第二章 特殊三角形单元测试卷（困难）（含答案）

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浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，为上的动点，为内一动点，且满足，若为的中点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
已知的三边，，都是正整数，且满足，如果，那么这样的三角形共有．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
在中，，则是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能
如图，等边的边长为，是外一点，且，，，的周长为( )
A.
B.
C.
D. 无法计算
如图，在中，，用尺规作图的方法作出射线和直线，设交于点，连结、下列结论中，不一定成立的是
A. B. 平分
C. D.
如图，在中，，，，延长到点，使有以下结论：平分；；是等边三角形；，则正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，，，，下列结论中，正确的个数是( )
．
A. B. C. D.
如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于( )
A. B. C. D.
如图，在中，，为中线，为的中点，为的中点，连结若，，则的长为( )
A. B. C. D.
如图，已知，于，于，图中全等三角形的组数是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，于，于，、相交于连接则图中有全等三角形
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在四边形中，，，在边，上分别找一点，使的周长最小，此时______．
如图，已知中，，，若沿射线方向平移个单位得到，顶点，，分别与，，对应，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的值是______．
如图，有一副三角板与，其中，，，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点、重合，且点、、三点在同一直线上，则的度数是_______________．
如图，点是平分线上的一点，于点，点在线段上，，，点为上一点，且，则_____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在五边形中，，，，，，请根据要求作答．
如图，求的度数；
如图，连接，，小明发现该图形是轴对称图形．
除已知条件外再找出组相等的线段和组相等的角不再添加辅助线；
请你用无刻度尺画出它的对称轴；
如图，连接，已知，请说明．
本小题分
如图，在中，，所在的平面上有一点如图中所画的点，使、、都是等腰三角形问：具有这样性质的点有几个包括点在图中画出来．
本小题分
在中，，，以为边在的另一侧作，点为射线上任意一点，在射线上截取，连接、．
如图，当点落在线段的延长线上时，求证：≌；
在的条件下，求出的度数；
如图，当点落在线段不含端点上时，作，垂足为，作，垂足为，连接，判断的形状，并说明理由．
本小题分
在中，，点在边所在的直线上，点在射线上，且始终保持．
如图，若，，求的度数；
如图，若，，求的度数；
如图，当点在边的延长线上时，猜想与的数量关系，并说明理由．
本小题分
在中，，，为的中点．
如图，，分别是，上的点，且求证：为等腰直角三角形；
如图，若，分别为，延长线上的点，仍有，其他条件不变，则是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
本小题分
如图，在中，、分别平分和，和相交于点．
求证：；
如图，若，求证：．
本小题分
读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图，，则______用“”、“”或“”填空；
倒过来想：
写出中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
灵活应用
如图，已知，在的平分线上取两个点、，使得，求证：．
本小题分
小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
已知：如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点求证：；
如图，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，则与还相等吗？说明理由；
如图，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点的外角的平分线所在直线与的延长线交于点试判断与的数量关系，并说明理由．
本小题分
阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．
如图，、、三点在同一条直线上，等边三角形和等边三角形具有共同的顶点，我们容易证明≌，从而得到________；
如图，已知在中，，，若点在内，且，，，以为边在它的下方作等边三角形，求的长；
如图，在中，，，点在外，位于下方，为等边三角形，当时，求；
如图，在中，，，，以为直角边，为直角顶点作等腰，则____________直角写出结果．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，如图，利用轴对称的性质得，，，，，所以，利用两点之间线段最短判断此时周长最小，作于，则，然后利用含度的直角三角形三边的关系计算出即可．
【解答】
解：作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，如图，
则，，，，，
，，
此时周长最小，
作于，则，
，
，
，
．
故选D．

2.【答案】
【解析】解：如图以为边，向左边作等边，作的外接圆，连接，则点在上．
在中，，，，
，
则易知，，
作点关于的对称点，连接，，，交于，则，
，，，
，
的最小值为，
故选：．
如图以为边，向左边作等边，作的外接圆，连接，则点在上．作点关于的对称点，连接，，，交于，则，根据，求出，即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理，利用“设法”列出方程并表示出最大的角的度数是解题的关键．设，表示出、，然后根据三角形的内角和等于列式求解，再表示出最大的角的度数，然后选择答案即可．
【解答】
解：设，
则，，
，
，
，
最大的角，
为钝角三角形．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为的性质，本题中求证是解题的关键．延长到，使，连接，求证≌可得，进而求证≌可得，即可计算周长，即可解题．
【解答】
解：延长到，使，连接，
，，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
又，
，
，
在和中，
≌，
，
所以周长．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：由图可知，平分，垂直平分．
，平分，
垂直平分，
，
垂直平分，
，，
，故选项C结论成立；
，垂直平分，
平分，故选项B结论成立；
，，
，故选项D结论成立；
当时，，故选项A不一定成立．
故选：．
由图可知，平分，垂直平分根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定与性质对各选项进行判断即可．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在的垂直平分线上，
，
也在的垂直平分线上，
即直线是的垂直平分线，
，即平分；
，
所以正确；
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
所以正确；
在上取一点，使，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
所以正确；
正确的结论有：；
故选：．
先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出，则，再证明是边的垂直平分线，得出，然后根据三角形外角的性质求出即可判断；
利用角的和差可求得结论：，即可判断；
截取，证明是等边三角形，再证明≌，利用线段的和与等量代换即可判断．
本题考查了等腰三角形、全等三角形、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】
【分析】
过作的垂线交于，通过证明的面积，依此即可求解．
本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
【解答】
解：过作的垂线交于，
可证明≌，≌，
所以．
由≌可进一步证得：≌，
，
又可证得≌，
．
易证≌，
，
．
故选C．

10.【答案】
【解析】解：连接，
是边上的中线，点为的中点，
为的中位线，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
为的中点，，
，
，
，
，
解得，
．
故选：．
连接，利用中位线的性质可得，，由平行线的性质及等腰三角形的判定与性质可证明≌，进而可证得，结合中点的定义及直角三角形的性质可得，，利用勾股定理可求解的长，进而可求得的长．
本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，解题的关键在于求出．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、做题时要由易到难，不重不漏．
利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
≌，≌，≌，，．
【解答】
解：，，
，
，
，
≌；
，
，
，
，
≌；
，
，
，
≌；
，
，
，
，
，
，
，
，
共对．
故选C．
13.【答案】
【解析】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求．
四边形中，，，
，
由轴对称知，，，
在中，
，
故答案为：．
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，交于，则点，即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
14.【答案】或或
【解析】解：分种情况讨论：
当时，如图，过作于，
，，
，
由平移得：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
当时，如图，
同理得：四边形是平行四边形，
，
即；
当时，如图，此时与重合，
；
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
故答案为：或或．
已知是等腰三角形，所以可以分种情况讨论：当时，是等腰三角形．作，垂足为，利用勾股定理列方程可得结论；当时，四边形是菱形，可得；当时，此时与重合，．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三种情况求出的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键．
15.【答案】或或或
【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出和的度数，再分别求出即可．
【解答】
解：有四种情况：
第一种情况：如图，
，，，
，，
第二种情况：如图，
，，
第三种情况：如图，
，，
第四种情况：如图，
，
，
，
的度数是或或或，
故答案为：或或或．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键过点作于点，分点在线段上，点在射线上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得，即可求，由题意可证≌，可求的长．
【解答】
解：如图：过点作于点，
平分，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
；
若点在线段上，
在和中，
，
≌
若点在射线上，
在和中，
，
≌，
，
；
故答案为或．
17.【答案】解：，，
，
，，
，
；
如图，
在和中，
，
≌，
，，，
；
如图，连接，连接交于点，作直线，
则直线即为所求；
如图，
，
由得，，
，
，
，
，
．
【解析】根据五边形内角和定理即可解决问题；
证明≌，根据全等三角形的性质即可解决问题；
连接，连接交于点，作直线，即可解决问题；
根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的判定即可解决问题．
本题考查了作图轴对称变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
18.【答案】如图，在的边的垂直平分线上，有，、和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点，所以满足条件的点共有个画出了部分图形

【解析】略
19.【答案】证明：如图中，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
，
．
解：如图中，是等边三角形．
理由：，，
，
，
，，
，，
，
，
≌，
，
是等边三角形．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据证明三角形全等即可．
证明，，即可解决问题．
证明：，即可．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
；
，
理由如下：如图：
是和的外角，
，．
．
，，
，
．
即．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
根据三角形的外角的性质得到，于是得到结论；
根据三角形外角的性质可得，，得出，推出，即可解答．
21.【答案】解：证明：连接．
，，为的中点，
，．
．
又，
．
，
．
为等腰直角三角形．
仍为等腰直角三角形．
证明：连接．
，，为的中点，
，．
．
又，
．
，．
．
为等腰直角三角形．
【解析】本题考点查等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质，利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
先连接，构造全等三角形：和是等腰直角三角形底边上的中线，所以有，，而，所以，再加上，，可证出：≌，从而得出，，从而得出，即是等腰直角三角形；
还是证明：≌，主要证，再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．
22.【答案】证明：因为、分别平分和，
所以，，
在中，
．
如图，延长至，使得，连接，则．
因为，，
所以，
在和，
所以≌．
，
即．
，
．
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键．
由角平分线的定义及三角形内角和定理可得出答案；
延长至，使得，连接，则证明≌，由全等三角形的性质得出，结合等腰三角形性质则可得出结论．
23.【答案】解：过作，如图所示：
则，
，，
，
即；
故答案为：；
解：逆命题为：若，则；
该逆命题为真命题；理由如下：
过作，如图所示：
则，
，，
，，
，
，
，
；
证明：过点作，交于点，如图所示：
则，
，，
是的一个外角，
，
又，，
，
，
平分，
，
．
【解析】本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
过作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论；
过作，则，证出，得出，即可得出结论；
过点作，交于点，则，由平行线的性质得出，，由三角形的外角性质得出，证出，得出，由角平分线得出，即可得出结论．
24.【答案】证明：，是高，
，，
，
是角平分线，
，
，
；
证明：为的角平分线，
，
为边上的高，
，
，又，
；
，
证明：、、三点共线 、为角平分线，
，又，
，
，，，
，
．
【解析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
根据三角形的外角的性质证明；
根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
同、的方法相同．
25.【答案】解：；
如图所示：
和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，
，
；
以为边在的下方作等边三角形，连接，如图所示：
则，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
；
．
【解析】
【分析】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
证明≌，即可得出结论；
证明≌，进一步得到，利用勾股定理即可得出答案；
以为边在的下方作等边三角形，由等边三角形的性质得出，，，，得出，证明≌，得出，求出，由勾股定理即可得出答案；
关键构造以为顶点，为腰向左作等腰，有≌得到直角三角形，用勾股定理即可得出答案．
【解答】
解：
和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，，
≌，
，
故答案为：；
见答案；
见答案；
以为顶点，为腰向左作等腰，连接，
有≌，则，
，
在中，，，
．
故答案为．

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