直角三角形—含30度角的直角三角形
一、选择题（共20小题）2121世纪教育网版权所有世纪教育网
1、如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能成立的是（ ）
A、DE=AC B、DE⊥AC
C、∠CAB=30° D、∠EAF=∠ADF
2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ）
A、6 B、4
C、6 D、4
3、如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于E，连接CE，则下列结论错误的是（ ）
A、BE=AE B、BD=AE21世纪教育网
C、AE=2DE D、AE=CE
4、等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4 cm，则AD等于（ ）
A、8cm B、7cm
C、6cm D、4cm
5、已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）
A、15°或75° B、15°
C、75° D、150°或30°
6、在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，在直线AC或直线BC上找点P，使△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有（ ）
A、8个 B、7个
C、6个 D、4个
7、如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，DE⊥BC于E．若EC=2，则BE=（ ）
A、10 B、821世纪教育网
C、6 D、4
8、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．连接ED并延长和AB交于点F，若EF=12，则BD的长度是（ ）
A、4 B、6
C、8 D、10
9、正△ABC的边长为1，P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中Q、R、S为垂足，若SP=，则AP的长是（ ）
A、 B、
C、 D、或
10、如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）21世纪教育网
A、8+2a B、8+a
C、6+a D、6+2a
11、一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ）21世纪教育网
A、2 B、3
C、4 D、5
12、（2011?贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A、3.5 B、4.2
C、5.8 D、721世纪教育网
13、用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（ ）
A、①② B、①③
C、③④ D、①②③
14、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ）
A、2厘米 B、4厘米
C、6厘米 D、8厘米
15、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，CD⊥AB于点D．若BC=a，则AD等于（ ）
A、a B、a
C、a D、a
16、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（ ）
A、 B、
C、 D、
17、如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ）
A、10 B、
C、5 D、2.5
18、在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（ ）
A、4cm B、3cm
C、2.5cm D、2cm
19、△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
A、5cm B、6cm
C、7cm D、8cm
20、如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（ ）
A、2 B、3
C、1 D、1.5
二、填空题（共5小题）
21、如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________ cm．
22、如图，直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2CD，CF⊥AD于E，AF﹣BF=16，则AB= _________ ．
23、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为 _________ ．
24、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC= _________ ．
25、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则AC= _________ cm．
三、解答题（共5小题）
26、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，CD=4cm
（1）求证：AB=AD；
（2）求BC的长．
27、（2008?达州）含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E．
（1）求证：△ACM≌△A′CN．
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明．
28、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
29、如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．
30、如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
直角三角形—含30度角的直角三角形
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能成立的是（ ）
A、DE=AC B、DE⊥AC
C、∠CAB=30° D、∠EAF=∠ADF
考点：全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
分析：已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、△BAC全等，可根据这个条件进行判断．
解答：解：∵EA=AB=2BC，AB=2AD，
∴AD=BC；
又∵EA⊥AB，BC∥EA，即∠EAD=∠B=90°，
∴Rt△EAD≌Rt△ABC，
∴DE=AC；
又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角，
∴∠EAF=∠ADE；
故A、B、D的结论都正确；
Rt△CAB中，AB=2BC，显然sin∠CAB≠，所以∠CAB≠30°，因此C的结论是错误的；
故选C．
点评：此题涉及到直角三角形全等的判定和性质、平行线的性质、同角的余角相等等知识点，难度适中．
2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ）
A、6 B、4
C、6 D、4
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
分析：由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．
解答：解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，
∴AE=6．
故选C．
点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
3、如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于E，连接CE，则下列结论错误的是（ ）
A、BE=AE B、BD=AE
C、AE=2DE D、AE=CE
4、等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4 cm，则AD等于（ ）
A、8cm B、7cm
C、6cm D、4cm
考点：等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形。
分析：根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解．
解答：解：∵等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∵DE⊥AB，AE=4cm，
∴AD=2AE=8cm．
故选A．
点评：此题考查学生对等腰三角形三线合一的掌握及直角三角形的性质的运用．
5、已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）
A、15°或75° B、15°
C、75° D、150°或30°
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
分析：因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
解答：解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；
（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°．
故其底角为15°或75°．
故选A．
点评：本题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．
6、在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，在直线AC或直线BC上找点P，使△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有（ ）
A、8个 B、7个
C、6个 D、4个
点评：本题考查了等腰三角形的判定；利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，再利用数学知识来求解．
7、如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，DE⊥BC于E．若EC=2，则BE=（ ）
A、10 B、8
C、6 D、4
8、如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．连接ED并延长和AB交于点F，若EF=12，则BD的长度是（ ）
A、4 B、6
C、8 D、10
9、正△ABC的边长为1，P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中Q、R、S为垂足，若SP=，则AP的长是（ ）
A、 B、
C、 D、或
当P在AS之间时，同理可求出AP=．
故选D．
点评：本题主要考查对等边三角形性质，含30度角的之间三角形，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出BP=2BQ、CQ=2CR、AR=2AS是解此题的关键．
10、如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A、8+2a B、8+a
C、6+a D、6+2a21世纪教育网版权所有
考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
分析：△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．
解答：解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP
∴△MNP是等边三角形．
又∵MQ⊥PN，垂足为Q，
∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，
∵NG=NQ，
∴∠G=∠QMN，
∴QG=MQ=a，
∵△MNP的周长为12，
∴MN=4，NG=2，
∴△MGQ周长是6+2a．
故选D．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．
11、一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
∴△AFM≌△BFN（ASA）
∴MF=NF（3分）
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA=MF=MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△AMF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；
即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN=BC=2．
∴DN=DN=2；
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S△CEF=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=4﹣2=2，
故⑤正确．
故选C．21世纪教育网版权所有
点评：此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
12、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A、3.5 B、4.2
C、5.8 D、7
13、用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，其中可以被拼成的图形是（ ）
A、①② B、①③
C、③④ D、①②③
考点：含30度角的直角三角形。21世纪教育网
专题：分类讨论。
分析：当把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：
（1）当把60度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等边三角形；
（2）当把30度角对的边重合，且两个直角的顶角也重合时，所成的图形是等腰三角形；
（3）当斜边重合，且一个三角形的30度角的顶点与另一个三角形60度角的顶点重合时，所成的图形是矩形，矩形也是平行四边形．
解答：解：如图，把完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形有三种情况：分别有等边三角形，等腰三角形，矩形，平行四边形．
故选B．
点评：本题考查了图形的拼接，注意要分类讨论．
14、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（ ）
A、2厘米 B、4厘米
C、6厘米 D、8厘米
考点：含30度角的直角三角形。
分析：由于在直角三角形中30°角所对的直角边长是斜边的一半，根据已知条件即可求出斜边的长．
解答：解：∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，
∴斜边的长是4厘米．
故选B．
点评：此题考查了直角三角形的性质，如果直角三角形的一个锐角为30°，那么它所对的直角边是斜边的一半．
15、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，CD⊥AB于点D．若BC=a，则AD等于（ ）
A、a B、a
C、a D、a
∠ACB=180°×=90°，
又CD⊥AB，
∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，
∴在Rt△ABC和Rt△BCD中，
BD=BC=a，21世纪教育网
AB=2BC=2a，
∴AD=AB﹣BD=2a﹣a=a．
故选C．
点评：此题考查的知识点是含30度角的直角三角形及三角形内角和定理，关键是先根据三角形内角和定理求出各角，得直角三角形，再由CD⊥AB求出∠BCD=30°，然后根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，求出AB和BD．
16、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（ ）
A、 B、
C、 D、
17、如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（ ）
A、10 B、
C、5 D、2.5
考点：含30度角的直角三角形；平行线的性质；三角形的外角性质。
专题：计算题。
分析：根据平行线的性质可得∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，可得PE=PC=10，在Rt△PED中，求出∠PEA的度数，根据勾股定理解答．
解答：解：∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POA，
∵∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，
过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，
∴PE=PC=10，
∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，
∴PD=10×=5．
故选C．
点评：本题利用了：
1、两直线平行，内错角相等；
2、三角形的外角与内角的关系；
3、全等三角形的判定和性质．
18、在直角△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm，则AB的长为（ ）
A、4cm B、3cm
C、2.5cm D、2cm
点评：此题考查的是直角三角形的性质，30°的直角边所对的直角边等于斜边的一半．
19、△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）
A、5cm B、6cm
C、7cm D、8cm
考点：含30度角的直角三角形。
分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．
解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．
点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．
20、如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，那么CD的长是（ ）
A、2 B、3
C、1 D、1.5
考点：含30度角的直角三角形。
分析：在Rt△AEC中，由于=，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．
解答：解：在Rt△AEC中，∵=，
∴∠1=∠2=30°，
∵AD=BD=4，
∴∠B=∠2=30°，
∴∠ACD=180°﹣30°×3=90°，
∴CD=AD=2．
故选A．
点评：本题利用了：
（1）直角三角形的性质；
（2）三角形内角和定理；
（3）等边对等角的性质．
二、填空题（共5小题）
21、如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= 2 cm．
考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD=BD和DC=2BD是解此题的关键．
22、如图，直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2CD，CF⊥AD于E，AF﹣BF=16，则AB= 20 ．
考点：全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
分析：作GD∥AB，交CF于G点，设DG=x，则BF=3x．再考虑用x表示AF，关键是求出AE：ED的比值，由相似关系或射影定理可以得到：AC2=AE?AD，CD2=DE?AD，则AE：ED=AC2：CD2=27：1，所以AF=27x，从而得出AB．
解答：解：作GD∥AB，交CF于G点，
设DG=x，则BF=3x．
∵CF⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴△AEC∽ACD∽CED，
∴AC2=AE?AD，CD2=DE?AD，
∴AE：ED=AC2：CD2=27：1
∴AF=27x，
∵AF﹣BF=16，
∴27x﹣3x=24x=16，
∴x=，
∴AB=AF+BF=3x+27x=30x=30×=20．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
23、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为 6 ．
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。
分析：由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
解答：解：∵ED垂直平分BC，
∴BE=CE，∠EDB=90°，
∵∠B=30°，ED=3，
∴BE=2DE=6，
∴CE=6．
故答案为：6．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．
24、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC= 6 ．
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。
分析：先作辅助线，然后利用垂直平分线的性质求出AD=BD，最后解直角三角形计算．
解答：解：连接BD
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DBA=∠A=30°
∴∠CBD=30°
∴BD=2CD=4
∴AC=CD+AD=CD+BD=2+4=6．
答案6．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质．
25、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则AC= 5 cm．
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形。
分析：利用线段垂直平分线的性质求得AD=BD=10，及∠ADC=30°．
解答：解：连接AD，
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E
∴AD=BD=10，∠DBA=∠BAD=15°，∠DAC=60°，
∠ADC=30°，
∴AC=AD=5cm．
点评：本题的关键是线段垂直平分线的性质求得AD=BD=10，及∠ADC=30°．
三、解答题（共5小题）
26、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，CD=4cm
（1）求证：AB=AD；
（2）求BC的长．
考点：平行线的性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据AD∥BC，可得∠ADB=∠CBD；根据BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC，于是得到∠ABD=∠ADB，由同一三角形中等角对等边可得AB=AD．
（2）证出△BCD是直角三角形，利用勾股定理即可求出BC的长．
解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．（1分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC．（2分）
∴∠ABD=∠ADB．（3分）
∴AB=AD．（4分）
（2）解：∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠A+∠ABC=180°．
即∠ABC=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°．（6分）
又∵∠C=60°，
∴△BDC是直角三角形（∠BDC=90°）．（7分）
又∵CD=4cm，
∴BC=2CD=2×4=8cm．（8分）
点评：本题重点考查了平行线的性质、角平分线的定义及勾股定理，是一道较为简单的题目．
27、含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E．
（1）求证：△ACM≌△A′CN．
（2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明．
∴△ACM≌△A'CN．
（2）在Rt△ABC中
∵∠B=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°．
又∵∠α=30°，∴∠MCN=30°，
∴∠ACM=90°﹣∠MCN=60°．
∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°．
∵∠B′=∠B=30°，
所以三角形MEB′是Rt△MEB′，且∠B′=30°．
所以MB′=2ME．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，旋转和对折后得到的图形和原来的图形全等的知识．
28、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为（0，1），∠BAO=30°．
（1）求AB的长度；
（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE；
（3）在（2）的条件下，连接DE交AB于F．求证：F为DE的中点．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）直接运用直角三角形30°角的性质即可．
（2）连接OD，易证△ADO为等边三角形，再证△ABD≌△AEO即可．
（3）作EH⊥AB于H，先证△ABO≌△AEH，得AO=EH，再证△AFD≌△EFH即可．
解答：（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，
∴AB=2BO=2；
（2）证明：连接OD，
∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，
∴∠DAO=60°．
又DO=DA，
∴△ADO为等边三角形．
∴DA=AO．
∴△ABD≌△AEO．
∴BD=OE．
（3）证明：作EH⊥AB于H．
∵AE=AB，BO=AB，
∴AH=BO，
在Rt△ABO和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEH．
∴AO=EH=AD．
又∠EHF=∠DAF=90°，
在△AFD和△EFH中，
，
∴△AFD≌△EFH．
∴EF=DF．
∴F为DE的中点．
点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等．
29、如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形。
分析：由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE．则易求．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键．
30、如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．
（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
专题：应用题。
分析：（1）由题中条件可得，∠DCA=∠BCA=30°，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．
（2）在AN上截取AE=AC，连接CE，可得△CAE为等边三角形，进而可得△ADC≌△EBC，即DC=BC，DA=BE，进而结论得证．
解答：（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）解：结论AD+AB=AC成立．
理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，
∵∠BAC=60°，
∴△CAE为等边三角形，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=∠AEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
∴△ADC≌△EBC，
∴DC=BC，DA=BE，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC．
点评：本题主要考查了30°的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
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一、选择题（共20小题）
1、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）条．
A、1 B、3
C、5 D、6
2、如图，AB∥CD，∠1=70°，∠AEF=90°，则∠A的度数为（ ）
A、70° B、60°
C、40° D、20°
3、如图所示，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥AC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A、∠1=∠2 B、∠3=∠C
C、∠3=∠4 D、∠5=∠6
4、如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD的度数等于（ ）
A、20° B、25°
C、35° D、50°
5、下列说法错误的是（ ）
A、三角形的中线、高、角平分线都是线段 B、任意三角形内角和都是180°
C、三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D、直角三角形两锐角互余
6、下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A、全等三角形的面积相等 B、全等三角形的对应角相等
C、等边三角形是锐角三角形 D、直角三角形的两个锐角互余
7、如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A、AE=BE B、CE=AB
C、∠CEB=2∠A D、AC=AB
8、如图，在△ABC中，∠C=90°，E是AB的中点，且DE⊥AB于点E，∠CAD：∠EAD=1：2，则∠B与∠BAC的度数为（ ）
A、30°，60° B、32°，58°
C、36°，54° D、20°，70°
9、如图所示，点E为Rt△ABC斜边AB的中点，D为BC边上的一点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC为（ ）
A、70° B、60°
C、48° D、45°
10、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过E作ED⊥AB于D点，当∠A=_____时，ED恰为AB的中垂线（ ）
A、10° B、15°
C、30° D、45°
11、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ）
A、两边之和大于第三边 B、有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C、有两个锐角的和等于90° D、内角和等于180°
12、下列结论错误的是（ ）
A、等腰三角形的底角必为锐角 B、等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半
C、任何直角三角形都不是轴对称图形 D、线段有两条对称轴
13、如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A、 B、
C、 D、
14、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A、30° B、26°
C、23° D、20°
15、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点E为BC的中点，EF⊥AB于点F，则EF的长度为（ ）
A、 B、
C、 D、
16、△ABC中，AC=AB，BD为△ABC的高，如果∠ABD=25°，则∠C=（ ）
A、65° B、52.5°
C、50° D、57.5°
17、周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的，则该三角形的（ ）
A、腰和底边的高都是有理数 B、腰和底边的高都不是有理数
C、腰是有理数，底边上的高是无理数 D、腰是无理数，底边上的高是有理数
18、等边三角形的三条高把这个三角形分成（ ）个直角三角形．
A、8 B、10
C、11 D、12
19、有下列说法：其中正确的个数是（ ）
（1）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
（2）三角之比为3：4：5的三角形为直角三角形；
（3）等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；
（4）一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等边三角形．
A、2个 B、3个
C、4个 D、1个
20、如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（ ）
A、48° B、42°
C、38° D、21°
二、填空题（共5小题）
21、有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1= _________ 度时，电线杆与地面垂直．
22、如图，直线l1∥l2且l1，l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3= _________ 度．
23、如图，AB∥CD，AC⊥BC，垂足为C．若∠A=40°，则∠BCD= _________ 度．
24、一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a= _________ 度．
25、直角三角形两直角边的垂直平分线交于点P，则P点在 _________ （填点P的位置）．
三、解答题（共5小题）
26、设A是给定的正有理数．
（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x2﹣y2=y2﹣z2=A．
（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．
27、如图，已知AB⊥AC，垂足为A，AD∥BC，且∠1=30°，试求∠2与∠B的度数．
28、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE垂足为E，AD⊥CE垂足为D，AD=2．cm，BE=1.7cm，求DE的长．
29、如图，已知△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．
（1）求△ACE与△ABE的周长的差；
（2）求AD的长并求△ABE的面积．
30、如图已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E在斜边BC上，CE=CA，求证：∠BAE=∠ACB．
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答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中其长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）条．21世纪教育网
A、1 B、3
C、5 D、6
考点：点到直线的距离；三角形的角平分线、中线和高；直角三角形的性质。
分析：结合题意和图形，根据点到直线的距离的定义进行解答．
解答：解：图中表示点到直线的距离的线段有：
表示点A到BC的距离的线段是AC；
表示点B到AC的距离的线段是BC；
表示点C到AB的距离的线段是CD；
表示点A到CD的距离的线段是AD；
表示点B到CD的距离的线段是BD．
故共5条．
故选C．
点评：本题考查了点到直线的距离、三角形的高、直角三角形的性质．点到直线距离是指点到直线的垂线段的长度．
2、如图，AB∥CD，∠1=70°，∠AEF=90°，则∠A的度数为（ ）
A、70° B、60°
C、40° D、20°
3、如图所示，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥AC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A、∠1=∠2 B、∠3=∠C
C、∠3=∠4 D、∠5=∠6
考点：平行线的性质；角平分线的定义；直角三角形的性质。
分析：由BE平分∠ABC，根据角平分线的性质即可得到①成立；再根据等角的余角性质得到∠3=∠C，即②成立；由EF∥AC，根据平行线的性质得∠4=∠C，即可得到③成立；
因为∠6=∠DEF，而没有BD=DF，则不能得到∠5=∠6．
4、如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD的度数等于（ ）
A、20° B、25°
C、35° D、50°
考点：平行线的性质；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：首先，根据直角三角形的性质，可求出∠ABC的度数，然后，根据平行线的性质，可得∠ABC=∠BCD，即可解答出．
解答：解：∵AC⊥BC，∠BAC=65°，
∴∠ABC=90°﹣∠BAC=90°﹣65°=25°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC，
∴∠BCD=25°．
故选B．
点评：本题主要考查了平行线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握两直线平行线，内错角相等．
5、下列说法错误的是（ ）
A、三角形的中线、高、角平分线都是线段 B、任意三角形内角和都是180°
C、三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形 D、直角三角形两锐角互余
考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；直角三角形的性质。
专题：推理填空题。
分析：根据三角形的中线高角平分线定义即可判断A；由三角形内角和定理能判断B；由直角三角形的分类能判断C；根据直角三角形的性质能判断D．
解答：解：A、三角形的中线高角平分线都是线段，故本选项错误；
B、根据三角形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，故本选项错误；
C、因为三角形按角分为直角三角形和斜三角形（锐角三角形、钝角三角形），故本选项正确；
D、直角三角形两锐角互余，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练理解和掌握这些知识是解此题的关键．
6、下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A、全等三角形的面积相等 B、全等三角形的对应角相等
C、等边三角形是锐角三角形 D、直角三角形的两个锐角互余
考点：全等三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质。
分析：分别写出各个选项的逆命题然后根据全等三角形和等边三角形的性质进行判定真假．
解答：解：A，其逆命题是：面积相等的三角形全等．两个面积相等但形状不同的三角形不全等，因为面积有两个变量底和高，故是假命题；
B，其逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形．大小不同的两个等边三角形虽然对应角相等但不全等，故是假命题；
C，其逆命题是：锐角三角形是等边三角形．三个角不全是60°的锐角三角形不是等边三角形，故是假命题；
D，两个锐角互余的三角形是直角三角形，符合直角三角形的性质，故是真命题；
故选D．
点评：此题主要考查学生对全等三角形的性质，等边三角形的性质及直角三角形的性质的理解及运用能力．
7、如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E为AB上一点，且CE=EB，ED⊥CB于D，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A、AE=BE B、CE=AB
C、∠CEB=2∠A D、AC=AB
∵∠ACB=90°，ED⊥CB，
∴AC∥ED．
则∠A=∠DEB，∠CED=∠ACE．
又∠A=∠ACE，
∴∠CEB=2∠A．
故选项C正确；
当∠B=30°或∠A=60°时，选项D才成立．
故选D．
点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和判定、平行线的判定和性质等知识点，难度不大．
8、如图，在△ABC中，∠C=90°，E是AB的中点，且DE⊥AB于点E，∠CAD：∠EAD=1：2，则∠B与∠BAC的度数为（ ）
A、30°，60° B、32°，58°
C、36°，54° D、20°，70°
9、如图所示，点E为Rt△ABC斜边AB的中点，D为BC边上的一点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC为（ ）
A、70° B、60°
C、48° D、45°
考点：线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：由点E为Rt△ABC斜边AB的中点，ED⊥AB，得到DE为AB的中垂线，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，则∠DAB=∠B，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，再根据三角形的内角和定理可计算出x，然后即可计算出∠BAC=8x．
解答：解：∵点E为Rt△ABC斜边AB的中点，ED⊥AB，即DE为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
设∠CAD=x，则∠BAD=7x，
∵∠C=90°，
∴∠CDA+∠DAB+∠B=90°，即x+7x+7x=90°，解得x=6°，
∴∠BAC=8x=48°．
故选C．
点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了三角形内角和定理．
10、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过E作ED⊥AB于D点，当∠A=_____时，ED恰为AB的中垂线（ ）
A、10° B、15°
C、30° D、45°
11、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（ ）
A、两边之和大于第三边 B、有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C、有两个锐角的和等于90° D、内角和等于180°
考点：等腰三角形的性质；直角三角形的性质。
分析：根据等腰三角形与直角三角形的性质作答．
解答：解：A、对于任意一个三角形都有两边之和大于第三边，不符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，符合题意；
C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，不符合题意；
D、对于任意一个三角形都有内角和等于180°，不符合题意．
故选B．
点评：本题主要考查了三角形的性质，等腰三角形与直角三角形的性质的区别．
12、下列结论错误的是（ ）
A、等腰三角形的底角必为锐角 B、等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半
C、任何直角三角形都不是轴对称图形 D、线段有两条对称轴
考点：等腰三角形的性质；直线、射线、线段；直角三角形的性质；轴对称图形。
分析：根据每个选项中所给出的条件，结合图形，逐一判断即可，其中A、B、D都是正确的，只有C答案错误，因为等腰直角三角形是轴对称图形．
解答：解：A、若等腰三角形的底角为直角或钝角，则两个底角之和≥180°，与三角形内角和相矛盾，因此原命题正确；故A正确．
B、等腰直角三角形被底边上高分成的两个三角形仍然是等腰三角形，高和底边的一半是小三角形的腰，因此相等；故B正确．
C、等腰直角三角形是轴对称图形；故C错误．
D、线段有两条对称轴，一条是线段的垂直平分线，另一条是线段本身所在的直线；故D正确．
故选C．
点评：判断命题的正确与错误的方法：对于一个命题，只要能举出一个反例，就可以判定其是错误的．
13、如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A、 B、
C、 D、
点评：本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，证明相关三角形相似．
14、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A、30° B、26°
C、23° D、20°
考点：等腰三角形的性质；直角三角形的性质。
专题：应用题。
分析：先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，进而在Rt△DCB中，求得∠DCB的度数．
解答：解：∵∠A=46°，AB=AC，
∴∠B=∠C=67°．
∵∠BDC=90°，
∴∠DCB=23°，
故选C．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，难度适中．
15、如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点E为BC的中点，EF⊥AB于点F，则EF的长度为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：等腰三角形的性质；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：连AE，由AB=AC，点E为BC的中点，根据等腰三角形的性质得到AE⊥BC，并且BE=BC=8，而AB=10，在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出AE，然后根据三角形面积公式得到S△ABE=AE?BE=AB?EF，经过计算即可得到EF的长．
16、△ABC中，AC=AB，BD为△ABC的高，如果∠ABD=25°，则∠C=（ ）
A、65° B、52.5°
C、50° D、57.5°
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据BD为△ABC的高，∠ABD=25°，利用三角形内角和定理求出∠A，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得∠C．
解答：解：∵BD为△ABC的高，∠ABD=25°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=25°=65°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠C=（180﹣∠A）=（180﹣65）=57.5°．
故选D．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，难度不大，属于基础题．
17、周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的，则该三角形的（ ）
A、腰和底边的高都是有理数 B、腰和底边的高都不是有理数
C、腰是有理数，底边上的高是无理数 D、腰是无理数，底边上的高是有理数
考点：等腰三角形的性质；无理数；直角三角形的性质。
专题：综合题。
分析：首先根据三角形的个边都为正数，且周长为有理数可判断三角形的腰和底都为有理数，再根据等腰三角形的性质得出，底边上的高等于底边的一半，因为底边为有理数，所以高也为有理数，由此可判断出此题的正确答案．
解答：解：因为三角形的三边都必须为正数，且三边之和要为有理数，
所以三角形的三边都必须是有理数，即边AB，AC，BC都为有理数，
因为AD=BC，又根据等腰三角形三线合一的性质得到：
D为BC的中点，所以BD=DC=AD=BC，
所以BD，CD，AD都为有理数，即等腰三角形的腰和底边上的高都为有理数．
故选A
点评：此题考查等腰三角形的三线合一的性质，是一道把几何知识与代数知识融合在一块的综合题．
18、等边三角形的三条高把这个三角形分成（ ）个直角三角形．
A、8 B、10
C、11 D、12
19、有下列说法：其中正确的个数是（ ）
（1）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
（2）三角之比为3：4：5的三角形为直角三角形；
（3）等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；
（4）一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等边三角形．
A、2个 B、3个
C、4个 D、1个
考点：等边三角形的判定；三角形三边关系；直角三角形的性质。
分析：考查等边三角形，直角三角形等的性质以及三角形三边关系：
（1）有一个角为60°的等腰三角形，则三个角都是60°，（2）中有三角比例，求出其大小即可判断是否为直角三角形，（3）根据三边关系可确定，（4）利用等边三角形的判定定理即可．
解答：解：（1）中三角形内角和为180°，且一个角为60°，又是等腰三角形，所以三角形只能是等边三角形；
（2）中根据三个角的比例求其角分别为45°，60°，75°，所以，不是直角三角形；
（3）三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以周长只能是10；
（4）等边三角形一边上的中线：该边边长=：2，故不是等边三角形．
所以正确的说法有两个，故选A．
点评：熟练掌握等边三角形，直角三角形等的性质以及三角形三边关系．
20、如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（ ）
A、48° B、42°
C、38° D、21°
二、填空题（共5小题）
21、有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1= 60 度时，电线杆与地面垂直．
考点：垂线；直角三角形的性质。
专题：应用题。
分析：将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．
解答：解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，
∴∠1=∠ACB=90°﹣30°=60°．
故答案为：60．
点评：解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
22、如图，直线l1∥l2且l1，l2被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3= 55 度．
23、如图，AB∥CD，AC⊥BC，垂足为C．若∠A=40°，则∠BCD= 50 度．
考点：平行线的性质；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：先根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答．
解答：解：∵∠A=40°，AC⊥BC，
∴∠B=90°﹣40°=50°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=50°．
点评：本题利用直角三角形两锐角互余和平行线的性质求解．
24、一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a= 75 度．
考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质。
分析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．
解答：解：由图可知，∠ACD=∠B+∠BAC=45°
∴∠BAC=45°﹣30°=15°
∴∠α=90°﹣15°=75°．
点评：解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质．
25、直角三角形两直角边的垂直平分线交于点P，则P点在 斜边中点 （填点P的位置）．
考点：线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质。
分析：利用三角形中位线的性质和直角三角形的性质判断．
解答：解：三角形ABC中，∠C=90°
作BC垂直平分线EF，交BC于F，交AB于E
因为AC垂直BC，EF垂直于BC
所以AC平行EF，又因为F是BC的中点
所以E是AB的中点
过E作EG垂直AB于G
显然，G是AC的中点，所以EG是AC的垂直平分线
所以直角三角形两直角边的垂直平分线交于斜边的中点．
故填P点在斜边中点．
点评：本题有一定的综合性，应用了三角形中位线的性质和直角三角形的性质，有利于学生提高对所学知识的综合运用能力．
三、解答题（共5小题）
26、设A是给定的正有理数．
（1）若A是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x、y、z，使得x2﹣y2=y2﹣z2=A．
（2）若存在3个正有理数x、y、z，满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．
考点：非一次不定方程（组）；三角形的面积；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a2+b2=c2，ab=A，由若a=b，求得=，可知a≠b；所以设a＜b，x=，y=，z=即可证得结论；
（2）设三个有理数x，y，z满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，则x＞y＞z，取a=x﹣z，b=x+z，c=2y，代入检验即可证得结论．
解答：解：（1）设a，b，c是直角三角形的三边长，a，b，c都是有理数，且a2+b2=c2，ab=A，
若a=b，则2a2=c2，=，这与a，c都是有理数的假定矛盾，故a≠b．
不妨设a＜b，取x=，y=，z=，则x，y，z都是有理数，
且x2﹣y2==ab=A，y2﹣z2==ab=A．
（2）设三个有理数x，y，z满足x2﹣y2=y2﹣z2=A，则x＞y＞z，取a=x﹣z，b=x+z，c=2y，则a，b，c都是有理数，
且a2+b2=2（x2+z2）=4y2=c2，ab=（x2﹣z2）=[（x2﹣y2）+（y2﹣z2）]=A．
即存在一个三边长a，b，c都是有理数的直角三角形，它的面积等于A．
点评：此题考查了有理数知识与完全平方式的应用．题目难度较大，注意构造符合要求的有理数是解题的关键．
27、如图，已知AB⊥AC，垂足为A，AD∥BC，且∠1=30°，试求∠2与∠B的度数．
28、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE垂足为E，AD⊥CE垂足为D，AD=2．cm，BE=1.7cm，求DE的长．
考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据BE⊥CE，AD⊥CE得∠E=∠ADC，则∠CAD+∠ACD=90°，再由∠ACB=90°，得∠BCE+∠ACD=90°，则∠BCE=∠CAD，从而证出△BCE≌△CAD，进而得出DE的长．
解答：解：∵AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
即∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
又∵AC=BC，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE=AD，BE=CD，
∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，
∴DE=CE﹣DC=2﹣1.7=0.3cm．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
29、如图，已知△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线．
（1）求△ACE与△ABE的周长的差；
（2）求AD的长并求△ABE的面积．
考点：线段垂直平分线的性质；三角形的面积；直角三角形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC﹣AB，易求其值；
（2）根据S△ABC=?AB?AC=?BC?AD，易求AD，进而可求△ADE的面积．
解答：解：（1）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长=AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）=AC﹣AB=8﹣6=2，
（2）∵S△ABC=?AB?AC=?BC?AD，
∴×6×8=×10?AD，
∴AD=，
∴S△ABE=?BE?AD=×5×=12cm2．
点评：本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
30、如图已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E在斜边BC上，CE=CA，求证：∠BAE=∠ACB．
考点：等腰三角形的性质；直角三角形的性质。
专题：证明题。
分析：根据直角三角形性质可证∠BAE=90°﹣∠CAE，根据等腰三角形的性质可证∠CAE=（180°﹣∠ACB），将后式代入前式即可证明∠BAE=∠ACB．
解答：证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠BAE=90°﹣∠CAE，
∵CE=CA，
∴∠CAE=（180°﹣∠ACB），
∴∠BAE=90°﹣∠CAE=90°﹣（180°﹣∠ACB）=∠ACB．
点评：此题主要考查学生对直角三角形性质和等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
