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专题2.3 等腰三角形的性质定理
模块一：知识清单
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
3.尺规作图：已知底边和底边上的高
已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.
作法：1）作线段BC=a；2）作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D；3）在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.
4.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 宁德期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：C．
2．（2022·浙江八年级期末）如图中，分别在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，
∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，
∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴7∠A=180°，∴∠A=．故选：C．
3．（2022·浙江八年级专题练习）如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等边三角形三线合一即可求出，．再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出．
【详解】∵是等边三角形，且AD为中线．
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
3．（2022·浙江八年级期中）学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作的角平分线，根据提供的条件，无法判断是角平分线的是（ ）
A．，P为中点 B．，
C．， D．，P为中点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，等边对等角和平行线的性质综合进行判断即可．
【详解】解：A、OC=OD，CP=DP，OP=OP，根据SSS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不符合题意；
B、CD∥OB，可得∠CPO=∠POB，再由OC=CP，可得∠CPO=∠COP，可得∠POB=∠COP，故不符合题意；
C、OC=OD，OF=OE，∠COF=∠DOE，根据SAS可判定△OCP≌△ODP，可得出∠POC=∠POD，故不符合题意；
D、CD⊥OB，PC=PD，而PC和OA不垂直，不能判定∠POC=∠POD，故符合题意；故选D．
4.（2022 榆次区八年级期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】C
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=40°=∠EBC，即可得出结论．
【解析】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，
∵∠CED=50°，∴∠ECB=40°=∠EBC，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°，故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解题关键．
5.（2022 杨浦区八年级期中）如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则BE= ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据等边三角形三线合一得到BD垂直平分CA，所以CD=，另有 ，从而求出BE的长度.
【解析】解：由于△ABC是等边三角形，则其三边相等，BD也是AC的垂直平分线，即AB=BC=CA=6，AD=DC=3，已知CE=CD,则CE=3.而BE=BC+CE，因此BE=6+3=9.故答案选C.
【点睛】本题考察等边三角形性质，看到等边三角形应想到三条边相等，三线合一.
6．（2022 上城区八年级期末）如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．72° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】由线段相等，可得对应角相等，通过转化，将∠A、∠ABC都与∠DBE建立联系，从而即可求解∠A的值．
【解析】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
又∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠C，
∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∠DBC＋∠C＋∠BDC＝180°，∴∠DBC＝∠A，
∵AD＝DE＝EB，∴∠A＝∠AED，∠EDB＝∠EBD，
∴∠A＝2∠DBE，即∠ABC＝3∠DBE，
∵∠A＋2∠C＝180°，∴2∠DBE＋2∠ABC＝180°，
∴2∠DBE＋2×（3∠DBE）＝180°，即8∠DBE＝180°，
∴∠A＝2∠DBE＝45°．故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质问题，能够利用等腰三角形的性质求解一些简单的计算问题．
7．（2022 扶余市八年级期末）如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，若将三角形PBC绕点B旋转到三角形P′BA，则∠P′BP的度数为( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【分析】根据旋转的性质，找出，再根据等边三角形的性质，即可解答．
【解析】解：根据旋转的性质得：，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°， ∴； 故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等边三角形的性质，解决本题的关键是要知道对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
9．（2022 成都市八年级期末）如图．，点，，，，在射线上，点，，，在射线上．，，，均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质和，可求得，进而证得是等腰三角形，可求得的长，再证得是等腰三角形，可得，同理得规律，即可求得结果．
【解析】解：∵，是等边三角形，
∴，，∴，
∴，则是等腰三角形，∴，
∵，∴=1，，
∵是等边三角形，∴，，
∴，
∴是等腰三角形，可得=2，同理得、，
根据以上规律可得：，即的边长为，故选：B．
【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
10．（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8 B．9.6 C．8 D．6
【答案】B
【分析】根据题意可证AD是BC边上的高，设点Q关于直线AD对称的对称点为，可得，根据题意可证点在AB上，当且C、P、三点共线时，有最小值，根据等面积法计算求值即可．
【解析】解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵,
，，，
∴，解得，，
∴的最小值是9.6，故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形性质，根据等腰三角形三线合一求解，点到直线距离，运用等面积法求的值是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 杭州八年级期中）已知，是等边三角形，于E，于D，若，则图中60度的角有_______个．
【答案】5
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAE=∠BAE=30°，再由平行线的性质得到∠AD=∠CAB=60°，从而得到∠DAC=30°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，即可求解．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAE=∠BAE=30°，
∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB=60°，
∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠DAC=30°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，∴60度的角一共有5个，故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（2022 奉贤区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为 ．
【思路点拨】先由等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，再根据△ABD的周长为16，得到AB+BD+AD＝16，即AB+AC+BC+2AD＝32，再将AB+AC+BC＝24代入，即可求出AD的长．
【答案】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD．
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝16，
∴2AB+2BD+2AD＝32，
∴AB+AC+BC+2AD＝32，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+AC+BC＝24，
∴24+2AD＝32，
∴AD＝4．
故答案为4
【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．同时考查了三角形的周长，等式的性质．
13．（2022 蜀山区期末）已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
【思路点拨】先由AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°得到∠CAD＝∠BAD＝40°，再分两种情况讨论得出结果．
【答案】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
①AE1＝DE1时，
∠ADE1＝∠CAD＝40°，
则∠E1DC＝90°﹣40°＝50°；
②AE2＝AD时，
∠ADE2＝∠AE2D＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
则∠E2DC＝90°﹣70°＝20°．
故∠EDC的度数是50°或20°．
故答案为：50°或20°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，注意分类思想的运用．
14.（2022 浙江八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;
【答案】60°
【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解．
【解析】解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，∵，
∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，
在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
即∠AFE=60°．故答案为：60°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键．
15．（2022 江苏八年级期中）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．
【答案】10
【分析】根据三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，进而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，进而利用已知求出即可．
【解析】解：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠EDC+∠C=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADE，
又∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B=∠C．∴2∠EDC=20°，∴∠EDC=10°．故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形外角定理以及角之间等量代换，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解决问题的关键．
16．（2022 道外区期末）△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以AB为一边在同一平面内作等边△ABD，连接CD，则∠BDC的度数为 ．
【思路点拨】分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及三角形内角和定理可求出答案．
【答案】解：如图1，当点D在AB的上方时，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ADB＝∠BAD＝60°，AD＝AB，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°+60°＝150°，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BDC＝∠BDA﹣∠ADC＝60°﹣15°＝45°；
如图2，当点D在AB的下方时，
∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+75°＝135°．
故答案为：45°或135°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
17．（2021 河南四模）在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ．
【思路点拨】分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可．
【答案】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论．
①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1，
∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣80°）＝50°，
又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝25°；
②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2，
∵AD＝BD，∠B＝80°，
∴∠BAD＝∠B＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣80°×2＝20°，
又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝10°；
③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3，
则∠ADB＝∠B＝80°，
又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝40°．
故答案为：10°或25°或40°．
【点睛】本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键．
18．（2022 简阳市 期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．
其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；
根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；
根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【答案】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 雨花区八年级级月考）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；
如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．
【答案】见解析.
【分析】先根据AB＝AC，∠A＝108°，求得∠C＝36°，再过点A作∠DAC＝36°，则△ACD和△ABD均为等腰三角形．
【解答】解：如图2所示，由AB＝AC，∠A＝108°，可知∠C＝36°，
过点A在∠BAC内部作射线AD，使得∠DAC＝36°，则
△ABD中，∠BAD＝72°，∠ADB＝72°，
△ACD中，∠DAC＝∠C＝36°，
故△ACD和△ABD均为等腰三角形，故射线AD即为所求．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．简称：等边对等角．
20．（2022 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE．
【思路点拨】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；
（2）根据AAS先证明△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等得出BD＝EF，再根据等式的基本性质证出BF＝DE．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝65°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝32.5°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝32.5°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFE，
在△ABD与△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（AAS），
∴BD＝EF，
∴BD+DF＝EF+DF，
∴BF＝DE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等，考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．
21．（2022 九龙坡区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；（2）求证：AD∥EG．
【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根据外角的性质即可求出∠AEF的度数；（2）根据角平分线的定义和外角的定义，可得∠AEF＝∠BAD，进而可证明AD∥EG．
【答案】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵D为BC中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝×80°＝40°，
∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠E+∠AFE，
∴∠AEF＝∠BAD＝40°；
（2）证明：由（1）得∠AEF＝∠BAD，∴AD∥EG．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
22．（2022 长汀县期中）如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．
求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．
【思路点拨】（1）根据△ABC、△ADE都是等边三角形，得到AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD＝EC，即可推出答案；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，根据平角的意义即可求出∠ECD的度数．
【答案】证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即：∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC，
∵BD＝BC+CD＝AC+CD，
∴CE＝BD＝AC+CD；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，∴∠ECD＝60°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平角的定义等知识点，解此题的关键是根据等边三角形的性质证出△BAD≌△CAE和∠ACE＝∠ABD．
23．（2022 亭湖区校级月考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒）
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： 能 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝ ，θ2＝ ，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【思路点拨】（1）先根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．
【答案】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ
∴θ1＝2θ
同理可得：θ2＝3θ
θ3＝4θ．
故答案为：2θ，3θ，4θ；
（4）由题意得：，
∴15°≤θ＜18°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
24．（2022 宁都县期中）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°．
（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，譬如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？请你选择其中一个问题并画出图形，给出证明．
【思路点拨】（1）由已知条件得△ABM≌△BCN，得∠BAM＝∠CBN，又因为∠QBA+∠CBN＝∠CBA＝60°，所以∠QBA+∠BAM＝60°，即有∠BQM＝60°；
（2）①因为∠BQM＝60°，所以∠QBA+∠BAM＝60°，又因为∠QBA+∠CBN＝60°，所以∠BAM＝∠CBN，已知∠B＝∠C，AB＝AC，则ASA可判定△ABM≌△BCN，即BM＝CN；②成立．
【答案】解：（1）∵在△ABM和△BCN中，
，∴△ABM≌△BCN（SAS）．
∴∠BAM＝∠CBN（全等三角形对应角相等）．
∵∠QBA+∠CBN＝∠CBA＝60°（已知），
∴∠QBA+∠BAM＝60°（等量代换）．
∴∠BQM＝60°．
（2）①是．
∵∠BQM＝60°（已知），
∴∠QBA+∠BAM＝60°．
∵∠QBA+∠CBN＝60°（由（1）得出的结论），
∴∠BAM＝∠CBN（等量代换）．
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN（ASA）．
∴BM＝CN（全等三角形对应边相等）．
②成立．
∵BM＝CN（①的结论），
∴CM＝AN（等量代换）．
∵AB＝AC，∠ACM＝∠BAN＝180°﹣60°＝120°（平角的性质），
在△BAN和△ACM中，
∴△BAN≌△ACM（SAS）．
∴∠NBA＝∠MAC，
∴∠BQM＝∠BNA+∠NAQ＝180°﹣∠NCB﹣（∠CBN﹣∠NAQ）＝180°﹣60°﹣60°＝60°（三角形内角和定理）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质；此题把全等三角形的判定和性质结合求解．有利于培养学生综合运用数学知识的能力，全等三角形的证明是正确解答本题的关键
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专题2.3 等腰三角形的性质定理
模块一：知识清单
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
2.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
3.尺规作图：已知底边和底边上的高
已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.
作法：1）作线段BC=a；2）作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D；3）在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.
4.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 宁德期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
2．（2022·浙江八年级期末）如图中，分别在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江八年级专题练习）如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江八年级期中）学习了角平分线及其性质后，某校数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作的角平分线，根据提供的条件，无法判断是角平分线的是（ ）
A．，P为中点 B．，
C．， D．，P为中点
4.（2022 榆次区八年级期末）如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5.（2022 杨浦区八年级期中）如图，若是等边三角形，，是的平分线，延长到，使，则BE= ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2022 上城区八年级期末）如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．72° C．45° D．50°
7．（2022 扶余市八年级期末）如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，若将三角形PBC绕点B旋转到三角形P′BA，则∠P′BP的度数为( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
9．（2022 成都市八年级期末）如图．，点，，，，在射线上，点，，，在射线上．，，，均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8 B．9.6 C．8 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 杭州八年级期中）已知，是等边三角形，于E，于D，若，则图中60度的角有_______个．
12．（2022 奉贤区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为16，△ABC的周长为24，则AD的长为 ．
13．（2022 蜀山区期末）已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且∠BAD＝40°．点E是边AC上的一点，若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
14.（2022 浙江八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;
15．（2022 江苏八年级期中）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是_______度．
16．（2022 道外区期末）△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，以AB为一边在同一平面内作等边△ABD，连接CD，则∠BDC的度数为 ．
17．（2021 河南四模）在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为 ．
18．（2022 简阳市 期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．
其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 雨花区八年级级月考）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，我们发现这个三角形有一种特性，即经过它某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题；
如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你在图中画一条射线（不必写画法），把它分成两个小等腰三角形，并写出底角的大小．
20．（2022 九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE．
21．（2022 九龙坡区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；（2）求证：AD∥EG．
22．（2022 长汀县期中）如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．
求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．
23．（2022 亭湖区校级月考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒）
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： 能 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数；
活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝ ，θ2＝ ，θ3＝ ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
24．（2022 宁都县期中）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC、CA边上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°．
（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，譬如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？请你选择其中一个问题并画出图形，给出证明．
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