二次函数综合应用题
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二次函数综合应用题
1.在关于x，y的二元一次方程组中．
（1）若a=3．求方程组的解；
（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．
考点： 二次函数的最值；解二元一次方程组．3718684
点评： 本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x+y的表达式是解题的关键．
2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
考点： 二次函数综合题．3718684
点评： 本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．
3.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
4.已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
考点： 二次函数综合题
专题： 综合题．
分析： （1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出B与C坐标，令x=0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y=kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x=﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．
点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5.已知二次函数y=a(xm)2a(xm) (a、m为常数，且a0)。
(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
当△ABC的面积等于1时，求a的值：
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。
6.已知抛物线y1=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a、c表示b;
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围。
分析：（1）抛物线经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=﹣a﹣c；
（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，
判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解，进而得出点B所在象限；
（3）当x≥1时，y1的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与x轴的另一个交点，理由是，由这里可以发现，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点，看图象可以得到，x≥1时，y1大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即是要再找出一个与a，c有关的式子，即可解方程组求出a，c，直线经过B、C两点，把B、C两点坐标代入直线消去m，整理即可得到c﹣a=4联立a+c=8，解得c，a，即可得出y1的取值范围．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将y=mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．
点评： 本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．
9.如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标
【解答】（1）∵直线经过点,∴
∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线的解析式为
（2）∵点的横坐标为且在抛物线上
∴
∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形
当时，
∴，解得：
即当或时，四边形是平行四边形
当时，
，解得：（舍去）
即当时，四边形是平行四边形
（3）如图，当点在上方且时，
作,则
△PMF∽△CNF，∴
∴
∴
又∵ ∴
解得：，（舍去） ∴。
同理可以求得：另外一点为
10.已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB≤6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围．
解答： 解：（1）∵抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2，∴交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）．设抛物线的解析式为y1=a（x﹣1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：3=a（2﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为：y1=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3．（2）令y1=0，即﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：根据图象，可知使得y1≥y2的x的取值范围为﹣1≤x≤2．（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）．令x=3，则y2=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．设△PAB中，AB边上的高为h，则h=|xP﹣xA|=|xP﹣3|，S△PAB=AB h=×4×|xP﹣3|=2|xP﹣3|．已知S△PAB≤6，2|xP﹣3|≤6，化简得：|xP﹣3|≤3，去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：﹣3≤xP﹣3≤3，解此不等式组，得：0≤xP≤6，∴当S△PAB≤6时，点P的横坐标x的取值范围为0≤xP≤6．
点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式（组）等知识点．题目难度不大，失分点在于第（3）问，点P在线段AB的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏．
11.已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．
解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），
根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）存在．
由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y=4﹣x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1=0，
解得x1=，x2=＜1，应舍去，
∴x=，
∴y=4﹣x=，
即点P坐标为．
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）．
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，
得CB=，CD=，BD=，
∴CB2+CD2=BD2=20，
∴∠BCD=90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC，
∴四边形BCDM为直角梯形，
由∠BCD=90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．
点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
12.如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
考点： 二次函数综合题．3718684
专题： 代数几何综合题．
分析： （1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1 2，并求出x12+x22，x12 x22，然后代入进行计算即可得解．
解答： （1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1 x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2=16k2+8，x12 x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．
1.在关于x，y的二元一次方程组中．
（1）若a=3．求方程组的解；
（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．
考点： 二次函数的最值；解二元一次方程组．3718684
点评： 本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x+y的表达式是解题的关键．
2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
考点： 二次函数综合题．3718684
点评： 本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．
3.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．
4.已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
考点： 二次函数综合题
专题： 综合题．
分析： （1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出B与C坐标，令x=0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y=kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x=﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．
点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5.已知二次函数y=a(xm)2a(xm) (a、m为常数，且a0)。
(1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。
当△ABC的面积等于1时，求a的值：
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值。
6.已知抛物线y1=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a、c表示b;
（2）判断点B所在象限，并说明理由；
（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围。
分析：（1）抛物线经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=﹣a﹣c；
（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，
判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解，进而得出点B所在象限；
（3）当x≥1时，y1的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与x轴的另一个交点，理由是，由这里可以发现，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点，看图象可以得到，x≥1时，y1大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即是要再找出一个与a，c有关的式子，即可解方程组求出a，c，直线经过B、C两点，把B、C两点坐标代入直线消去m，整理即可得到c﹣a=4联立a+c=8，解得c，a，即可得出y1的取值范围．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将y=mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．
考点： 二次函数综合题
分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：①以点A为直角顶点．过点A作直线AD的垂线，与抛物线的交点即为所求点P．首先求出直线PA的解析式，然后联立抛物线与直线PA的解析式，求出点P的坐标；②以点P为直角顶点．此时点P只能与点B重合；③以点E为直角顶点．此时点P亦只能与点B重合．（3）抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位．据此，按照“左加右减”的原则，确定平移后抛物线的解析式．
点评： 本题考查了二次函数综合题型，涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线与平移、等腰直角三角形等知识点，试题的考查重点是分类讨论的数学思想．
9.如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
（3）若存在点，使，请直接写出相应的点的坐标
【解答】（1）∵直线经过点,∴
∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线的解析式为
（2）∵点的横坐标为且在抛物线上
∴
∵∥，∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形
当时，
∴，解得：
即当或时，四边形是平行四边形
当时，
，解得：（舍去）
即当时，四边形是平行四边形
（3）如图，当点在上方且时，
作,则
△PMF∽△CNF，∴
∴
∴
又∵ ∴
解得：，（舍去） ∴。
同理可以求得：另外一点为
10.已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y1≥y2的x的取值范围；（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB≤6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围．
解答： 解：（1）∵抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2，∴交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）．设抛物线的解析式为y1=a（x﹣1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：3=a（2﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为：y1=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3．（2）令y1=0，即﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：根据图象，可知使得y1≥y2的x的取值范围为﹣1≤x≤2．（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）．令x=3，则y2=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．设△PAB中，AB边上的高为h，则h=|xP﹣xA|=|xP﹣3|，S△PAB=AB h=×4×|xP﹣3|=2|xP﹣3|．已知S△PAB≤6，2|xP﹣3|≤6，化简得：|xP﹣3|≤3，去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：﹣3≤xP﹣3≤3，解此不等式组，得：0≤xP≤6，∴当S△PAB≤6时，点P的横坐标x的取值范围为0≤xP≤6．
点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式（组）等知识点．题目难度不大，失分点在于第（3）问，点P在线段AB的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏．
11.已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．
（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答．
解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），
根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）存在．
由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，
设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，
得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y=4﹣x．
又P点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1=0，
解得x1=，x2=＜1，应舍去，
∴x=，
∴y=4﹣x=，
即点P坐标为．
②若以CD为一腰，
∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为或（2，3）．
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，
得CB=，CD=，BD=，
∴CB2+CD2=BD2=20，
∴∠BCD=90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
∵CF=DF=1，
∴∠CDF=45°，
由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），
∴DM∥BC，
∴四边形BCDM为直角梯形，
由∠BCD=90°及题意可知，
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．
综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．
点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．
12.如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：
①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．
考点： 二次函数综合题．3718684
专题： 代数几何综合题．
分析： （1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1 2，并求出x12+x22，x12 x22，然后代入进行计算即可得解．
解答： （1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1 x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2=16k2+8，x12 x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．
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