第二章 特殊三角形单元测试卷（标准难度）（含答案）

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浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，点在等边的边上，，射线于点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则为( )
A.
B.
C.
D.
下列标志中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是( )
A. B. C. 或 D.
在平面直角坐标系中，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，若，则( )
A. B. C. D.
如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为( )
A. B. C. D. 不能确定
如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形是其中一腰，则图中符合条件的格点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
下列四个命题：
两直线平行，内错角相等；对顶角相等；等腰三角形的两个底角相等；菱形的对角线互相垂直
其中逆命题是真命题的是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点下列结论：；；；；正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在三角形中，，，点为的中点，则点到的距离为( )
A.
B.
C.
D.
下列三个说法：
有一个内角是，腰长是的两个等腰三角形全等；
有一个内角是，底边长是的两个等腰三角形全等；
有两条边长分别为，的两个直角三角形全等．
其中正确的个数有( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，已知，要使四边形成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是______只需写一个，不添加辅助线
如图，在中，，，的面积是的垂直平分线分别交，边于、两点，若点为边的中点，在线段上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则周长的最小值为______．
如图，在中，，以长为一边作，且，，取中点，连、、则______
如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当___时，和全等．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，均在格点上．
作出关于轴对称的；
作出向右平移个单位长度后的；
直接写出点的坐标______以上作图不要求写作法
如图，在中，，点在的延长线上，点在上，且E.求证：．
若，是的两边，且．
试求，的值，并求第三边的取值范围；
若是等腰三角形，试求此三角形的周长．
如图，在中，，．
尺规作图：作边的垂直平分线交于点；
连接，作的平分线交于点；要求：保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中，求的度数．
如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、．
求证：垂直平分；
若，求证：是等边三角形．
如图所示，在中，平分，于点，交的延长线于点，连结，恰有B.求证：所在直线是的垂直平分线．
已知：如图，在中，，点是的中点，若，，求证：．
图、图分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为，线段的端点在小正方形的顶点上，请在图、图中各取一顶点顶点必须在小正方形的顶点上，并且分别满足以下要求：
在图中画一个以线段为一边的直角，且的面积为；
在图中画一个以线段为一边的钝角等腰，请直接写出线段的长．
线段的长是______．
如图，在中，，，，垂足是，平分，交于点在外有一点，使，．
求证：
在上取一点，使，联结，交于点，联结．
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
根据等边三角形的性质得到，，作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
作点关于直线的对称点，过作于，交于，
则此时，的值最小，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解。
【解答】
解：不是轴对称图形，故本选项错误；
B.不是轴对称图形，故本选项错误；
C.不是轴对称图形，故本选项错误；
D.是轴对称图形，故本选项正确。
故选D。

3.【答案】
【解析】解：，
，，
解得，．
当腰长为时，三边长为，，，不符合三角形三边关系；
当腰长为时，三边长为，，，符合三角形三边关系，此时周长为．
故选B．
由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质关键是根据非负数的性质求、的值，根据三角形三边关系分类求解．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的位置，分类讨论用画圆弧的方式，找与轴的交点，比较形象易懂．
【解答】
解：分两种情况进行讨论：
当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心，为半径的圆弧与轴有一个交点；
当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
符合条件的点一共个．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：连接．
，，
，
的垂直平分线是，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据三角形的内角和定理可得，利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形性质求出，，即可得，即可求出答案．
本题主要考查对等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出和是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质有关知识，过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证≌，推出，推出即可．
【解答】
解：过作交于，如图，
，是等边三角形，
，是等边三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解题关键是分类的数学思想．先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案．
【解答】
解：如图，
，
若，则符合要求的有：，，共个点；
若，则符合要求的有：，共个点．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质．由已知条件证明≌，则；由等角对等边判定，则易求．
【解答】
解：平分，，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
，，
．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解答】
解：两直线平行，内错角相等；其命题：内错角相等两直线平行是真命题；
对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角是假命题；
等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题；
菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：是中线，
，故正确；
，，
．
．
，
在与中，
，
≌．
，故正确；
≌，
；故正确；
是中线，
，故错误；
≌，
，
，
，故正确．
正确的结论有，共个．
故选：．
根据三角形的中线即可进行判断和；利用证明≌，即可进行判断的正确性．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明≌．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作于点，
，为的中点，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
即，
解得：，
即点到的距离为，
故选：．
连接，过点作于点，由等腰三角形的性质得出，，再由勾股定理求出，然后由三角形的面积公式求出的长即可．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：有一个内角是可能是顶角或底角，不确定，腰长是的两个等腰三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
有一个内角是必为顶角，底边长是的两个等腰三角形全等，原说法正确，符合题意；
有两条边长分别为，的两个直角三角形全等不一定全等，如一个三角形中是两条直角边，另一个三角形中是斜边和直角边，原说法错误，不符合题意．
故选：．
根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的几种判定方法，难度不大．本题是一道比较容易出错的题目．
13.【答案】
【解析】解：，
理由：在与中，，
≌，
四边形是一个轴对称图形，
故答案为：．
轴对称图形的定义即可得到结论．
本题考查了轴对称图形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：是线段的垂直平分线，
与关于对称，
连接，交于点，
，
周长，
当、、三点共线时，周长最小，
为边的中点，，
，
，
，
，
周长，
周长的最小值为，
故答案为：．
由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，交于点，则当、、三点共线时，周长最小为的长．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，点是中点，
，
，
，
，点是中点，
，即，
，
，点是中点，
，
，
，
故答案为：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据三角形的外角的性质求出，根据直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，当或时，和全等，根据定理推出即可．
【解答】
解：当或时，和全等，
理由是：，，
，
当时，
在和中，
≌，
当时，
在和中
≌，
故答案为：或．
17.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
点的坐标．
故答案为：．
利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
根据点的位置写出坐标即可．
本题考查作图轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：作的平分线交于点．
，
是等腰三角形，
所在直线是等腰三角形的对称轴，
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．
是的一个外角，，
E.
平分，
，
，
．
，
．

【解析】略
19.【答案】解：，
，，
，
即；
当腰长为时，
此时三角形的三边为、、，满足三角形三边关系，周长为；
当腰长为时，
此时三角形的三边长为、、，满足三角形三边关系，周长为；
综上可知等腰三角形的周长为或．

【解析】本题主要考查了非负性的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
利用非负数的性质可求得、的值，根据三角形三边关系可求得的范围；
分腰长为或两种情况进行计算．
20.【答案】解：如图，直线，射线即为所求．
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
平分，
．
【解析】利用尺规作出线段的垂直平分线，交于，交于，连接；作的角平分线交于，直线，射线即为所求．
首先证明，推出，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21.【答案】证明：，且，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是等腰三角形，
，，
垂直平分．
，，
．
，
是等边三角形．
【解析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质与等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．
先证≌，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
先求出，又根据，即可证明结论．
22.【答案】证明： 平分，
，
，
，
，
，
又，
，
所在直线是的垂直平分线．
【解析】略
23.【答案】解：在中，，点是的中点，
．
又，
．
又，
四边形是平行四边形．
．
【解析】欲证，可证四边形是平行四边形．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在中，，点是的中点，得由，得又因为，得四边形是平行四边形，从而解决此题．
本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质、平行四边形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、平行四边形的性质与判定是解决本题的关键．
24.【答案】
【解析】如图，直角即为所求；
如图，即为所求，
线段的长．
故答案为：．
根据网格即可在图中画一个以线段为一边的直角，且的面积为；
根据网格即可在图中画一个以线段为一边的钝角等腰，然后根据勾股定理即可求出线段的长．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，
25.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
．
过点作于，如图所示，
则是等腰直角三角形，
，，
平分，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
，，，
，，
平分，
，
，，
，
，
在和中
，
，
，
在和中，
．
【解析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质．
根据，可得，根据，可得，得到再利用同角的余角相等可得，证明即可得到答案；
过点作于，是等腰直角三角形，可得根据角平分线的性质可得再根据，可得，即得是等腰直角三角形，可得，即可得到答案；
易证，可得，利用可得，得，进而得到，证明，即可得到答案．
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