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专题2.4 概率的简单应用
模块一：知识清单
人们在生活、生产和科学研究中，经常需要知道一些事件发生的可能性有多大。例如：买彩票时希望知道中奖的概率有多大；出门旅游时希望知道天气是否晴朗等。概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江九年级期末）气象台预报明天下雨的概率为，则下列理解正确的是（ ）
A．明天的地区不会下雨 B．明天下雨的可能性较大
C．明天的时间会下雨 D．明天下雨是必然事件
【答案】B
【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．
【详解】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．
【点睛】本题考查概率的意义理解，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
2．（2021·杭州市九年级期中）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【解析】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x，
故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为=．故选：B．
【点睛】本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（2022 蒙城县校级模拟）暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢
B．同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢
C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢
D．在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
【思路点拨】判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平，由此逐项分析即可．
【答案】解：A、掷一枚硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，概率相等可选，故此选项不符合题意；
B、画出树形图可知：两枚都正面向上的概率为，一正一反向上的概率为，概率不相等可选，故此选项符合题意；
C、掷一枚骰子，向上的一面是奇数和偶数的概率都为，概率相等，故此选项不符合题意；
D、在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球的概率为，是红球的概率为，概率相等，故此选项不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（2022·浙江杭州市·九年级）如图，的正方形网格中，在四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解析】在A，B，C，D四个点中任选三个点，有四种情况：
△ABC、△ABD、△ACD、△BCD，
其中能够组成等腰三角形的有△ACD、△BCD两种情况，
则能够组成等腰三角形的概率为，
故选A．
5．（2022·浙江宁波·九年级月考）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（ ）
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
D．第一次摸出的球是红球的概率是；两次摸出的球都是红球的概率是
【答案】A
【分析】根据摸出球的颜色可能出现的情形及概率依次分析即可得到答案.
【解析】A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故错误；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故正确；
C、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故正确；
D、第一次摸出的球是红球的概率是；
两次摸到球的情况共有（红，红），（红，绿1），（红，绿2），（绿1，红），（绿1，绿1），（绿1，绿2），（绿2，红），（绿2，绿1），（绿2，绿2）9种等可能的情况，两次摸出的球都是红球的有1种，∴两次摸出的球都是红球的概率是，故正确；故选：A.
6．（2022 滨湖区期中）下列关于概率说法正确的是（ ）
A．因为抛掷一枚图钉不是“钉尖着地”就是“钉尖不着地”（如图所示），所以“钉尖着地”发生的概率是0.5
B．连续三次抛一枚均匀硬币均正面朝上，若第四次再抛，出现反面朝上的可能性大一些
C．小明投篮投中的概率是60%，这表明小明平均每投篮10次，可能投中6次
D．随机事件发生的频率就是该事件发生的概率
【思路点拨】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．
【答案】解：A．因为图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，不正确；
B．连续三次抛一枚均匀硬币均正面朝上，若第四次再抛，出现正面朝上和反面朝上的可能性一样大，故说法不正确；
C．小明投篮投中的概率是60%，这表明小明平均每投篮10次，可能会投中6次，故说法正确；
D．根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，故不正确．故选：C．
【点睛】本题解决的关键是理解概率的概念只是反映事件发生机会的大小；概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生．
7．（2022·河南九年级专题练习）用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘（指针指向区域分界线时，忽略不计），若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可根据题意画出树状图如解图，由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有7种，所以能配成紫色的概率为．
8．（2022·浙江宁波·九年级一模）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（ ）
A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对
【答案】A
【分析】甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，据此计算两种情况的概率即可.
【解析】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有18种，两者之和为偶数的概率为，则两者之积为奇数的概率为，，故选择A.
【点睛】本题考查了利用概率判断游戏的公平性，掌握概率的计算是解题的关键.
9．（2021·江苏九年级专题练习）有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打不开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解析三把锁分别用A、B、C表示，A、B对应的钥匙分别用a、b表示,画树状图展示所有6种等可能的结果数,找出随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打不开锁的结果数,然后根据概率公式计算．
【解析】三把锁分别用A、B、C表示，A、B对应的钥匙分别用a、b表示，画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打不开锁的结果数为4，
所以随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打不开锁的概率＝．故选：B．
10．（2022·江苏苏州市·九年级专题练习）王琳与蔡红在某电商平台购买了同款发卡，并且两人在收货之后都从“好评、一般、差评”中勾选了一项作为反馈，若三种评价是等可能的，则两人中至少有一个给出“差评”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给出“差评”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】画树状图为：
共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给差评”的结果数为5，
∴两人中至少有一个给出“差评”的概率＝．故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东九年级期中）小东认为：任意抛掷一个啤酒盖，啤酒盖落地后印有商标一面向上的可能性的大小是，你认为小东的想法_____（“合理”或“不合理”）
【答案】不合理
【分析】由于啤酒盖的正反两面不均匀，抛掷后向上一面的两种可能：印有商标一面向上、印有商标一面向下的可能性不一样，据此解答即可．
【详解】解：小东的想法不合理；
理由：啤酒盖的正反两面不均匀，抛掷后向上一面的两种可能：印有商标一面向上、印有商标一面向下的可能性不一样，所以小东的想法不合理．故填不合理．
【点睛】本题主要考查了可能性的大小，熟悉啤酒瓶盖的构造是解答本的关键．
12．（2022·江苏丹阳·九年级二模）如图所示是“赵爽弦图”飞镖板，是由直角边长分别为和的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成，小明向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上)，则飞镖落在阴影部分的概率是_____
【答案】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解析】∵总面积为22+12=5，其中阴影部分面积为，
∴飞镖落在阴影部分的概率是．
【点睛】本题考查了勾股定理以及几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．（2022 呼和浩特）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
【思路点拨】用概率乘以动物的总只数即可得出20年后存活的数量；先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可．
【答案】解：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，
设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到25岁的只数为0.5x，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为＝，故答案为：0.8a，．
【点睛】此题主要考查了概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2022·南师附中树人学校）某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率约为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币．平均来说，保险公司应收取的保险费至少为每人_____元才能确保不亏本．（实际上，飞机失事的概率远低于0.00005）
【答案】20
【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答．
【详解】解：每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，
一次飞行中飞机失事的概率为P＝0.00005，
故赔偿的钱数为40000000×0.00005＝2000元，
故至少应该收取保险费每人＝20元，故答案为：20．
【点睛】此题主要考查概率的应用，解题的关键是根据概率的性质求出赔偿的钱数．
15．（2021春 成都期末）我国新交通法规定：汽车行驶到路口时，绿灯亮时才能通过，如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候．某丁字路口从A往B方向是直行，从A往C方向是左转，在A处看到红绿灯的设置时间依次为：红灯40秒、直行绿灯30秒、黄灯3秒、左转绿灯15秒、黄灯3秒；然后又从“红灯40秒…”开始循环，李叔叔随机地开车到达该路口，按照交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走，他恰好直接通过的概率是 ．
【思路点拨】由题意可得事件A对应15秒的时间长度，总的基本事件为91秒的时间长度，由概率的公式可得．
【答案】解：设事件A＝“交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走”，
则事件A对应15秒的时间长度，
而路口红绿灯的设置时间的一个周期为：40秒+30秒+3秒+15秒+3秒＝91秒的时间长度．
根据概率的公式，可得事件A发生的概率为P（A）＝，故答案为：．
【点睛】本题考查概率，是基础题，解题时要认真审题，注意概率计算公式的合理运用．
16．（2022 山西模拟）小明与小颖用一副去掉大王和小王的扑克牌做摸牌游戏：小明从中任意摸一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意摸一张，谁摸到的牌面大，谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A），然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏，若小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是 ．
【思路点拨】直接由概率公式求解即可．
【答案】解：由题意知，去掉大王、小王的扑克牌共有52张，其中比4小的牌有2，3，
∴小明获胜的概率是＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式，弄清题意是解题的关键．
17．（2022·湖北九年级期中）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为_________．（直接填数字）
【答案】
【分析】画树状图，共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有18个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有18个，
∴其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
18．定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是_______．
【答案】
【分析】按照定义将数据依次代入进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率.
【解析】当n=0时，，不是连加进位数，
当n=1时，，不是连加进位数，
当n=2时，，不是连加进位数，
当n=3时，，是连加进位数，
故0到9中，0、1、2不是连加进位数；
当n=10时，，不是连加进位数，
当n=11时，，不是连加进位数，
当n=12时，，不是连加进位数，
当n=13时，，是连加进位数，
故10到19中，10、11、12不是连加进位数；
以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个，
故取到“连加进位数”的概率是.
【点睛】本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 龙华区期末）如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．
（1）小明如果踩在图1中9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ；
（2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2个地雷．
①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ；
②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明．
【思路点拨】（1）根据概率公式，用地雷的颗数除以小方格总数即可；
（2）①由显示数字2，表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2个地雷，直接利用概率公式求解即可求得答案；
②根据概率公式，分别求出小明获胜与小亮获胜的概率，再比较即可．
【答案】解：（1）∵在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．
∴小明如果踩在图1中9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；
故答案为：；
（2）①由题意，可得若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是＝；
故答案为：；
②约定对于小亮有利．理由如下：
由题意，可得
P（小明获胜）＝＝，
P（小亮获胜）＝＝＝，
因为＜，P（小明获胜）＜P（小亮获胜），
所以约定对于小亮有利．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（2022·成都市九年级模拟）我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
【答案】（1）共6种可能；（2）小王的方案乘坐优等车的可能性大．
【分析】（1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏；
（2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格．
【解析】解：(1)三辆车按开来的先后顺序有：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能.
(2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：
顺序 优，中，差 优，差，中 中，优，差 中，差，优 差，优，中 差，中，优
小张 优 优 中 中 差 差
小王 差 中 优 优 优 中
由表格可知：小张乘坐优等车的概率是，而小王乘坐优等车的概率是.
所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.
21．（2022·广东九年级模拟）九年级民乐、足球、篮球拓展课深受同学们的喜爱．这3个课程报名情况如下（每人限报一个课程）：民乐有30人参加，足球有22人参加，篮球有12人参加．回答下列问题：
（1）若从3个课程中随机抽取一位学生，则抽到哪个课程学生的可能性最大？哪个课程学生的可能性最小？（2）若篮球课程还有一个名额，小王、小李都想参加，决定采取抛硬币的方法来确定．具体规则是：“每人各抛掷两次，两次均正面向上，则小王参加，否则，小李参加”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）抽到民乐课程学生的可能性最大；抽到篮球课程学生的可能性最小；（2）不公平，理由见详解．
【分析】（1）分别求出三个课程随机抽取一位学生的概率，然后进行比较，即可得到答案；
（2）根据题意，列出树状图，然后求出小王参加篮球社团的概率，以及小李参加篮球社团的概率，再进行比较，即可得到答案．
【解析】解：（1）根据题意，
抽到民乐的概率为：；
抽到足球的概率为：；
抽到篮球的概率为：；
∵，
∴抽到民乐课程学生的可能性最大；
抽到篮球课程学生的可能性最小；
（2）不公平；理由如下：
根据题意，画出树状图如下：
∴小王参加篮球社团的概率为：；
小李参加篮球社团的概率为：；
∵；∴这个规则对双方不公平．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，以及游戏的公平性：游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（2022·浙江九年级模拟）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜.
(1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
(2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.
第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局
甲 5 × 4 8 1 3
乙 8 2 4 2 6 ×
【答案】（1）见解析，（2）甲在这次比赛中获胜．见解析．
【分析】（1）因为总共有8次投球的机会，且投球次数越多，得分越低，可以设计计分为1次投中得8分，两次投中得7分，依次下降1分即可；
（2）根据（1）的计分方案，可以分别计算甲、乙的得分，进行比较．
【解析】(1)计分方案如下表：
n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8
M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1
(2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得4+0+5+1+8+6=24分，
乙共得1+7+5+7+3+0=23分，所以甲在这次比赛中获胜．
【点睛】此题要能够根据规则合理设计得分，根据实际设计的方案进行正确计算．
23．（2022·西安市铁一中学九年级模拟）如图，可以自由转动的两个转盘被它的半径分成标有数字的扇形区域，每个扇形圆心角的度数如图所示，小亮和小周做游戏，规则如下：小亮，小周同时转动两个转盘，待转查自动停止后，指针指向扇形内部，则该扇形内部的数字即为转出的结果（若指针指向两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两个转盘的指针均指向扇形的内部为止）若两个转所得数字乘积为1则小亮赢，否则小周赢．
（1）只转动右边转盘则出现的概率为____________．（2）这个游戏公平吗 请说明理由．
【答案】（1）；（2）这个游戏不公平，理由见详解．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，小亮赢的结果有5种，小周赢的结果有4种，再由概率公式求出小周赢的概率为，小亮赢1概率为，即可得出结论．
【详解】解：（1）只转动转盘B，则出现的概率为：，故答案为：；
（2）这个游戏不公平，理由如下：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小亮赢的结果有5种，小周赢的结果有4种，
∴小周赢的概率为，小亮赢1概率为，∵，∴这个游戏不公平．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（2022·陕西九年级一模）迄今为止，我国在航天领域获得的成就可谓硕果累累，当前探月、高分、北斗等航天领域国家科技重大专项任务圆满收官．在第六个“中国航天日”来临之际，某班举办了《我的航天梦，我的中国梦》演讲大赛，现有6人报名参加比赛，其中女生4人，男生2人．
（1）若要从这6名选手中随机选择一位参赛，则选到女生的概率为______；
（2）经过一轮预选，甲、乙两人的演讲水平不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，班委会计划通过摸球的方式选派一人参加学校的演讲大赛．规则如下：
现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有3个小球，把它们分别标上数字1、2、3，B袋中装有4个小球，把它们分别标上数字1、2、3、4，这些小球除数字外其余完全相同．先由甲从A袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；再由乙从B袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选甲去；若两个数字的和为偶数，则选乙去．请用列表法或画树状图的方法说明这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）；（2）公平
【分析】（1）利用简单地概率计算公式求解即可；
（2）利用画树状图法计算概率，比较概率的大小，判断游戏的公平性
【详解】解：（1）若要从这6名选手随机选择一位参赛，则选到女生的概率为，故答案为：；
（2）这个规则对双方公平，理由如下：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个数字的和为奇数、偶数的结果各有6个，
（和为奇数），（和为偶数），
（和为奇数）（和为偶数），这个规则对双方公平．
【点睛】本题考查概率的计算，判断游戏的公平性，熟练运用公式，画树状图法求概率是解题的关键．
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专题2.4 概率的简单应用
模块一：知识清单
人们在生活、生产和科学研究中，经常需要知道一些事件发生的可能性有多大。例如：买彩票时希望知道中奖的概率有多大；出门旅游时希望知道天气是否晴朗等。概率与人们的生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。因此在生活、生产和科研等各个领域都有着广泛的应用。
模块二：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江九年级期末）气象台预报明天下雨的概率为，则下列理解正确的是（ ）
A．明天的地区不会下雨 B．明天下雨的可能性较大
C．明天的时间会下雨 D．明天下雨是必然事件
2．（2021·杭州市九年级期中）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是( )
A． B． C． D．
4．（2022 蒙城县校级模拟）暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面向上哥哥赢，反面向上妹妹赢
B．同时掷两枚硬币，两枚都正面向上，哥哥赢，一正一反向上妹妹赢
C．掷一枚骰子，向上的一面是奇数则哥哥赢，反之妹妹赢
D．在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球则哥哥赢，是红球则妹妹赢
4．（2022·浙江杭州市·九年级）如图，的正方形网格中，在四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江宁波·九年级月考）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（ ）
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
D．第一次摸出的球是红球的概率是；两次摸出的球都是红球的概率是
6．（2022 滨湖区期中）下列关于概率说法正确的是（ ）
A．因为抛掷一枚图钉不是“钉尖着地”就是“钉尖不着地”（如图所示），所以“钉尖着地”发生的概率是0.5
B．连续三次抛一枚均匀硬币均正面朝上，若第四次再抛，出现反面朝上的可能性大一些
C．小明投篮投中的概率是60%，这表明小明平均每投篮10次，可能投中6次
D．随机事件发生的频率就是该事件发生的概率
7．（2022·河南九年级专题练习）用如图所示的两个转盘（分别进行四等分和三等分），设计一个“配紫色”的游戏，分别转动两个转盘（指针指向区域分界线时，忽略不计），若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江宁波·九年级一模）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（ ）
A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对
9．（2021·江苏九年级专题练习）有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打不开锁的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏苏州市·九年级专题练习）王琳与蔡红在某电商平台购买了同款发卡，并且两人在收货之后都从“好评、一般、差评”中勾选了一项作为反馈，若三种评价是等可能的，则两人中至少有一个给出“差评”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东九年级期中）小东认为：任意抛掷一个啤酒盖，啤酒盖落地后印有商标一面向上的可能性的大小是，你认为小东的想法_____（“合理”或“不合理”）
12．（2022·江苏丹阳·九年级二模）如图所示是“赵爽弦图”飞镖板，是由直角边长分别为和的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成，小明向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上)，则飞镖落在阴影部分的概率是_____
13．（2022 呼和浩特）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
14．（2022·南师附中树人学校）某航班每次约有100名乘客，一次飞行中飞机失事的概率约为P＝0.00005．一家保险公司要为乘客保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币．平均来说，保险公司应收取的保险费至少为每人_____元才能确保不亏本．（实际上，飞机失事的概率远低于0.00005）
15．（2021春 成都期末）我国新交通法规定：汽车行驶到路口时，绿灯亮时才能通过，如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候．某丁字路口从A往B方向是直行，从A往C方向是左转，在A处看到红绿灯的设置时间依次为：红灯40秒、直行绿灯30秒、黄灯3秒、左转绿灯15秒、黄灯3秒；然后又从“红灯40秒…”开始循环，李叔叔随机地开车到达该路口，按照交通信号灯指示由A处往C左转弯方向走，他恰好直接通过的概率是 ．
16．（2022 山西模拟）小明与小颖用一副去掉大王和小王的扑克牌做摸牌游戏：小明从中任意摸一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意摸一张，谁摸到的牌面大，谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A），然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏，若小明已经摸到的牌面为4，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是 ．
17．（2022·湖北九年级期中）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为_________．（直接填数字）
18．定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是_______．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022 龙华区期末）如图1为计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．
（1）小明如果踩在图1中9×9个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是 ；
（2）如图2，小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2个地雷．
①若小明第二步选择踩在A区域内的小方格，则踩中地雷的概率是 ；
②小明与小亮约定：若第二步选择踩在A区域内的小方格，不踩雷则小明胜；若选择踩在A区域外的小方格，不踩雷则小亮胜，试问这个约定对谁有利，请通过计算说明．
20．（2022·成都市九年级模拟）我市长途客运站每天开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
21．（2022·广东九年级模拟）九年级民乐、足球、篮球拓展课深受同学们的喜爱．这3个课程报名情况如下（每人限报一个课程）：民乐有30人参加，足球有22人参加，篮球有12人参加．回答下列问题：（1）若从3个课程中随机抽取一位学生，则抽到哪个课程学生的可能性最大？哪个课程学生的可能性最小？（2）若篮球课程还有一个名额，小王、小李都想参加，决定采取抛硬币的方法来确定．具体规则是：“每人各抛掷两次，两次均正面向上，则小王参加，否则，小李参加”．试用列表法或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平．
22．（2022·浙江九年级模拟）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜.
(1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；
(2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜.
第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局
甲 5 × 4 8 1 3
乙 8 2 4 2 6 ×
23．（2022·西安市铁一中学九年级模拟）如图，可以自由转动的两个转盘被它的半径分成标有数字的扇形区域，每个扇形圆心角的度数如图所示，小亮和小周做游戏，规则如下：小亮，小周同时转动两个转盘，待转查自动停止后，指针指向扇形内部，则该扇形内部的数字即为转出的结果（若指针指向两个扇形的交线，则此次转动无效，重新转动，直到两个转盘的指针均指向扇形的内部为止）若两个转所得数字乘积为1则小亮赢，否则小周赢．
（1）只转动右边转盘则出现的概率为____________．（2）这个游戏公平吗 请说明理由．
24．（2022·陕西九年级一模）迄今为止，我国在航天领域获得的成就可谓硕果累累，当前探月、高分、北斗等航天领域国家科技重大专项任务圆满收官．在第六个“中国航天日”来临之际，某班举办了《我的航天梦，我的中国梦》演讲大赛，现有6人报名参加比赛，其中女生4人，男生2人．
（1）若要从这6名选手中随机选择一位参赛，则选到女生的概率为______；
（2）经过一轮预选，甲、乙两人的演讲水平不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，班委会计划通过摸球的方式选派一人参加学校的演讲大赛．规则如下：
现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有3个小球，把它们分别标上数字1、2、3，B袋中装有4个小球，把它们分别标上数字1、2、3、4，这些小球除数字外其余完全相同．先由甲从A袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；再由乙从B袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选甲去；若两个数字的和为偶数，则选乙去．请用列表法或画树状图的方法说明这个规则对双方是否公平．
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