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专题2.4 等腰三角形的判定定理
模块一：知识清单
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2.等边三角形的判定定理：（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
要点：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 莫旗八年级期末）△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（ ）
A．6 B．8 C．5 D．13
【思路点拨】根据等腰三角形的判定与性质即可求解．
【答案】解：∵△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝6，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题关键是求出∠C，从而确定此三角形是等腰三角形即可得出答案．
2．（2022 杭州八年级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据题图所给信息，根据边或角分析即可
【解析】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；故答案为：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
3．（2022 浙江八年级期中）下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
【答案】A
【分析】根据等边三角形的判定定理求解即可．
【解析】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，
三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；
三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，故（4）正确；
等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．
4．（2022 河北八年级模拟）嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上．若嘉嘉行走的速度为1m/s，则淇淇行走的速度为（ ）
A．0.5 m/s B．0.8 m/s C．1 m/s D．1.2 m/s
【思路点拨】根据方位角得出∠ACB＝30°，进而解答即可．
【答案】解：由图可得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴AB＝BC，
∴嘉嘉行走的速度和淇淇行走的速度相同，即1m/s，故选：C．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据方位角得出∠ACB＝30°解答．
5．（2022 普陀区八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC＝2∠ABD＝72°，又可求∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形；又∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；由∠DBC＝∠ABD＝36°，得∠C＝72°，可求∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形．
【答案】解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC是等腰三角形…①．
∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴△ABD是等腰三角形…②．
∵∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝72°，∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC是等腰三角形…③．
故图中的等腰三角形有3个．故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
6．（2022 二七区八年级期中）若分式有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．各边都不相等的三角形 D．直角三角形
【思路点拨】根据分式有意义的条件和分式的值为0得出a﹣c≠0且a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0，再求出即可．
【答案】解：∵分式有意义且它的值为零，
∴a﹣c≠0且a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0，
解a（b﹣c）+b（c﹣b）＝0得：a＝b或b＝c，
∵a﹣c≠0，∴a＝b或b＝c，
即此三角形是等腰三角形，故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0，等腰三角形的判定和等边三角形的判定等知识点，能求出a、b、c直角的关系式是解此题的关键．
7．（2022 广东八年级期中）下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；
③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】D
【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②③是否正确．
【解析】∵AD⊥BC，且AD平分BC，∴AD是边BC上的中垂线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；故本选项正确；
∵AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的垂线、∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；故本选项正确；
∵AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC，
∴AD是边BC上的中线，也是∠BAC的角平分线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质知，△ABC为等腰三角形；故本选项正确；
综上所述，①②③都能证明△ABC为等腰三角形；故选D．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质．等腰三角形“三线合一”是指底边上的中线、垂线、顶角上的角平分线，三线合一．
8.（2022 湖北八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，下列两个结论：①AB＋BD＝DC，②AB＋BE＝AC．其中正确的是（ ）
A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都不对
【答案】C
【分析】如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，证明△ABE≌△AFE得到∠AFE=∠B，BE=EF，再证∠C=∠CEF，得到EF=CF，即可判断②；如图在BC上截取DM=BD，证明△ADB≌△ADM得到AB=AM，则∠B=∠AMB，同理可证∠MAC=∠C，即可判断①．
【解析】解：如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE，
又∵AB=AF，AE=AE，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠AFE=∠B，BE=EF，
∵∠B=2∠C，∴∠AFE=∠C+∠CEF=2∠C，∴∠C=∠CEF，∴EF=CF，∴BE=CF，
∴AC=AF+CF=AB+BE，故②正确；
如图在BC上截取DM=BD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADM=90°，
又∵AD=AD，BD=MD，∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴AB=AM，∴∠B=∠AMB，同理可证∠MAC=∠C，
∴AM=MC，∴AB=MC，∴CD=CM+DM=AB+BD，故①正确，故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
9．（2022 内江八年级期末）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拨】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．
【答案】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC＝×16＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
10．（2022 重庆八年级期中）如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】如图，在内作，且使得，连，证明，得到为等腰三角形，再证明为等边三角形，推出为等腰三角形，由三角形外角的性质得出即可．
【解析】如图，在内作，且使得，连，
在和中，
，
，
为等腰三角形，
为等腰三角形，
，，，
为等边三角形，
为等腰三角形，
延长CE交AD于F点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是_____．
【答案】BD=CD
【解析】已知给出了两线段垂直，只要有一条被平分，则有等腰三角形出现，于是答案可得．
解：添加的条件是BD=CD．∵BD=CD，AD⊥BC，AD是公共边，
∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．
证明三角全等的方法有很多，所以可添加的条件也有很多，答案不唯一．故填BD=CD．
12.（2022 杭州八年级期中）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．
【答案】等边
【分析】运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．
【解析】解：∵2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，
∴（a-b）2+（a-c）2=0，
∴a-b=0且a-c=0，∴a=b=c，
∴△ABC的形状为等边三角形．故答案为：等边．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
13.（2022 江苏八年级期中）如图，在中，，，CD平分，于E，若，，则的周长为______．
【答案】##b+a
【分析】根据题意证明，进而可得，进而求得，即可求得的周长．
【解析】，，CD平分，，，，
，
又，
，
则的周长为
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，求得是解题的关键．
14．（2022 北京市八年级期中）在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝ 时，△ABC为等腰三角形．
【思路点拨】分三种情形分别讨论即可解决问题；
【答案】解：①当AB＝AC时，∵∠A＝40°，∠C＝∠B＝70°．
②当CA＝CB时，∵∠A＝∠B＝40°，∴∠C＝100°．
③当BA＝BC时，∴∠C＝∠A＝40°，
综上所述，∠C的值为40°或70°或100°，
故答案为40°或70°或100°．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．（2022 东台市八年级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 ．
【思路点拨】根据平行线的性质得到∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，由角平分线的定义得到∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，于是得到BE＝EG，CD＝DF，代入数据即可得到结论．
【答案】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
∴∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝3，CD＝4，ED＝5，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG，即3+4＝5+FG，
∴FG＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
16.（2022 河北八年级期中）如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)：____________（写出所有可能）
【答案】①④或②④或①③或②③
【分析】①④：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；②④：证△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；①③：证△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；②③：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
【解析】解： ①④，
理由是：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
，∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
故答案为：①④或②④或①③或②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
17．（2022 河南八年级期中）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
【答案】
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DEAC即可．
【解析】过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，∵，
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．
∵AC=3，∴DE．故答案为：．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
18.（2022 成都市八年级期中）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，AD 垂直于 BD，△BCD 的面积为38，△ADC 的面积为17，则△ABD 的面积等于_____．
【答案】21
【分析】延长AD交BC于E，由ASA证明△ABD≌△EBD，得出AD=ED，得出△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=17，即可得出结果．
【解析】延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中，
，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴AD=ED，
∴△ABD的面积=△EBD的面积，△CDE的面积=△ACD的面积=17，
∴△ABD的面积=△EBD的面积=△BCD的面积-△CDE的面积=38-17=21．故答案为：21．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，证明三角形全等得出AD=ED是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 石家庄八年级期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：为等腰三角形；（2）当时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）65°
【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
【解析】解：（1）∵，∴，
在和中，，
∴（），∴，∴为等腰三角形；
（2）∵，∴，
∵是的外角，∴，
∴，∴，
在中，∴，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（2022 浙江八年级期中）如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)等边三角形，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝60°，由SAS证明△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，即可得出结论．
【解析】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
在△ADC和△BEC中，，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
(2)△DCE是等边三角形；理由如下：
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，DC＝EC，
即△DCE是等腰三角形，
∴△DCE是等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定定理、直角三角形的性质，熟记等边三角形的判定是解题的关键．
21．（2020春 淄川区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
（1）求证：△APF是等腰三角形；（2）求证：AB＝PC．
【思路点拨】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再根据∠1＝∠2＝∠H，得出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解．
【答案】证明：如图
：
（1）∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
（2）∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，AF＝AP，
∴AB＝PC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键．
22．（2022 巩义市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BE与CD相交于点F，且BD＝CE．
（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明△ABC是等腰三角形，这个条件可以是 C,E （多选）；
A．DF＝EF
B．BF＝CF
C．∠ABE＝∠ACD
D．∠BCD＝∠CBE
E．∠ADC＝∠AEB
（2）利用你选的其中一个条件，证明△ABC是等腰三角形．
【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
（2）根据AAS证明三角形全等可得结论．
【答案】解：（1）C,E满足条件(理由见第二个问题）．
故答案为：C,E．
(2)若∠ABE＝∠ACD.
在△BDF和△CEF中，
,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
∴BF＝CF,
∴∠CBF＝∠BCF,
∴∠ABC＝∠ACB,
∴AB＝AC．
若∠ADC＝∠AEB,
∴∠BDF＝∠CEF,
在△BDF和△CEF中，
,
∴△BDF≌△CEF(AAS),
∴BF＝CF,∠DBF＝∠FCE,
∴∠CBF＝∠BCF,
∴∠ABC＝∠ACB,
∴AB＝AC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
23．（2022 呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【思路点拨】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【答案】解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
24．（2022 湖北八年级期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点．
(1)当时，求的度数：(2)在点P的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，求出夹角的大小．
【答案】(1)∠AND=45°
(2)当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠A=∠B=，利用三角形外角性质得出∠CPA=∠PCB+∠B=45°，然后求出∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，再利用外角性质求解决可；
（2）△PCD的形状可以是等腰三角形．由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．分三种情况①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°即可求解．
【解析】(1)解：在中，∵，
∴∠A=∠B=，
∵，∠CPA为△CPB的外角，
∴∠CPA=∠PCB+∠B=45°，
∵∠CPD=30°，
∴∠DPA=∠CPA-∠CPD=45°-30°=15，
∴∠AND=∠A+∠DPA=30°+15°=45°，
(2)解：△PCD的形状可以是等腰三角形．
由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．
①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．
∴∠PCD＝（180°－∠MPN）＝（180°－30°）＝75°，
即120°－α＝75°，
解得α＝45°．
②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，
即120°－α＝30°，
解得α＝90°；
③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°．
∴∠PCD＝180°－2×30°＝120°，
即120°－α＝120°，
解得α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和点A重合．
综合上述，当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形，
即α的大小是45°或90°或0°．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定平行线性质的应用，三角形外角性质，三角形内角和，注意要进行分类讨论．
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专题2.4 等腰三角形的判定定理
模块一：知识清单
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
2.等边三角形的判定定理：（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
要点：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 莫旗八年级期末）△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（ ）
A．6 B．8 C．5 D．13
2．（2022 杭州八年级期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2022 浙江八年级期中）下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
4．（2022 河北八年级模拟）嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上．若嘉嘉行走的速度为1m/s，则淇淇行走的速度为（ ）
A．0.5 m/s B．0.8 m/s C．1 m/s D．1.2 m/s
5．（2022 普陀区八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022 二七区八年级期中）若分式有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．各边都不相等的三角形 D．直角三角形
7．（2022 广东八年级期中）下列条件能证明ΔABC为等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于点D，且∠BAD=∠CAD；
③AD平分BC边于点D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
8.（2022 湖北八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，下列两个结论：①AB＋BD＝DC，②AB＋BE＝AC．其中正确的是（ ）
A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都不对
9．（2022 内江八年级期末）如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2022 重庆八年级期中）如图，中，，点D在内部，且使得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11.（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是_____．
12.（2022 杭州八年级期中）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC的形状为________________ 三角形．
13.（2022 江苏八年级期中）如图，在中，，，CD平分，于E，若，，则的周长为______．
14．（2022 北京市八年级期中）在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝ 时，△ABC为等腰三角形．
15．（2022 东台市八年级期中）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 ．
16.（2022 河北八年级期中）如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)：____________（写出所有可能）
17．（2022 河南八年级期中）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为_____．
18.（2022 成都市八年级期中）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，AD 垂直于 BD，△BCD 的面积为38，△ADC 的面积为17，则△ABD 的面积等于_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 石家庄八年级期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：为等腰三角形；（2）当时，求的度数．
20．（2022 浙江八年级期中）如图，点E是等边△ABC外一点，点D是BC边上一点，AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，连接ED，EC．(1)试说明△ADC与△BEC全等的理由；(2)试判断△DCE的形状，并说明理由．
21．（2020春 淄川区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
（1）求证：△APF是等腰三角形；（2）求证：AB＝PC．
22．（2022 巩义市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BE与CD相交于点F，且BD＝CE．（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明△ABC是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；
A．DF＝EF B．BF＝CF C．∠ABE＝∠ACD D．∠BCD＝∠CBE E．∠ADC＝∠AEB
（2）利用你选的其中一个条件，证明△ABC是等腰三角形．
23．（2022 呼和浩特期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
24．（2022 湖北八年级期中）在中，，，将一块足够大的直角三角尺（、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点．
(1)当时，求的度数：(2)在点P的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，求出夹角的大小．
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