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专题2.5 逆命题和逆定理
模块一：知识清单
1、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
2、线段垂直平分线定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3、角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 道外区八年级期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应八年级角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的性质和判定进行判断即可．
【解析①形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，原命题是假命题；
②在两个全等的三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，原命题是假命题；
③全等三角形的对应边相等，是真命题；
④全等三角形对应边上的高相等，是真命题；故选：B．
2．（2022 桥西区八年级期末）下列命题中的假命题是（ ）
A．当x＝y时，有x2＝y2 B．相等的角是对顶角
C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据等式的性质、对顶角、平行线的性质和判定判断即可．
【解析A、当x＝y时，有x2＝y2，是真命题；
B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
C、两直线平行，同位角相等，是真命题；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
故选：B．
3．（2022 江宁区八年级月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】用平行线的判定、互余的定义、直角的定义及对顶角的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意；
②等角的余角相等的逆命题为余角相等的两个角相等，正确，是真命题，符合题意；
③直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题，不符合题意；
④相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，符合题意，
真命题有3个，故选：C．
4．（2022 越秀区八年级期中）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补
B．全等三角形的对应边相等
C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】先写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、全等三角形的判定定理、绝对值的性质、线段垂直平分线的判定定理判断即可．
【解析A、两条直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，成立，不符合题意；
C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立，符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，成立，不符合题意；故选：C．
5．（2022 锦江区八年级期中）已知下列命题：①四边形是多边形；②对顶角相等；③两直线平行，内错角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；则原命题和逆命题均为真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据多边形的概念、对顶角的概念、平行线的判定和性质、有理数的乘法法则判断即可．
【解析①四边形是多边形的逆命题是多边形是四边形，原命题是真命题，逆命题是假命题；
②对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，原命题是真命题，逆命题是假命题；
③两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，逆命题是真命题；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0的逆命题是如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，原命题是假命题，逆命题是真命题；故选：A．
6．（2022 杭州市八年级期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC，过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EF=FH，EG=EH，然后求出EF=EG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE是∠CAF的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【解析】解：∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC， ∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴ ∠ACD=∠BEC+∠ABC， ∴ （∠ABC+∠BAC）=∠BEC+∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC， ∵∠BAC=80°， ∴∠BEC=40°，
过点E作EF⊥BA交延长线于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BD于H，
∵BE平分∠ABC， ∴EF=EH， ∵CE平分∠ACD， ∴EG=EH，
∴EF=EG， ∴AE是∠CAF的平分线，
∴∠CAE=（180°-∠BAC）= （180°-80°）=50°． 故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出AE是外角的平分线．
7．（2022 成都市八年级期末）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质，，则，再由平分，得．从而得出答案．
【解析】解：、，且，，
又平分，，
故．正确，不符合题意；
、在与中，，，
根据三角形内角和定理．正确，不符合题意；
、，且，∴EB=EA
，正确，不符合题意；
、不一定成立，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在的角平分线上；②点P在的平分线上；③点P在的平分线上；④点P在，，的平分线的交点上．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．
【解析】解：∵点P到AE、AD的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；
∵点P到AE、BC的距离相等，∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；
∵点P到AD、BC的距离相等，∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；
∴点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，④正确，故选D
【点睛】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
9．（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）
结论①；结论②．
A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确
【答案】A
【分析】由三角形内角和定理得，根据ASA可证明得出，，从而得到BD是CE的垂直平分线，得DC=DE，又可得，从而再由三角形外角的性质可得结论．
【解析】解：如图，
∵在△ABC中，，，
∴
∵BD是∠ABC的平分线，∴
又∴
在和中，
∴∴BC=BE，CO=EO
∴
∴
∵CO=EO，∴BD是CE的垂直平分线，
∴DC=DE，∴
∴ 故①②都正确，故选A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
10．（2022 江汉区八年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AFO的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，根据线段垂直平分线的性质及三角形全等可证OA＝OB＝OC，由点C沿EF折叠后与点O重合，则∠ACO＝∠FOC＝35°，再根据∠AFO是△OCF的外角，计算求解即可．
解：如图，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，∴直线AO是BC的垂直平分线，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC＝＝35°，
在和中
∵∴∴OB＝OC，
∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝35°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴∠ACO＝∠FOC＝35°，
∵∠AFO是△OCF的外角，
∴∠AFO＝∠FOC+∠FCO＝70°，故选C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形全等、翻折的性质等知识，证明出OA＝OC是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 埇桥区期末）“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ．
【分析】写出该命题的逆命题即可．
【解析“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形；
故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形．
12．（2022 定西期末）把命题“实数是无理数”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
【分析】先分清命题“实数是无理数”的题设与结论，然后写成“如果…那么…”的形式．
【解析如果一个数是实数，那么这个数是无理数．
故答案为：如果一个数是实数，那么这个数是无理数．
13．（2022 龙山县期末）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应角相等．写出成立的逆命题： ．
【分析】根据实数的乘法、平行线的性质和全等三角形的性质判断即可．
【解析①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数，逆命题是如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数，是假命题；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；
③全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；
故答案为：内错角相等，两直线平行．
14．（2022 江都区期末）命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解析命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是负数是两个负数之和，错误，为假命题，
故答案为：假．
15．（2022 南海区期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AC边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，且CD平分∠ACB，则∠A的度数等于 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DCA，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠DCA，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解析∵DE是AC边上的垂直平分线，
∴DA＝DC，∴∠A＝∠DCA，
∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠DCA，
∴∠A＝∠DCA＝∠BCD，
∵∠B＝90°，∴∠A＝30°，故答案为：30°．
16．（2022 杭州八年级期末）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线
则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．
【答案】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
【分析】连接BD，AD，根据垂直平分线的判定即可解答；
【解析】解：如图，连接BD，AD，
∵AC=AD，BC=BD，
根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可得：A，B一定在线段CD的垂直平分线上；
故答案为：线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
17．（2022 沙坪坝区校级期末）如图，△ABC中，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，DE、FG相交于M点，连接FA、EA，若∠BAC＝80°，求∠EAF＝ ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，结合图形计算得到答案．
【解析∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠EAB+∠FAC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠EAF＝∠EAB+∠FAC﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故答案为：20°．
18．（2022 莱芜区八年级期末）P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为_____．
【答案】142°
【分析】在AC的延长线上截取AF=AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，证得△APB≌△APF，则AP为BF的垂直平分线，由∠PBA=8°可得∠CBF=30°=∠CBP，∠BFP=60°=∠BPF，可得BC平分PF，进一步可求出∠APC的度数．
【解析】在AC的延长线上截取AF＝AB，连BF，PF，延长AP交BC于D，交BF于E，
在△APB和△APF中，，∴△APB≌△APF（SAS），
∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°，
∴AP垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30°
∴∠AEP=∠FEP=90°，∴∠PBF=∠PFB=60°
∵∠PBC＝30°∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°，
∴三角形BPF是等边三角形，BC平分∠PBF
∴BC垂直平分PF∴PC=PF∴∠CPF＝∠CFP＝8°
∴∠DPC＝38°∴∠APC＝142°；故答案为：142°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线，证明△APB≌△APF．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 贺兰县八年级期中）写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据四边形内角和是360°、对顶角相等证明即可．
【解析命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．
原命题是假命题．
反例：如图1，∠CAB 的两边与∠CDB的两边分别垂直，但∠CAB+∠CDB＝180°，∠CAB与∠CDB不一定相等；
逆命题是假命题．
反例：如解图2，∠AOC＝∠BOD，但AB与CD不一定垂直．
20．（2022 浙江八年级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，然后利用“HL”证明Rt△AED和Rt△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再利用垂直平分线的判定证明即可．
【解析】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴点D在EF垂直平分线上．
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，∴点A在EF垂直平分线上．
∴AD垂直平分EF．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，熟记相关性质，熟练运用性质和判定进行推理证明是解题的关键．
21．（2022 高州市八年级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，∴∠FAD＝∠E
22．（2022 重庆市八年级期末）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
（1）求证：点在的垂直平分线上；（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）18°
【分析】（1）先证明 再证明 可得 从而可得结论；
（2）利用等腰三角形的性质先求解，再求解，利用，求解，再利用三角形的外角的性质可得，从而可得答案．
【解析】证明：（1）∵，点是的中点，
∴，∴是的垂直平分线，∴，
∵是的垂直平分线，∴，
∴，∴点在的垂直平分线上．
（2）解：∵，点是的中点，∴平分，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．如图，在中，，，，垂足为点，平分交于点，交于点． 点为的中点，连接交于点．
（1）求的度数；（2）．
【答案】（1）67.5°；（2）见解析．
【分析】（1）由，可得，再利用三角形的内角和定理可得：从而可得答案；
（2）先证明≌，可得， 连接，由，点为的中点，证明垂直平分，再求解 证明 从而可得结论．
【解析】解：（1） ∵，∴
∵∴．
（2） ∵，为垂足，∴
∵，∴ ，
∴,∴，
又∵，平分，
∴， ∴，
, ∴,
在和中
∴≌，∴，
连接，∵，点为的中点，
∴垂直平分，
又∵点在上，∴，
平分， ∴,
∴,
又∵，∴，
∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
24．如图，在中，，，点为内一点，且，
(1)求证：；(2)，为延长线上的一点，且，
①求证：平分；②若点在上，且，试证明；
③若为直线上一点，且为等腰三角形，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析；③的度数为7.5°、15°、82.5°、150°
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）①易证，再证，得，即可解决问题；
②连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；
③分、、、点与点重合四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求解即可．
【解析】(1)证明：，，
垂直平分线段，．
(2)①证明：，，，
又，，，
在和中，，，
，，
，平分；
②解：，理由如下：如图1，连接，
，，为等边三角形，
，，，
，，
在和中，，
，，
，；
③解：如图2，分情况讨论：
、当时，，；
、当时，，；
、当时，；
、当点与点重合时，，；
综上所述：为等腰三角形时，的度数为或或或．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型
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专题2.5 逆命题和逆定理
模块一：知识清单
1、命题与逆命题，定理与逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
要点：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
2、线段垂直平分线定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
3、角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 道外区八年级期末）下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应八年级角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022 桥西区八年级期末）下列命题中的假命题是（ ）
A．当x＝y时，有x2＝y2 B．相等的角是对顶角
C．两直线平行，同位角相等 D．平行于同一条直线的两条直线平行
3．（2022 江宁区八年级月考）下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022 越秀区八年级期中）下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．两条直线平行，同旁内角互补
B．全等三角形的对应边相等
C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
5．（2022 锦江区八年级期中）已知下列命题：①四边形是多边形；②对顶角相等；③两直线平行，内错角相等；④如果ab＝0，那么a＝0，b＝0；则原命题和逆命题均为真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022 杭州市八年级期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
7．（2022 成都市八年级期末）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在的角平分线上；②点P在的平分线上；③点P在的平分线上；④点P在，，的平分线的交点上．
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）
结论①；结论②．
A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确
10．（2022 江汉区八年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠AFO的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 埇桥区期末）“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ．
12．（2022 定西期末）把命题“实数是无理数”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
13．（2022 龙山县期末）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应角相等．写出成立的逆命题： ．
14．（2022 江都区期末）命题：“任意两个负数之和是负数”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．
15．（2022 南海区期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AC边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，且CD平分∠ACB，则∠A的度数等于 ．
16．（2022 杭州八年级期末）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线
则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．
17．（2022 沙坪坝区校级期末）如图，△ABC中，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，DE、FG相交于M点，连接FA、EA，若∠BAC＝80°，求∠EAF＝ ．
18．（2022 莱芜区八年级期末）P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为_____．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 贺兰县八年级期中）写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
20．（2022 浙江八年级期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，求证：AD垂直平分EF．
21．（2022 高州市八年级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．
22．（2022 重庆市八年级期末）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
（1）求证：点在的垂直平分线上；（2）若，求的度数．
23．如图，在中，，，，垂足为点，平分交于点，交于点． 点为的中点，连接交于点．
（1）求的度数；（2）．
24．如图，在中，，，点为内一点，且，
(1)求证：；(2)，为延长线上的一点，且，
①求证：平分；②若点在上，且，试证明；
③若为直线上一点，且为等腰三角形，直接写出的度数．
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