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专题2.2 简单事件的概率
模块一：知识清单
1.概率：我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）。
2.概率的范围（0≤P≤1）：P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1
3.概率的计算公式：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=.
4.常用的列举法求概率有两种：列表法和画树状图法.
1）列表法:当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2）画树状图法:当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
5.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，判断所有结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解析】任意摸一个球，共有8种结果，任意摸出一个球是红球的有3种结果，因而从中任意摸出一个球是红球的概率是．
故选：C．
2．（2021春 沙坪坝区校级期末）如图，在数轴上A点表示的数是﹣3，B点表示的数是2，在线段AB上任取一点C，则点C到原点的距离不小于1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据概率公式直接求解即可．
【答案】解：∵数轴上A点表示的数是﹣3，B点表示的数是2，共有5段，其中点C到原点的距离不小于1的有3段，∴点C到原点的距离不小于1的概率是．故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
3．（2021·浙江湖州市·九年级二模）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据题意得到共有6种等可能性，根据概率公式即可求解．
【解析】由题意得，抛掷骰子，朝上的一面点数共有六种等可能性，分别为1，2，3，4，5，6，其中点数为奇数的共有3种等可能性，
∴朝上的面的点数为奇数的概率是．故选：C
4．（2022·浙江宁波市·九年级模拟）从一盒写有“鲜肉3只、蛋黄2只、豆沙2只、排骨3只”的端午粽子（所有粽子的形状大小都一样）礼盒中，随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】蛋黄2只，一共10只，根据概率公式计算即可．
【解析】一共有3+2+2+3=10只，蛋黄有2只，
所以随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是2÷10=，故选：D．
5．（2022 沙重庆九年级期末）在一个不透明的盒子中装有18个除颜色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黄色和红色三种颜色，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，为黄球的概率是，则红球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【思路点拨】用球的总个数分别乘以摸出白球和黄球的概率求出其数量，再用总个数减去白球、黄球的个数即可得出答案．
【答案】解：根据题意知，白色球的个数为18×＝6（个），黄色球的个数为18×＝9（个），
所以红色球的个数为18﹣6﹣9＝3（个），故选：A．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
6．（2022·温州九年级二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知AB在网格格点上，在所有的16个格点中任选一点C，恰好能使点A，B，C构成面积为1的三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】由在格点中任意放置点C，共有16种等可能的结果，恰好能使△ABC的面积为1的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【答案】解：∵在格点中任意放置点C，共有16种等可能的结果，恰好能使△ABC的面积为1的有4种情况，∴恰好能使△ABC的面积为1的概率为：＝．故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（2022·浙江宁波市·九年级模拟）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，再由概率公式求解即可．
【答案】解：画树状图如图：
，
共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
8．（2022 新洲区模拟）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【答案】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两人的概率为＝，故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（2022 渝中区校级期末）从﹣1、0、1、2、3中任取一个数作为a，既要使关于x的一元二次方程x2+2x﹣2a＝0有实数根，又要使关于x的分式方程＝2有正数解，则符合条件的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】先利用判别式的意义得到：Δ＝4+8a≥0，再解把分式方程化为整式方程得到x＝2﹣a，利用分式方程有正数解可得到关于a的不等式组，则可求得a的取值范围，则可求得满足条件的整数a的个数．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣2a＝0有实数根，
∴Δ＝4+8a≥0，解得：a≥，
分式方程＝2，去分母得x+a﹣2a＝2（x﹣1），解得x＝2﹣a，
∵分式方程＝2有正数解，∴2﹣a＞0且2﹣a≠1，解得a＜2且a≠1，
∴a的范围为≤a＜2且a≠1，
∴从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，符合条件的整数a的值是0，即符合条件的a只有1个，故符合条件的概率是．故选：A．
【点睛】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得a的取值范围注意分式方程分母不为0是解题的关键．
10．（2022 门头沟区二模）如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论．
【答案】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘，
∴指针落在每个数字上的可能性是相同的．
依据题意列树状图如下：
∵从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在奇数上的可能有6种，
∴指针都落在奇数上的概率是：．故选：B．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．选择合适的方法正确找出所有的等可能是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·浙江中考真题）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是_____．
【答案】
【分析】用一等奖、二等奖的数量除以奖券的总个数即可．
【解析】∵有1000张奖券，设一等奖5个，二等奖15个，
∴一张奖券中奖概率为，故只抽1张奖券恰好中奖的概率是，故答案为：．
12．（2022·浙江杭州市·九年级二模）如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成黑色，则使整个涂黑部分为轴对称图形的概率是 ．
【思路点拨】利用轴对称图形的定义找出使整个涂黑部分为轴对称图形的小方格的个数，然后根据概率公式计算．
【答案】解：根据题意，从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成黑色，使整个涂黑部分为轴对称图形，这样的小方格有3个，如图，
所以使整个涂黑部分为轴对称图形的概率＝．故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式：某事件的概率＝某事件所占的结果数除以所有结果数．也考查了轴对称图形．
13．（2022·浙江宁波市·九年级一模）小明的爸爸妈妈各有2把钥匙，可以分别打开单元门和家门，小明随机从爸爸和妈妈的包里各拿出一把钥匙，恰好能打开单元门和家门的概率 ．
【思路点拨】设单元门的钥匙为A1、A2，家门钥匙为B1、B2，画树状图展示所有可能的结果数，再找到能打开两道门的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【答案】解：设单元门的钥匙为A1、A2，家门钥匙为B1、B2，画树状图为：
共有4种可能的结果数，其中恰好能打开单元门和家门的结果数为2，
所以恰好能打开单元门和家门的概率＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
14．（2022·浙江九年级期末）抽检1000件衬衣，其中不合格的衬衣有5件，由此估计抽检1件衬衣合格的概率是________．
【答案】99.5%
【分析】利用合格的衬衣数除以总数即可得解．
【解析】∵合格的衬衣有1000-5=995（件），共1000件衬衣，
∴抽检一件衬衣合格的概率为，
故答案为：99.5%．
15．（2022·浙江九年级期末）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则_________．
【答案】4
【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解析】由题意知：，解得n=4，故答案为：4．
16．（2022 砀山县期末）长度为1cm、2cm、3cm和4cm的4根木棒，从中任取三根木棒能够组成三角形的概率是 ．
【思路点拨】画树状图，共有24种等可能的结果，从中任取三根木棒能够组成三角形的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【答案】解：画树状图如图：
共有24种等可能的结果，从中任取三根木棒能够组成三角形的结果有6种，
∴从中任取三根木棒能够组成三角形的概率为＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2022 九龙坡区模拟）现将背面完全相同，正面分别标有数﹣1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的三张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则P（m，n）在第四象限的概率为 ．
【思路点拨】画树状图，共有12种等可能的结果，P（m，n）在第四象限的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【答案】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，P（m，n）在第四象限的结果有3种，
∴P（m，n）在第四象限的概率为＝，故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（2021 嘉定区三模）在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ．
【思路点拨】画树状图，共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况，再由概率公式求解即可．
【答案】解：三个开关分别用S1，S2，S3表示，根据题意画树状图得：
共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况，
则有一个灯泡发光的概率是＝．故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 江都区二模）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【思路点拨】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【答案】解：（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”结果有2个，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”概率为＝．
【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（2022·江苏泰州市·九年级模拟）一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的2倍多40个．
（1）求袋中红球的个数；在“①从袋中任取一个球是白球的概率是”，“②从袋中任取一个球是黑球的概率是”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【答案】（1）200；（2）
【分析】（1）根据题意设黑球的个数为x，则分别表示出红球和白球的个数，从而结合概率公式求解即可；
（2）在（1）得出的结论基础之上结合概率公式求解即可．
【解析】（1）设黑球的个数为x，则红球的个数为，白球的个数为，
若选①，根据概率公式得：，
解得：，
∴红球个数为：；
若选②，根据概率公式得：，
解得：，
∴红球个数为：；
综上，红球的个数为200个；
（2）由（1）可知，袋子中有黑球80个，红球200个，白球10个，
∴从袋中任取一个球是黑球的概率．
21．（2022·杭州市·九年级期中）在一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同）．其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出1个小球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数．（2）甲同学先随机摸出1个小球（不放回），再随机摸出1个小球，请用树形图法求两次摸出都是红球的概率．（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸出后放回），乙同学在一次摸球游戏汇总，第一次摸到1个红球，第二次摸到1个蓝球，若再随机摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
【思路点拨】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得可得关于x的方程，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【答案】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝1，
经检验：x＝1是原分式方程的解；
∴口袋中黄球的个数为1个；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为：＝；
（3）∵摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，
∴乙同学已经得了7分，
∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（2022 湘潭九年级模拟）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【思路点拨】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【答案】解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，
∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确地画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（2022 浙江九年级模拟）有4张正面分别写有数字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记下为m，n，用列表或画树状图求点P（m，n）在第一象限的概率．
（2）随机抽取一张记下数字后（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次换取的数字记为m，n，用列表或树状图求点P（m，n）在第二象限的概率．
【思路点拨】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点P（m，n）在第一象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与点P（m，n）在第二象限的所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）画树状图如下：
由树状图知，共有16种等可能结果，其中在第一象限的有（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9种，
∴点P（m，n）在第一象限的概率为P1＝；
（2）画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中在第二象限的有（﹣2，2），（﹣2，4），（﹣2，6）共3种，∴点P（m，n）在第二象限的概率为P2＝＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．（2022 浙江九年级模拟）某校八年级有甲、乙、丙三个班级，开学初该年级转进来A，B两名新生，数学老师以此背景让同学们设计一个分班的方案，要求一个班级最多分到1名学生，且每个班级分到学生的概率一样．根据下面两名学生的方案，回答下列问题．
小红：“把甲、乙、丙三个班级分别写在反面空白，同样大小的3张白纸上，折好，在看不清楚里面字的情况下，让A，B两名学生随机各选一张”．
小明：在3张反面空白的白纸中，选2张分别写上A，B两名新生，折好，在看不清楚里面字的情况下，让甲，乙，丙三个班级的班主任随机各选一张．
(1)对于小红和小明的方案，下面判断正确的是（ ）
A．小红符合，小明不符合 B．小明符合，小红不符合
C．小红、小明都符合 D．小红和小明都不符合
(2)根据以上信息，请用树状图法或列表法，求甲班级没有分到学生的概率．
【答案】(1)C(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，即可求解．
【解析】(1)解：小红的方案：根据题意得：A，B两名学生每人只能选一个班级，且每人选的班级不相同，画出树状图，如下：
一共有6种等可能结果，其中甲班分到学生的有4种情况，乙班分到学生的有4种情况，丙班分到学生的有4种情况，
∴每个班级分到学生的概率均为，
∴小红的方案符合；
小明的方案：根据题意得：甲，乙，丙三个班级一个班级最多分到1名学生，
画出树状图，如下：
一共有6种等可能结果，其中甲班分到学生的有4种情况，乙班分到学生的有4种情况，丙班分到学生的有4种情况，∴每个班级分到学生的概率相同，∴小明的方案符合；故选：C
(2)解：小红的方案：画出树状图，如下：
，
一共有6种等可能结果，其中甲班级没有分到学生的有2种可能，
∴P（甲班级没有分到学生）；
小明的方案：画出树状图，如下：
一共有6种等可能结果，其中甲班级没有分到学生的有2种可能，
∴P（甲班级没有分到学生）．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
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专题2.2 简单事件的概率
模块一：知识清单
1.概率：我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）。
2.概率的范围（0≤P≤1）：P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1
3.概率的计算公式：如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=.
4.常用的列举法求概率有两种：列表法和画树状图法.
1）列表法:当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2）画树状图法:当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
5.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，判断所有结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m；
（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021春 沙坪坝区校级期末）如图，在数轴上A点表示的数是﹣3，B点表示的数是2，在线段AB上任取一点C，则点C到原点的距离不小于1的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江湖州市·九年级二模）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
4．（2022·浙江宁波市·九年级模拟）从一盒写有“鲜肉3只、蛋黄2只、豆沙2只、排骨3只”的端午粽子（所有粽子的形状大小都一样）礼盒中，随机取出一只粽子，正好是蛋黄粽子的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022 沙重庆九年级期末）在一个不透明的盒子中装有18个除颜色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黄色和红色三种颜色，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，为黄球的概率是，则红球的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
6．（2022·温州九年级二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知AB在网格格点上，在所有的16个格点中任选一点C，恰好能使点A，B，C构成面积为1的三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江宁波市·九年级模拟）小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022 新洲区模拟）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022 渝中区校级期末）从﹣1、0、1、2、3中任取一个数作为a，既要使关于x的一元二次方程x2+2x﹣2a＝0有实数根，又要使关于x的分式方程＝2有正数解，则符合条件的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022 门头沟区二模）如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2021·浙江中考真题）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是_____．
12．（2022·浙江杭州市·九年级二模）如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成黑色，则使整个涂黑部分为轴对称图形的概率是 ．
13．（2022·浙江宁波市·九年级一模）小明的爸爸妈妈各有2把钥匙，可以分别打开单元门和家门，小明随机从爸爸和妈妈的包里各拿出一把钥匙，恰好能打开单元门和家门的概率 ．
14．（2022·浙江九年级期末）抽检1000件衬衣，其中不合格的衬衣有5件，由此估计抽检1件衬衣合格的概率是________．
15．（2022·浙江九年级期末）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则_________．
16．（2022 砀山县期末）长度为1cm、2cm、3cm和4cm的4根木棒，从中任取三根木棒能够组成三角形的概率是 ．
17．（2022 九龙坡区模拟）现将背面完全相同，正面分别标有数﹣1，1，2，3的四张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的三张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则P（m，n）在第四象限的概率为 ．
18．（2021 嘉定区三模）在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 江都区二模）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物质、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
20．（2022·江苏泰州市·九年级模拟）一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的2倍多40个．
（1）求袋中红球的个数；在“①从袋中任取一个球是白球的概率是”，“②从袋中任取一个球是黑球的概率是”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
21．（2022·杭州市·九年级期中）在一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同）．其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出1个小球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数．（2）甲同学先随机摸出1个小球（不放回），再随机摸出1个小球，请用树形图法求两次摸出都是红球的概率．（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸出后放回），乙同学在一次摸球游戏汇总，第一次摸到1个红球，第二次摸到1个蓝球，若再随机摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．
22．（2022 湘潭九年级模拟）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
23．（2022 浙江九年级模拟）有4张正面分别写有数字﹣2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记下为m，n，用列表或画树状图求点P（m，n）在第一象限的概率．
（2）随机抽取一张记下数字后（不放回），再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次换取的数字记为m，n，用列表或树状图求点P（m，n）在第二象限的概率．
24．（2022 浙江九年级模拟）某校八年级有甲、乙、丙三个班级，开学初该年级转进来A，B两名新生，数学老师以此背景让同学们设计一个分班的方案，要求一个班级最多分到1名学生，且每个班级分到学生的概率一样．根据下面两名学生的方案，回答下列问题．
小红：“把甲、乙、丙三个班级分别写在反面空白，同样大小的3张白纸上，折好，在看不清楚里面字的情况下，让A，B两名学生随机各选一张”．
小明：在3张反面空白的白纸中，选2张分别写上A，B两名新生，折好，在看不清楚里面字的情况下，让甲，乙，丙三个班级的班主任随机各选一张．
(1)对于小红和小明的方案，下面判断正确的是（ ）
A．小红符合，小明不符合 B．小明符合，小红不符合
C．小红、小明都符合 D．小红和小明都不符合
(2)根据以上信息，请用树状图法或列表法，求甲班级没有分到学生的概率．
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