙江杭州市·八年级期中）已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
8．（2022 江州区八年级期中）已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A．5cm B．10cm C．11cm D．5cm或11cm
9．（2022 上城区八年级模拟）若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
10．（2021春 江都区八年级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江温州市·八年级月考）等边三角形的边长为a，则它的周长为______，等边三角形共有________条对称轴．
12．（2021·浙江杭州·九年级一模）在等腰三角形ABC中，∠B＝30°，若AB＞BC．则∠C＝________．
13．（2022·浙江八年级期中）一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．
14．（2022·浙江宁波市·八年级期中）有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰钝角三角形纸片的顶角度数为______．
15．（2021春 章丘区八年级期末）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为 ．
16．（2022 浦东新区八年级期中）已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是 ．
17．（2022 郑州八年级期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝ ．
18．（2022·浙江八年级期中）等腰三角形一腰上的高线与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的底角为_________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 汉阳区八年级期中）用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
20．（2022 荔城区八年级期中）（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1，x+1，3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
21．（2022 杭州八年级期中）（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
（2）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？
22．（2022·浙江九年级期中）如图，在中，，点，在上，．（1）求证：≌．（2）若，，求的长．
23．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，E是对角线AC上一点，连接BE，DE．（1）求证：BE＝DE．（2）当BE∥CD，∠BAD＝78°时，求∠BED的度数．
24．（2022 仓山区八年级期中）等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论．
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