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专题2.8 直角三角形全等的判定
模块一：知识清单
1、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 郫都区期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
【思路点拨】由“HL”可证Rt△ABD和Rt△CDB．
【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本题的关键．
2．（2022 竞秀区期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
【思路点拨】图形中已有条件AB＝AB，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
【答案】解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
3．（2022 金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据直角三角形全等的判定方法逐条判定即可得到结论，
【答案】解：①两个锐角分别相等的的两个直角三角形不一定全等，故该说法错误；
②如图，已知：∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AM＝BM，DN＝EN，CM＝FN，
求证：△ABC≌△DEF，
证明：∵∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，CM＝FN，
∴Rt△BCM≌Rt△EFN（HL），
∴BM＝EN
∵AM＝BM，DN＝EN，
∴AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△EFN（SAS），
故一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等的说法正确；
③两对应边分别相等的两个直角三角形全等，如果是一个直角三角形的两条直角边和另一个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
④一个锐角和一条边分别对应相等的两个直角三角形不一定全等，如果一个直角三角形的一条直角边和另一个直角三角形的一条斜边相等，这两个直角三角形不全等，故该说法错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形判定方法是解决问题的关键．
4．（2022 和平区期末）如图Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，再添两个条件不能够全等的是（ ）
A．AB＝A′B′，BC＝B′C′ B．AC＝AC′，BC＝BC′
C．∠A＝∠A′，BC＝B′C′ D．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
【分析】解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形全等的判定方法，然后逐项分析即可得出答案．
【解析】A选项，AB＝A′B′，BC＝B′C′，
可利用HL判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
同理B选项，可利用SAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
C选项∠A＝∠A′，BC＝B′C′，可利用AAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，
D选项，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，只能证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
不能证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
故选：D．
5．（2022 富平县期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【思路点拨】根据∠C＝90°AD＝AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．
【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，
AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，
∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∵∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题．
6．（2022 龙华区期中）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
【思路点拨】首先利用直角三角形可得∠BCD得度数，再根据“HL“可得△BEC≌△CDB，进而得到∠BCD＝∠CBE，可得∠A．
【答案】解：∵BD是高，∠CBD＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形全等的判定和等腰三角形的性质，熟练的掌握全等的判定方法是解题关键．
7．（2022 沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【思路点拨】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【答案】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，
，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，作这类题的关键在于准确找到判定三角形全等的条件，也要熟练运用全等三角形的性质．
8．（2022 雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，AD平分∠BAC，MD⊥AB于点M，ND⊥AC的延长线于点N，已知MB＝4，则CN＝（ ）
A．5 B．2 C．4 D．4
【思路点拨】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD＝CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM＝DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM＝CN．
【答案】解：连接BD，如图：
∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∴DM＝DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．
9．（2022 鞍山期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ）
A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE
【思路点拨】根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，
∴DC＝DF，故A正确，
在Rt△DCE与Rt△DFB中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），
∴CE＝BF，故B错误，
在Rt△ADC与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），
∴AC＝AF，故C正确，
∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故D正确，
故选：B．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据HL证明直角三角形的全等解答．
10．（2022 湘西州模拟）如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1厘米，他把一个等腰直角三角板放ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC）在本子上，点A、B、C恰好都在横线上，则斜边AB的长度为（ ）
A．10 B．3 C．4 D．6
【思路点拨】过点A作AE⊥点C所在横线于点E，过点B作BF⊥点C所在横线于点F，易证△CAE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得出AE、CE的长度，在Rt△ACE中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用等腰直角三角形的性质可求出AB的长度．
【答案】解：过点A作AE⊥点C所在横线于点E，过点B作BF⊥点C所在横线于点F，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝CB．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF．
在△CAE和△BCF中，，
∴△CAE≌△BCF（AAS），
∴AE＝CF＝2，CE＝BF＝6．
在Rt△ACE中，AE＝2，CE＝6，∠AEC＝90°，
∴AC＝＝2，
∴AB＝AC＝4．故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，利用全等三角形的性质结合相邻两条横线的距离都是1厘米，找出AE，CE的长是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 新吴区期中）在△ABC中，AD⊥BC于D，要用“HL“证明Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是 ．
【思路点拨】利用HL定理可直接得到答案．
【答案】解：添加条件：AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
12．（2022 鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理 ．
【分析】根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△BFD．
【解答】∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）．
故答案为：HL．
13．（2022 滕州市校级月考）如图所示，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B、C作经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD＝1cm，CE＝4cm，则DE＝ cm．
【思路点拨】证明△ABD≌△ACE（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝AE＝1cm，AD＝CE＝4cm，则可得出答案．
【答案】解:∵BD⊥AD，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°,
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
在△ABD和△ACE中,
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD＝AE＝1cm，AD＝CE＝4cm，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3(cm)．
故答案为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
14．（2022 平谷区八年级期末）如图，，于点，于点，，若，则=____．
【答案】.
【分析】根据“HL”证明，可得∠BDE＝∠CFD＝40°，由∠EDF＝90° ∠BDE即可得．
【解析】解：∵FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BED＝∠FDC＝90°，
∵BE＝CD，BD＝CF，
∴（HL），
∴∠BDE＝∠CFD，
∵∠AFD＝140°，
∴∠DFC＝40°，
∴∠BDE＝40°，
∴∠EDF＝90° 40°＝50°，
故答案为50°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，
15．（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，满足BC＝BD，过点D做DE⊥AB交AC于点E．△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，DE＝4，则四边形BCED的面积为____．
【答案】48
【分析】连接BE，证明△BCE≌△BDE，得到DE=CE=4，再利用△ADE的周长为12，得到AC+AD=12，再根据△ABC的周长为36，求出BD=BC=12，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】连接BE，∵∠C＝90°，DE⊥AB，BC＝BD
又BE=BE∴Rt△BCE≌Rt△BDE∴DE=CE=4，DE=CE
∵△ADE的周长为12，∴AD+AE+DE=AD+AE+CE=12∴AC+AD=12，
∵△ABC的周长为36，∴AD+BD+BC+AC=36
又BC=BD∴BC=BD=12
∴四边形BCED的面积=2S△BCE=2××4×12=48故答案为：48．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线证明三角形全等．
16．（2022 成都市八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____________cm．
【答案】6
【分析】先利用证明，得出，又，将代入即可求出．
【解析】解：在与中，
，，
，
，，
，，．故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是利用面积公式得出等式．
17．（2022 重庆市八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．
【答案】13
【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证△AEC≌△AMC，得到AE＝AM．证明△ECD≌△MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．
【解析】解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠MAC，
∵CE⊥AD，CM⊥AB，
∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，
AC=AC，CE=CM，
∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），
∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，
，∴△EDC≌△MBC（AAS），
∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），故答案为：13．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．
18．（2022 西湖区校级期末）如图，AD为∠CAF的角平分线，BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确结论的序号有 ．
【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，利用“8字型”证明∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．
【答案】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF＝∠DCE，
∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∴∠DAE＝∠DCB，
∵∠DBC＝∠DCB，
∴∠DAE＝∠DBC，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．
【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝10；
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．
综上所述，当点P运动到线段AC中点时，△ABC与△QPA全等．
20．（2022 德江县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【思路点拨】（1）根据∠1＝∠2，得DE＝CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3＝∠4，从而得出∠4+∠5＝90°，则△CDE是直角三角形．
【答案】解：（1）全等，理由是：
∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3＝∠4，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△CDE是直角三角形．
【点睛】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．
21．（2022 萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．
【思路点拨】（1）证Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），得∠B＝∠C，即可得出AB＝AC；
（2）由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，再证Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），得∠ABO＝∠ACO，则∠ABC＝∠ACB，即可得出结论．
【答案】（1）说明如下：∵O为BC中点，∴BO＝CO，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
（2）解：AB＝AC，理由如下：
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°，
在Rt△OBE和Rt△OCF中，
，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），
∴∠ABO＝∠ACO，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（2022 河南八年级期末）如图所示，点E，F在BC上且．
(1)求证：；(2)若PO平分，则PO与线段BC有什么关系 为什么
【答案】(1)见详解
(2)PO垂直平分BC；理由见详解
【分析】（1）根据已知条件证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出结论；
（2）根据Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF为等腰三角形，又因为PO平分∠EPF，根据三线合一可知PO垂直平分EF，从而得出PO垂直平分BC．
【解析】(1)证明：∵BE＝CF，BC＝CB，∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
∵
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴；
(2)解：PO垂直平分BC，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠E＝∠F，
∴△PEF为等腰三角形，
又∵PO平分∠EPF，
∴PO⊥BC（三线合一），EO＝FO（三线合一），
又∵EB＝FC，
∴BO＝CO，
∴PO垂直平分BC．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及性质、垂直平分线的判定、等腰三角形的性质，角平分线的性质，难度不大，但综合性较强，考验了学生综合分析问题的能力．
23．（2022 兖州区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，证明：AB＝FA+BD；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出AB，FA，BD三者之间数量关系．
【思路点拨】（1）易证∠FBA＝∠FCE，结合条件容易证到△FAB≌△DAC，从而有FA＝DA，就可得到AB＝AD+BD＝FA+BD．
（2）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．
【答案】证明：（1）∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°，
∴∠FBA＝∠FCE，
∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，
∴∠FAB＝∠DAC，
在△FAB和△DAC中，
，
∴△FAB≌△DAC（ASA），
∴FA＝DA，
∴AB＝AD+BD＝FA+BD，
∴BD＝AB﹣AF；
（2）解：（1）中的结论不成立．
点D在AB的延长线上时，AB＝AF﹣BD；点D在AB的反向延长线上时，AB＝BD﹣AF．
理由如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图2．
同理可得：FA＝DA．
则AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD．
②点D在AB的反向延长线上时，如图3．
同理可得：FA＝DA．
则AB＝BD﹣AD＝BD﹣AF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题
24．（2022 沧州八年级期末）如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．
(1)求证：①平分；②．
(2)如图②，若，，．求的度数．
【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)90°
【分析】（1）①利用平行线的性质得∠C=∠CDE，，再根据等腰三角形的性质得∠C=∠CDB，则可得∠CDB=∠CDE，即可得出结论；
②过点F作FH⊥BD，交BD延长线于H，证明Rt△FHD≌Rt△FGD（HL），DH=DG，不规则证明Rt△FHB≌Rt△FGA（HL），得BH=AG，又因为BD=BC，即可由AG=BH=BD+DH=BC+DG得出结论；
（2）先由勾股定理逆定理得出∠ABD=90°，过点F作FM⊥AB于M，交AD于N，证明∠FAG=∠AFN，∠MFD=∠FDG，再由∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°，即可得出2∠AFD=180°，即可求解．
【解析】(1)解：①∵ADBC，
∴∠C=∠CDE，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB，
∴∠CDB=∠CDE，
∴DC平分；
②如图，过点F作FH⊥BD，交BD延长线于H，
∵∠FDG=∠CDE，∠FDH=∠CDB，∠EDC=∠CDB，
∴∠FDG=∠FDH，
∵FG⊥AE，FH⊥BD，
∴FH=FG，∠H=∠FGD=∠AGF=90°,
∵FD=FD，
∴Rt△FHD≌Rt△FGD（HL）
∴DH=DG，
∵，
∴FB=FA，
∴Rt△FHB≌Rt△FGA（HL）
∴BH=AG，
∵BD=BC，
∴AG=BH=BD+DH=BC+DG，
即AG=BC+DG；
(2)解：∵AB=4，BC=3，DG=1，
∴BD=BC=3，AG=BC+DG=3+1=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∵AB2+BD2=42+32=52=AD2，
∴∠ABD=90°，
过点F作FM⊥AB于M，交AD于N，如图，
则∠AMF=∠BMF=90°=∠ABD，
∴FMBD，
∴∠BFM=∠FBD，
∵，
∴FB=FA，
∴AM=AB=2，∠AFM=∠BFM，
∴∠AFM=∠FBD，
由（1）②知，Rt△FHB≌Rt△FGA，
∴∠FAG=∠FBD，
∴∠FAG=∠AFN，
∵FMBD，
∴∠MFD=∠BDC，
∵∠BDC=∠CDE=∠FDG，
∴∠MFD=∠FDG，
∴∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°，
∴2∠AFM+2∠DFN=180°，
∴2∠AFD=180°，
∴∠AFD=90°．
【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，本题属三角形题目，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键
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专题2.8 直角三角形全等的判定
模块一：知识清单
1、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022 郫都区期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
2．（2022 竞秀区期末）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
3．（2022 金水区校级月考）下列说法正确的有（ ）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；
③两边分别相等的两个直角三角形全等；
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022 和平区期末）如图Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，再添两个条件不能够全等的是（ ）
A．AB＝A′B′，BC＝B′C′ B．AC＝AC′，BC＝BC′
C．∠A＝∠A′，BC＝B′C′ D．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
5．（2022 富平县期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
6．（2022 龙华区期中）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．70°
7．（2022 沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（2022 雁塔区校级四模）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，AD平分∠BAC，MD⊥AB于点M，ND⊥AC的延长线于点N，已知MB＝4，则CN＝（ ）
A．5 B．2 C．4 D．4
9．（2022 鞍山期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ）
A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE
10．（2022 湘西州模拟）如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1厘米，他把一个等腰直角三角板放ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC）在本子上，点A、B、C恰好都在横线上，则斜边AB的长度为（ ）
A．10 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 新吴区期中）在△ABC中，AD⊥BC于D，要用“HL“证明Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是 ．
12．（2022 鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理 ．
13．（2022 滕州市校级月考）如图所示，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过B、C作经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD＝1cm，CE＝4cm，则DE＝ cm．
14．（2022 平谷区八年级期末）如图，，于点，于点，，若，则=____．
15．（2022 浙江八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，满足BC＝BD，过点D做DE⊥AB交AC于点E．△ABC的周长为36，△ADE的周长为12，DE＝4，则四边形BCED的面积为____．
16．（2022 成都市八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝____________cm．
17．（2022 重庆市八年级期中）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．
18．（2022 西湖区校级期末）如图，AD为∠CAF的角平分线，BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确结论的序号有 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
20．（2022 德江县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
21．（2022 萧山区月考）如图，在△ABC中，OE⊥AB与点E，OF⊥AC与点F，且OE＝OF．
（1）如图①，当O为BC中点时，试说明AB＝AC；
（2）如图②，当点O在△ABC内部，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．
22．（2022 河南八年级期末）如图所示，点E，F在BC上且．
(1)求证：；(2)若PO平分，则PO与线段BC有什么关系 为什么
23．（2022 兖州区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD交CD所在的直线于点E，交直线AC于F．
（1）点D在边AB上时，证明：AB＝FA+BD；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出AB，FA，BD三者之间数量关系．
24．（2022 沧州八年级期末）如图①，是四边形的一个外角，//，，点在的延长线上，，，垂足为．
(1)求证：①平分；②．
(2)如图②，若，，．求的度数．
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