中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.3 用频率估计概率
模块一：知识清单
1、频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3、利用频率估计概率：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江金华市·九年级期中）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（ ）
投篮数（次） 50 100 150 200 …
进球数（次） 40 81 118 160 …
A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进
C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100%
【答案】D
【分析】根据概率的知识点判断即可；
【解析】小亮每投10个球，不一定有8个球进，故错误；
小亮投球前8个进，第9、10个不一定不进，故错误；
小亮比赛中的投球命中率可能为80%，故错误；
小亮比赛中投球命中率可能为100%，故正确；故答案选D．
2．（2022·浙江九年级月考）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在80%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解析】由题意可得，×100%=80%，解得，a=12．故选：B．
3．（2022 天桥区期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【思路点拨】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【答案】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
4．（2020 盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【思路点拨】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【答案】解：样本中身高不低于170cm的频率＝＝0.68，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
5．（2021·浙江绍兴市·九年级一模）如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
【答案】C
【分析】由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，从而可得出现红球的概率，再利用概率公式求解红球的数量即可得到答案．
【解析】由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，
所以出现红球的概率是 则袋中红球的数量为：
所以袋中红色球的数目为个，故选：
6．（2022·浙江杭州市·九年级期末）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（ ）
组别（cm） x≤160 160180
人数 15 42 38 5
A．28500 B．17100 C．10800 D．1500
【答案】A
【分析】先计算出样本中身高不高于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【解析】样本中身高不高于的频率，
则全市3万名男生的身高不高于180cm的人数是，
故选：A．
7．（2022·浙江·九年级模拟）抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（ ）
A．25% B．50% C．75% D．33.3%
【答案】B
【分析】先计算出两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的概率，从而得到频率值的估计值．
【解析】抛掷两枚均匀的硬币，
可能出现：两个正面朝上、两个反面朝上、一个正面朝上一个反面朝上、一个反面朝上一个正面朝上共4种情况，
∴出现一个正面朝上一个反面朝上的概率为=50%，
即出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在50%，
故选B．
8．（2022 江西模拟）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【答案】解：A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，此选项说法错误；
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616，此选项说法正确；
C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，此选项说法错误；
D．试验得到的频率与概率可能相等，此选项说法错误；故选：B．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
9．（2021 连云港二模）在一个不透明的盒子里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a约是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【思路点拨】摸到红球的频率稳定在25%，即＝25%，即可解得a的值．
【答案】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴＝25%，解得：a＝16．故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
10．（2022 乐平市期末）黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面3个推断：①当n＝100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；③若n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为5700．其中正确的个数为（ ）
每批粒数n 30 60 100 500 1000 3000 5000
发芽的粒数m 28 58 97 479 957 2844 4752
发芽的频率 0.933 0.967 0.970 0.958 0.957 0.948 0.950
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.95，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
【答案】解：①当n＝100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；此推断错误；
②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；此推断正确；
③若n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为6000×0.95＝5700．此结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 长沙县期末）某产品的合格率如表所示，购买这样的产品，合格的概率是 ．（精确到0.01）
抽取的件数 5 10 100 200 500 800 1000 2000
合格产品数 5 8 88 175 451 729 909 1820
合格品的频率 1 0.8 0.88 0.875 0.902 0.911 0.909 0.910
【思路点拨】根据图表给出的合格品的频率即可得出答案．
【答案】解：从上面的数据可以看出合格频率稳定在0.91附近，
购买这样的产品，合格的概率是 0.91．
故答案为：0.91．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．熟记频率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
12．（2022 沭阳县期中）在“抛掷正方体骰子”的试验中，骰子的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ．
【思路点拨】随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率．
【答案】解：如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近．
故答案为：．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．
13．（2022·浙江九年级期中）一个不透明的箱子中装有大小形状完全相同的2个红球和3个黄球，从箱子中随机摸出一球，记下颜色并放回，大量重复该试验，则摸到黄球的频率会趋向稳定为_________．
【答案】
【分析】求出摸到黄球的概率，根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．
【解析】∵一共5个球，2个红球，3个黄球，
∴摸到黄球的概率为，
∴大量重复实验后，摸到黄球频率趋向稳定为，
故答案为．
14．（2022·温州市·九年级期中）一个不透明的口袋里有13个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有240次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有________个．
【答案】12
【分析】先计算出黄球频率，频率的值接近于概率，再计算黄球的概率．
【解析】黄球的概率近似为，
设袋中有x个黄球，则，
解得x=12，经检验：x=12是原方程的解，
答：估计袋中的黄球有12个，故答案为：12．
15．（2022·浙江九年级期末）在一个不透明的袋中有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入4个黑球（除颜色外其余都和红球相同）摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有_____个．
【答案】12
【分析】根据口袋中有4个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【解析】通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，口袋中有4个黑球，
∵假设有x个红球，
∴，解得：x=12，
经检验x=12是分式方程的解，
∴口袋中红球约有12个．故答案为：12．
16．（2022 东城区校级模拟）下列随机事件的概率：
①同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率；
②某作物的种子在一定条件下的发芽率；
③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率；
④投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率；
既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是 （只填写序号）．
【思路点拨】根据选项依次分析判断即可得到答案．
【答案】解：①同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得概率；
②某作物的种子在一定条件下的发芽率，只能用频率估计，不能用列举法；
③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率，只能用频率估计，不能用列举法；
④投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率，既可以用列举法求得又可以用频率估计获得概率，故答案为：①、④．
【点睛】此题考查列举法求概率，利用频率估计概率，正确理解事件概率的求法是解题的关键．
17．（2022 扬州）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解析】∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则0.6，解得S＝2.4（cm2）．
答：估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．故答案为：2.4．
18．（2022 海淀区校级模拟）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断的序号是 ．
【思路点拨】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【答案】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故本选项推理错误；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球20×0.35＝7（个），故本选项推理正确；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误．故答案为：②③．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·浙江嘉兴市·九年级期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 _______ 0.94 0.88 0.89 0.90 _______
（1）完成上表．
（2）估计任意抽一件衬衣是合格品的概率．
（3）估计出售1200件衬衣，其中次品大约有几件．
【答案】（1）见解析；（2）0.9；（3）120件
【分析】（1）根据频数除以总数=频率，分别求出即可；
（2）根据（1）中所求即可得出任取1件衬衣是合格品的概率；
（3）利用总数×（1-合格率）可得结果．
【解析】（1）88÷100=0.88，900÷1000=0.9，
填表如下：
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 0.88 0.94 0.88 0.89 0.90 0.9
（2）由（1）中所求即可得出：任取1件衬衣是合格品的概率为：0.9；
（3）1200×（1-0.9）=120件，∴次品大约有120件．
20．（2021·萧山区宁围初级中学）问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）” （1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
【答案】（1）小颖；（2）0.50；0.47；；（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次试验得出结果，而是要通过大量的重复试验得出事件发生的频率，从而去估计该事件发生的概率．
【分析】（1）要判断谁说的正确只要看他们说的情况有没有漏掉的即可．
（2）根据频率=所求情况数与总情况数之比，即可得出结果．
（3）在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
【解析】（1）“一正一反”实际上含有“一正一反，一反一正”二种情况，共四种，所以小颖的说法是正确的；故答案为：小颖；
（2）小明得到的“一正一反”的频率是50÷100=0.50，
小颖得到的“一正一反”的频率是47÷100=0.47，
据此，我得到“一正一反”的概率是；
（3）对概率的研究不能仅仅通过有限次实验得出结果，而是要通过大量的实验得出事物发生的频率去估计该事物发生的概率．我认为小聪与小颖的实验都是合理的，有效的．
21．（2022·浙江宁波市·）为弘扬我校核心文化——“坿”文化，积极培育学生“敢进取”的精神，我校举行一次数学探究实验. 在一个不透明的箱子里放有 个除颜色外其他完全相同的小球（数量不详），只知其中有5个红球.
（1）若先从箱子里拿走 个红球，这时从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”，则 的最大值为________.
（2）若在原来的箱子里再加入3个红球后进行摸球实验，每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在40%左右，你能估计 的值是多少吗？
【答案】（1）4；（2）17.
【分析】（1）由随机事件的定义，即可求出m的值；
（2）根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为40%，然后根据概率公式计算n的值即可；
【解析】（1）∵从盒子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”
∴不透明的盒子中至少有一个红球，
∴m的最大值=，故答案为：4；
（2）由题意得 解之得：n=17；
经检验，是原分式方程的解．
22．（2021 雁塔区校级模拟）刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近．
（1）估算袋中黄球的个数；（2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并搅匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率．
【思路点拨】（1）设袋子中黄球有x个，利用摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近估算出得到红球的频率列出关于x的分式方程，解之得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】解：（1）设袋子中黄球有x个，
根据从袋中摸出一个红球的概率大约是0.25可得＝0.25，
解得：x＝3，
经检验：x＝3时原分式方程的解，
∴估算袋中黄球的个数为3；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到黄球的有9种情况，
∴两次都摸出黄球的概率为．
【点睛】此题考查了模拟试验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（2022 竞秀区一模）嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2，3，4；琪琪拿了2个，也标上数字．他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀．琪琪说：“我标的数字是从3，4这两个数字中选择的（可重复）”．二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4．
（1）这5个小球上的数字的众数为 ．
（2）琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化，”
①琪琪摸出的小球上所标数字为 ．
②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个，放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率．
【思路点拨】（1）先根据多次摸球实验发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4得出标注数字3的球的个数，继而得出这5个数字，从而依据众数的概念得出答案；
（2）①根据原数据的中位数为3，如果去掉数字4，新数据的中位数是＝3可得答案；
②列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可．
【答案】解：（1）∵一共有5个小球，经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4，
∴标有数字3的小球的个数为5×0.4＝2，
则琪琪标注的两个数字分别为3、4，
∴这5个小球标注的数字分别为2、3、3、4、4，
∴这5个小球上的数字的众数为3和4，
故答案为：3、4；
（2）①∵琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化”，
∴琪琪摸出的小球上所标数字为4；
②列表如下：
2 3 3 4
2 （2，2） （3，2） （3，2） （4，2）
3 （2，3） （3，3） （3，3） （4，3）
3 （2，3） （3，3） （3，3） （4，3）
4 （2，4） （3，4） （3，4） （4，4）
由表可知，共有16种等可能结果，其中嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的有4种，
所以嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率为＝．
【点睛】此题考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（2022 仪征市期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004
摸到白球的频率 0.70 0.62 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有 只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是 ．
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”．
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5．
【思路点拨】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据黑球个数＝球的总数×得到的黑球的概率，即可得出答案；
（3）试验结果在0.67附近波动，即其概率P≈0.67，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案．
【答案】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.67，
故答案为：0.67；
（2）根据题意得：100×（1﹣0.67）＝33（只），
答：盒子里黑球有33只；故答案为：33；
（3）A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”的概率为＝＝0.5＜0.67，故此选项不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率为＝0.5，不符合题意；
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5的概率为≈0.67，符合题意；
所以某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是C，
故答案为：C．
【点睛】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.3 用频率估计概率
模块一：知识清单
1、频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点：（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3、利用频率估计概率：当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江金华市·九年级期中）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（ ）
投篮数（次） 50 100 150 200 …
进球数（次） 40 81 118 160 …
A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进
C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100%
2．（2022·浙江九年级月考）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
3．（2022 天桥区期末）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
4．（2020 盘锦）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高x/cm x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
5．（2021·浙江绍兴市·九年级一模）如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
6．（2022·浙江杭州市·九年级期末）为了解某市九年级男生的身高情况，随机抽取了该市100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，全市约有3万名男生，估计全市男生的身高不高于180cm的人数是（ ）
组别（cm） x≤160 160180
人数 15 42 38 5
A．28500 B．17100 C．10800 D．1500
7．（2022·浙江·九年级模拟）抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（ ）
A．25% B．50% C．75% D．33.3%
8．（2022 江西模拟）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
9．（2021 连云港二模）在一个不透明的盒子里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有4个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a约是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
10．（2022 乐平市期末）黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面3个推断：①当n＝100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；③若n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为5700．其中正确的个数为（ ）
每批粒数n 30 60 100 500 1000 3000 5000
发芽的粒数m 28 58 97 479 957 2844 4752
发芽的频率 0.933 0.967 0.970 0.958 0.957 0.948 0.950
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 长沙县期末）某产品的合格率如表所示，购买这样的产品，合格的概率是 ．（精确到0.01）
抽取的件数 5 10 100 200 500 800 1000 2000
合格产品数 5 8 88 175 451 729 909 1820
合格品的频率 1 0.8 0.88 0.875 0.902 0.911 0.909 0.910
12．（2022 沭阳县期中）在“抛掷正方体骰子”的试验中，骰子的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是 ．
13．（2022·浙江九年级期中）一个不透明的箱子中装有大小形状完全相同的2个红球和3个黄球，从箱子中随机摸出一球，记下颜色并放回，大量重复该试验，则摸到黄球的频率会趋向稳定为_________．
14．（2022·温州市·九年级期中）一个不透明的口袋里有13个黑球和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有240次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有________个．
15．（2022·浙江九年级期末）在一个不透明的袋中有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入4个黑球（除颜色外其余都和红球相同）摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有_____个．
16．（2022 东城区校级模拟）下列随机事件的概率：
①同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率；
②某作物的种子在一定条件下的发芽率；③抛一枚图钉，“钉尖向下”的概率；
④投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率；
既可以用列举法求得又可以用频率估计获得的是 （只填写序号）．
17．（2022 扬州）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
18．（2022 海淀区校级模拟）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断，所有合理推断的序号是 ．
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·浙江嘉兴市·九年级期末）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 88 141 176 445 720 900
合格频率 _______ 0.94 0.88 0.89 0.90 _______
（1）完成上表．（2）估计任意抽一件衬衣是合格品的概率．
（3）估计出售1200件衬衣，其中次品大约有几件．
20．（2021·萧山区宁围初级中学）问题情景：某校数学学习小组在讨论“随机掷两枚均匀的硬币，得到一正一反的概率是多少”时，小聪说：“随机掷两枚均匀的硬币，可以有二正、一正一反、二反三种情况，所以（一正一反)”小颖反驳道：“这里的一正一反实际上含有一正一反，一反一正这两种情况，所以（一正一反）” （1）________的说法是正确的．
（2）为验证二人的猜想是否正确，小聪与小颖各做了100次试验，得到如下数据：
二正 一正一反 二反
小聪 24 50 26
小颖 24 47 29
计算：小聪与小颖二人得到的“一正一反”的频率分别是多少？从他们的试验中，你能得到“一正一反”的概率是多少吗？（3）对概率的研究而言，小聪与小颖两位同学的试验说明了什么？
21．（2022·浙江宁波市·）为弘扬我校核心文化——“坿”文化，积极培育学生“敢进取”的精神，我校举行一次数学探究实验. 在一个不透明的箱子里放有 个除颜色外其他完全相同的小球（数量不详），只知其中有5个红球.
（1）若先从箱子里拿走 个红球，这时从箱子里随机摸出一个球是红球的事件为“随机事件”，则 的最大值为________.
（2）若在原来的箱子里再加入3个红球后进行摸球实验，每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子，通过大量重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在40%左右，你能估计 的值是多少吗？
22．（2021 雁塔区校级模拟）刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同，他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次试验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近．
（1）估算袋中黄球的个数；（2）在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并搅匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率．
23．（2022 竞秀区一模）嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5个完全相同的小球，嘉嘉拿了3个，在上面分别标上数字2，3，4；琪琪拿了2个，也标上数字．他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀．琪琪说：“我标的数字是从3，4这两个数字中选择的（可重复）”．二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3的频率稳定于0.4．（1）这5个小球上的数字的众数为 ．
（2）琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数字的中位数没有变化，”①琪琪摸出的小球上所标数字为 ．②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个，放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率．
24．（2022 仪征市期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共100只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 124 190 325 538 670 2004
摸到白球的频率 0.70 0.62 0.633 0.65 0.6725 0.670 0.668
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 ；（精确到0.01）
（2）试估算盒子里黑球有 只；
（3）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合这一结果的试验最有可能的是 ．
A．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”．
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”．
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于5．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
