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专题2.6 直角三角形
模块一：知识清单
1、直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
2、直角三角形的性质
1）直角三角形的两个锐角互余；2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.
3、直角三角形判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 毕节市八年级期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【思路点拨】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C＝90°，再结合∠B﹣∠C＝30°计算出∠B的度数即可．
【答案】解：∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B﹣∠C＝30°，∴∠B＝60°，故选：D．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
2．（2022 平谷区九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30°
【思路点拨】根据垂直得出∠ADC＝∠BDC＝90°，再根据直角三角形的性质逐个判断即可．
【答案】解：A．∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，故本选项不符合题意；
B．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，故本选项不符合题意；
C．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠2+∠4＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠4，故本选项不符合题意；
D．根据已知条件不能推出∠1＝30°，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了垂直定义和直角三角形的性质，注意：直角三角形的两锐角互余．
3．（2022 锦江区八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，作AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE＝3，则BD的长度是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠A＝30°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠BCD，根据角平分线的定义证明结论．
【解析】∵DE是AC边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝30°，
∵∠B＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°，∴∠BCD＝∠ACD，
∴CD平分∠BCA．∴BD＝DE，∵DE＝3，∴BD＝3．故选：A．
4．（2022 中原区八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【思路点拨】由线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质以及三角形的面积公式即可得到结论．
【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，
∵∠ACE＝90°，AC＝2，∴AE＝BE＝2AC＝4，
∴S△ABE＝BE AC＝，故选：A．
【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质，三角形的面积公式，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．（2022 新城区八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【思路点拨】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可．
【答案】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE＝BD＝
同理可得，CF＝，∴BE+CF＝＝5，故选：A．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出CF和BE的长是解此题的关键．
6．（2022 夏津县八年级期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
【思路点拨】过P作PD⊥OB于D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出MD，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，再求出答案即可．
【答案】解：过P作PD⊥OB于D，
∵PM＝PN，MN＝2cm，∴MD＝ND＝1（cm），
∵PD⊥OB，∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP，
∵OP＝8cm，∴OD＝4（cm），∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），故选：B．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．
7．（2022 怀化八年级期末）如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．△ADC与△BCD的面积相等
【分析】根据CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB，可以得到AD、BD和CD的关系，从而可以判断A是否正确，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到∠ACB的度数，从而可以得到∠ACB的度数，即可判断C是否正确，最后根据三角形面积的求法，可以判断D是否正确；对于∠A，由题目中的条件，无法判断角的度数，从而可以判断B是否正确．
【解析】∵CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB，
∴AD＝BD＝CD，故选项A正确，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，
即∠ACB＝90°，故选项C正确；
∵AD＝BD，∴△ADC与△BCD是等底同高的两个三角形，
∴△ADC与△BCD的面积相等，故选项D正确；
无法判断∠A的度数，故选项B错误；故选：B．
8．（2022 大渡口区八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD C．AD＝BD D．∠ACD=∠BDC
【分析】根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的外角性质判断D．
【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；
BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；
∵∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝BD，C选项结论正确，不符合题意；
∵∠A＝∠ACD，∴∠BDC＝∠A＝∠ACD＝2∠ACD，
∴∠ACD=∠BDC，D选项结论正确，不符合题意．故选：B．
9．（2022 崇川区八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】由角平分线的性质推出∠CBD＝∠DBA＝30°，然后在Rt△BCD中，CE=BD，即可求出CE的长度．
【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∵BC＝，∴CD＝2∴BD＝2CD＝4，
∵E点是BD的中点，∴CE=BD＝2．故选：B．
10．（2022 重庆八年级期末）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】连接并延长交延长线于，利用证明，得，由为定直线，为定值，则时，最小，从而解决问题．
【解析】解：连接并延长交延长线于，
，，
，
，
，
，，
，
，
为定直线，为定值，
当在直线上运动时，也在定直线上运动，
当时，最小，
，
，
当与重合时，最小，在中，，，
，，
的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，求出点的运动路径是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 南海区八年级模拟）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 ．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
【解析】∵直角三角形的一个锐角为15°，
∴另一个锐角＝90°﹣15°＝75°，故答案为：75°．
12．（2022 金华八年级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAB＝1：3，则∠B＝ ．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，求出∠B＝∠BAD，设∠BAD＝x°，∠CAB＝3x°，∠B＝x°，根据直角三角形的性质得出x+3x+x＝90，求出x即可．
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，
设∠BAD＝x°，∠CAB＝3x°，∴∠B＝x°，
∵∠C＝90°，∴∠CAD+∠BAD+∠B＝90°，
∴3x+x＝90，解得：x＝22.5，∴∠B＝22.5°，故答案为：22.5°．
13．（2022 奉贤区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝ ．
【分析】根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得出∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°，求出∠ACD＝∠B，再求出答案即可．
【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，
∵∠B＝52°，∴∠ACD＝52°，故答案为：52°．
14．（2022 丹阳市八年级期末）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，5cm，则它的面积是 cm2．
【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【答案】解：∵直角三角形斜边上中线长5cm，
∴斜边＝2×5＝10cm，∴面积＝×10×4＝20cm2．故答案为：20．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的面积，熟记性质求出斜边的长度是解题的关键．
15．（2021 包河区三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝ 度．
【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AO＝AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，于是得到结论．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，
∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴CO＝BO＝AO＝AB，
∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，∴AC＝OC＝CE，
∴∠COE＝∠CEO＝（180°﹣30°）＝75°，故答案为：75．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
16．（2022 武汉八年级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段BD上一点，且AC＝CE，若∠DCE＝30°，则∠B的度数为 ．
【思路点拨】根据直角三角形斜边的中线的性质推出CD＝AD＝BD，由等腰三角形的性质推出∠DCB＝∠B，∠CEA＝∠A，由三角形外角的性质推出∠CEA＝∠BCE+∠B，进而得到∠A＝2∠B﹣30°，再根据直角三角形的性质即可求出∠B．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，∠A+∠B＝90°，∴∠DCB＝∠B，
∵∠DCE＝30°，∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝∠B﹣30°，
∵AC＝CE，∴∠CEA＝∠A，∵∠CEA＝∠BCE+∠B，
∴∠A＝∠B﹣30°+∠B＝2∠B﹣30°，∴2∠B﹣30°+∠B＝90°，
∴∠B＝40°，故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由直角三角形斜边的中线的性质和等腰三角形的性质推出∠DCB＝∠B是解决问题的关键．
17．（2022 本溪八年级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为 ．
【思路点拨】连接DE，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DE＝BE＝AC，DE＝AE，AE＝BE，求出∠ADE＝∠DAC＝45°，∠BAC＝∠EBA＝30°，再求出答案即可．
【答案】解：连接DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DE＝AC，BE＝AC，AE＝CE＝DE，AE＝BE＝CE，∴DE＝BE，
∵∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠DAC＝90°，∠BEC＝∠BAC+∠EBA＝60°，
∴∠DBE＝∠EDB＝（180°﹣∠DEB）＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，故答案为：15°．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18．（2022 浙江八年级期中）如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则________．
【答案】120°##120度
【分析】取AB的中点F，连接CF，DF，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得出∠CFD＝60°，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数．
【解析】解：取AB的中点F，连接CF，DF，如图所示：
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴CF＝DF=，
又∵CD＝m，AB＝2m，
∴CD＝AB，
∴CF＝DF＝CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
∴∠AFC＋∠BFD＝120°，
∵CF＝BF，AF＝DF，
∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，
即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，
∴∠ABE＋∠BAE＝∠BFD＋∠AFC
＝（∠BFD＋∠AFC）
＝×120°
＝60°，
∴△ABE中，∠AEB＝180° 60°＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 山东八年级月考）已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC于A，交BC于D．求证：CD=2AB．
【答案】答案见解析
【分析】取CD的中点E，连接AE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE=CD，根据等边对等角可得∠C=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEB=2∠C=∠B，根据等角对等边可得AE=AB，即可得证．
【解析】如图，取CD的中点E，连接AE，
∵AD⊥AC，∴AE=CE=CD，
∴∠C=∠CAE，∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，
∴AE=AB，∴AB=CD，∴CD=2AB．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线利用性质并构造出等腰三角形是解题的关键．
20．（2022 浙江八年级月考）如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：DE =DF．
【答案】答案见解析
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利用三角形中位线定理推出F点是线段AC的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论．
【解析】∵AB= AC，D是BC的中点，∠BAC =30°，
∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC，
∵DF∥AB，且D是BC的中点，
∴F点是线段AC的中点，∴DF=AC，
取AB的中点G，连接DG，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG=AC= DF，∠DGB =∠BAC =30°，
∵DE⊥AB，∴∠GED=90°，
在Rt△DEG中，∠DGE=30°，∴DE=DG =DF．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°是解题的关键．
21．（2022 河南八年级期中）如图，已知在△ABC中，高AD、BE交于点H，G、F分别是BH、AC的中点，∠ABC=45° ，GD=5cm，求DF的长度．
【答案】5 cm
【分析】根据斜边上的中线等于斜边一半的性质即可证明DG=BG，DF=AF，可得∠GDB=∠FDA，进而可以求证△BDG≌△ADF，即可求得DG=DF，即可解题．
【解析】∵G、F分别是BH和AC的中点，AD⊥CD，
∴DG=BH=BG，DF=AC=AF，
∴∠GBD=∠GDB，∠FAD=∠FDA，
∵∠C=∠C，AD⊥CD，CE⊥BE，
∴∠CBE=∠CAD，∴∠GDB=∠FDA，
∵∠ABC=45° ，AD⊥BD，∴BD=AD，
在△BGD和△AFD中，，
∴△BGD≌△AFD，（ASA）∴DG=DF．
∵GD=5cm，∴DF=5cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，本题中求证△BGD≌△AFD是解题的关键．
22．（2022 兴化市八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．
【解答】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠DCB＝50°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE∠CAB＝25°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠CEF＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE．
23．（2022 成都八年级期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠ACD＝∠EDC，即可求得∠ACD＝∠EDC，进而可求解；
（2）由直角三角形的性质可求解∠AEF＝60°，由平行线的性质可求解∠AED的度数，进而可求解．
【解析】（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EC＝ED，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC；
（2）∵EF⊥AB，∠A＝30°，
∴∠AEF＝60°，
∵∠ACB＝80°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝80°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝80°﹣60°＝20°．
24．（2022 阜宁县八年级期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
【思路点拨】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论；
（3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论．
【答案】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC
＝2（180°﹣∠BAC）
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）
＝2∠BAC﹣180°．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
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专题2.6 直角三角形
模块一：知识清单
1、直角三角形的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.
要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.
2、直角三角形的性质
1）直角三角形的两个锐角互余；2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3）含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半.
3、直角三角形判定：两个角互余的三角形是直角三角形.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 毕节市八年级期末）若△ABC中，∠A＝90°，且∠B﹣∠C＝30°，那么∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．（2022 平谷区九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝90° B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝30°
3．（2022 锦江区八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，作AC的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE＝3，则BD的长度是（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．（2022 中原区八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC＝2，则S△ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（2022 新城区八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2022 夏津县八年级期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
7．（2022 怀化八年级期末）如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．∠A＝30° C．∠ACB＝90° D．△ADC与△BCD的面积相等
8．（2022 大渡口区八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠DCB＝∠B B．BC＝BD C．AD＝BD D．∠ACD=∠BDC
9．（2022 崇川区八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．（2022 重庆八年级期末）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝4，点D为直线AB上一动点，以线段CD为腰在右侧作等腰△CDE，且∠DCE＝120°，连接AE，则AE的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 南海区八年级模拟）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 ．
12．（2022 金华八年级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAB＝1：3，则∠B＝ ．
13．（2022 奉贤区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，∠B＝52°，那么∠ACD＝ ．
14．（2022 丹阳市八年级期末）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，5cm，则它的面积是
cm2．
15．（2021 包河区三模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝ 度．
16．（2022 武汉八年级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段BD上一点，且AC＝CE，若∠DCE＝30°，则∠B的度数为 ．
17．（2022 本溪八年级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为 ．
18．（2022 浙江八年级期中）如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 山东八年级月考）已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC于A，交BC于D．求证：CD=2AB．
20．（2022 浙江八年级月考）如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：DE =DF．
21．（2022 河南八年级期中）如图，已知在△ABC中，高AD、BE交于点H，G、F分别是BH、AC的中点，∠ABC=45° ，GD=5cm，求DF的长度．
22．（2022 兴化市八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
23．（2022 成都八年级期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．
24．（2022 阜宁县八年级期中）如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
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