特殊三角形—直角三角形(2)(详细解析+考点分析+名师点评)

文档属性

名称 特殊三角形—直角三角形(2)(详细解析+考点分析+名师点评)
格式 zip
文件大小 1.2MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2013-09-27 15:29:56

文档简介

直角三角形—直角三角形斜边上的中线
一、选择题(共20小题)
1、如图,在△ABC中,AB=AC,BE⊥AC,D是AB中点,且DE=BE=AB.则∠C的度数是(  )
A、65° B、70°
C、75° D、80°
2、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个三角形的底角为(  )
A、30° B、75°
C、30°或60° D、75°或15°
3、如图,已知AD⊥BD,AC⊥BC,E为AB的中点,则△CDE一定是(  )
A、直角三角形 B、等腰直角三角形
C、等腰三角形 D、等边三角形
4、如图,等边三角形ABC中,AD是BC上的高,取AC的中点E,连接DE,则图中与DE相等的线段有(  )
A、1条 B、2条
C、3条 D、4条
5、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3cm.则中线CD的长度为(  )
A、cm B、cm
C、cm D、cm
6、如图,△ABC中,∠C=90°,D在CB上,E为AB之中点,AD、CE相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE=(  )
A、40° B、50°
C、60° D、70°
7、若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为(  )
A、10° B、20°
C、30° D、60°
8、如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是(  )
A、21 B、18
C、13 D、15
9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,则图中与CD相等的线段有( 21世纪教育网版权所有 )
A、AD与BD B、BD与BC
C、AD与BC D、AD、BD与BC
10、如图,∠ABC=∠ADC=Rt∠,E是AC的中点,则(  )
A、∠1>∠2 B、∠1=∠2
C、∠1<∠2 D、∠1与∠2大小关系不能确定
11、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是(  )
A、形状相同 B、周长相等
C、面积相等 D、全等
12、直角三角形中,斜边与斜边上中线的比等于(  )
A、2 B、
C、 D、1
13、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,D为AB的中点,则CD等于(  )
A、2cm B、2.5cm
C、3cm D、4cm
14、一个直角三角形斜边上的中线为5,斜边上的高为4,则此三角形的面积为(  )
A、25 B、16
C、20 D、10
15、直角三角形斜边上的中线为5,则斜边长为(  )
A、5 B、10
C、2.5 D、无法确定
16、如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,点D是AB的中点,点O是△ABC的重心,则OD的长为(  )
A、12 B、6
C、2 D、3
17、梯形的两底角之和为90°,上底长为5,下底长为11,则连接两底中点的线段长是(  )
A、3 B、4
C、5 D、6
18、如图,Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,则∠ACD的度数是(  )
A、35° B、45°
C、55° D、65°
19、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P点是BD的中点,若AD=6,则CP的长为(  )
A、3 B、3.5
C、4 D、4.5
20、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,且CD=4cm,则AB的长为(  )
A、4cm B、6cm
C、8cm D、10cm
二、填空题(共5小题)
21、若直角三角形的重心到直角顶点的距离为3厘米,则这个直角三角形的斜边长为 _________ 厘米.
22、直角三角形斜边长为6,那么三角形的重心到斜边中点的距离为 _________ .
23、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,点D是边AB中点,G是△ABC重心,那么GD= _________ .
24、如果直角三角形的斜边长为18,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 _________ .
25、如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=10厘米,则MD的长为 _________ 厘米.
三、解答题(共5小题)
26、如图所示,在△ABC中,CD是AB上的中线,且DA=DB=DC.
(1)已知∠A=30°,求∠ACB的度数;21世纪教育网
(2)已知∠A=40°,求∠ACB的度数;
(3)已知∠A=x°,求∠ACB的度数;
(4)请你根据解题结果归纳出一个结论.
27、如图,已知过△ABC的顶点A,在∠BAC内部任意作一条射线,过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE,M为BC边中点.求证:MD=ME.
28、如图:△ABD和△ACE都是Rt△,其中∠ABD=∠ACE=90°,C在AB上,连接DE,M是DE中点,求证:MC=MB.
21世纪教育网
29、如图,D为△ABC中线AM的中点,过M作AB、AC边的垂线,垂足分别为P、Q,过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N.
(1)求证:PN=QN;
(2)求证:MN⊥BC.
30、阅读并解答问题.
如图,已知:AD为△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD.
证明:延长AD至E使得DE=AD,连接EC,则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CED中

∴△ABD≌△CED
∴AB=EC
在△ACE中,根据三角形的三边关系有
AC+EC _________ AE
而AB=EC,AE=2AD
∴AB+AC>2AD
这种辅助线方法,我们称为“倍长中线法”,请利用这种方法解决以下问题:
(1)如图,已知:CD为Rt△ABC的中线,∠ACB=90°,求证:CD=;
(2)把(1)中的结论用简洁的语言描述出来.
直角三角形—直角三角形斜边上的中线
答案与评分标准
一、选择题(共20小题)
1、如图,在△ABC中,AB=AC,BE⊥AC,D是AB中点,且DE=BE=AB.则∠C的度数是(  )
A、65° B、70°
C、75° D、80°
考点:等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线。
专题:证明题。
分析:根据已知条件“BE⊥AC,且D为AB中点”知,DE是直角三角形ABE斜边上的中线,所以由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BD=DE=AD;然后由30°角所对的直角边等于斜边的一半求得∠A=30°;最后根据△ABC的内角和是180°、两个底角∠ABC=∠C,求得∠C的度数.
解答:解:∵BE⊥AC(已知),且D为AB中点,
∴DE为直角三角形ABE斜边上的中线,
∴BD=DE=AD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);
又∵BE=DE
∴BE=AB(等量代换);
∴∠A=30°;
在△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠C(等边对等角),
∴∠C=×(180°﹣30°)=75°(三角形内角和定理).
故选C.
点评:本题考查了等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形以及直角三角形斜边上的中线.解答该题时,注意充分利用隐含在题干中的已知条件:△ABC的内角和是180°.
2、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个三角形的底角为(  )
A、30° B、75°21世纪教育网版权所有
C、30°或60° D、75°或15°
考点:等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线。
分析:首先根据题意作图,然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析,根据直角三角形中,如果直角边是斜边的一半,则此直角边所对的角是30°角,再由等边对等角的知识,即可求得这个三角形的底角.
解答:解:如图①:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∵CD=AC,
∴∠A=30°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB==75°;
如图②:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∵CD=AC,
∴∠CAD=30°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB
∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B=30°,
∴∠B=∠ACB=15°.
这个三角形的底角为:75°或15°.
故选D.
点评:此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.
3、如图,已知AD⊥BD,AC⊥BC,E为AB的中点,则△CDE一定是(  )
A、直角三角形 B、等腰直角三角形
C、等腰三角形 D、等边三角形
考点:等腰三角形的判定;直角三角形斜边上的中线。
4、如图,等边三角形ABC中,AD是BC上的高,取AC的中点E,连接DE,则图中与DE相等的线段有(  )
A、1条 B、2条
C、3条 D、4条
5、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3cm.则中线CD的长度为(  )
A、cm B、cm
C、cm D、cm
考点:含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线。
专题:计算题。
分析:根据30°角所对的直角边等于斜边的一半利用勾股定理求出AB的长度,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答即可.
解答:解:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴BC=AB,
∵AB2=BC2+AC2,
∴AB2=AB2+32,
解得AB=2,
∵CD是斜边AB上的中线,
∴CD=AB=cm.
故选D.
点评:本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,以及勾股定理的应用,准确识图并熟记性质是解题的关键.
6、如图,△ABC中,∠C=90°,D在CB上,E为AB之中点,AD、CE相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE=(  )
A、40° B、50°
C、60° D、70°
7、若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为(  )
A、10° B、20°
C、30° D、60°
考点:直角三角形斜边上的中线;含30度角的直角三角形。
分析:首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得直角三角形的斜边是短直角边的2倍,由此即可求出最小内角.
解答:解:∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
而斜边上的中线等于最短的直角边长,
∴直角三角形的斜边是短直角边的2倍,
则它的最小内角是30°.
故选C.
点评:此题运用了:
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(2)直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,则该直角边所对的角是30°.
8、如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是(  )
A、21 B、18
C、13 D、15
考点:直角三角形斜边上的中线。
分析:根据“BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点”得到FM=EM=BC,所以△EFM的周长便不难求出.
解答:解:∵BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,
∴在Rt△BCE中,EM=BC=4,
在Rt△BCF中,FM=BC=4,
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.
故选C.
点评:本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,则图中与CD相等的线段有(  )
A、AD与BD B、BD与BC
C、AD与BC D、AD、BD与BC
10、如图,∠ABC=∠ADC=Rt∠,E是AC的中点,则(  )
A、∠1>∠2 B、∠1=∠2
C、∠1<∠2 D、∠1与∠2大小关系不能确定
考点:直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质。
分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可以证明DE=BE,再根据等腰三角形的性质即可解答.
解答:解:∵∠ABC=∠ADC=Rt∠,E是AC的中点,
∴DE=AC,BE=AC,
∴DE=BE,
∴∠1=∠2.
故选B.
点评:此题综合运用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质.
11、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是(  )
A、形状相同 B、周长相等
C、面积相等 D、全等
考点:直角三角形斜边上的中线。21世纪教育网
分析:A、题目已知条件不能证明△ACD与△CDB的形状相同;
B、又AC≠BC,所以△ACD与△CDB的周长不等;
C、如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CE是AB上的高,根据直角三角形的性质可以推CD=AD=BD,再根据三角形的面积公式可以得到S△ACD=S△CBD;
D、此题可根据直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法进行判断.
12、直角三角形中,斜边与斜边上中线的比等于(  )
A、2 B、
C、 D、1
考点:直角三角形斜边上的中线。
分析:根据直角三角形的性质进行判断即可.
解答:解:根据直角三角形的性质,知:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
故选A.
点评:本题考查的是直角三角形的性质:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
13、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,D为AB的中点,则CD等于(  )
A、2cm B、2.5cm
C、3cm D、4cm
考点:直角三角形斜边上的中线。
分析:本题涉及到的知识点是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,所以有CD=AB,故可直接求得结果.
解答:解:∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∴CD=AB=2.5cm.
故选B.
点评:此题主要是考查了直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
14、一个直角三角形斜边上的中线为5,斜边上的高为4,则此三角形的面积为(  )
A、25 B、16
C、20 D、10
考点:直角三角形斜边上的中线。
分析:根据直角三角形的性质可得出斜边的长,进而可根据三角形的面积公式求出此三角形的面积.
解答:解:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知:此三角形的斜边长为10;
所以此三角形的面积为:×10×4=20.故选C.
点评:本题主要考查直角三角形的性质以及三角形的面积计算方法.
15、直角三角形斜边上的中线为5,则斜边长为(  )
A、5 B、10
C、2.5 D、无法确定
考点:直角三角形斜边上的中线。
分析:直接根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出斜边.
解答:解:∵在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,
而斜边上的中线为5,
∴斜边长=5×2=10.
故选B.
点评:本题考查了直角三角形的性质:斜边上的中线等于斜边的一半.
16、如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,点D是AB的中点,点O是△ABC的重心,则OD的长为(  )
A、12 B、6
C、2 D、3
考点:直角三角形斜边上的中线;三角形的重心。
分析:在Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,根据直角三角形的性质易求得CD的长,再根据三角形重心的性质即可求得OD的长.
解答:解:Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,点D是AB的中点
∴CD=AB=6
∵点O是△ABC的重心
∴OD=CD=2.
故选C.
点评:三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍,是需要熟记的内容.
17、梯形的两底角之和为90°,上底长为5,下底长为11,则连接两底中点的线段长是(  )
A、3 B、4
C、5 D、6
考点:直角三角形斜边上的中线。
分析:做EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M、N,根据平行四边形的判定可得到四边形AEMB是平行四边形,四边形EDCN是平行四边形,再根据平行四边形的性质可推出AE=BM,ED=NC,利用直角三角形斜边上的中线定理可判定△EMN为直角三角形,再根据线段之间的关系可推出F点为线段MN的中点,从而不难推出EF与BC﹣AD之间的数量关系,已知EF的长,则不难求解.
解答:解:如图梯形ABCD,AD∥BC,∠B+∠C=90°,AD=5,BC=11,E,F分别是AD,BC的中点.
做EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M、N.
∵EM∥AB,EN∥CD,
∴∠B=∠EMN,∠C=∠ENM,
∵AD∥BC,
∴四边形AEMB是平行四边形,四边形EDCN是平行四边形,
∴AE=BM,ED=NC,
∵∠B+∠C=90°.
∴∠EMN+∠ENM=90°,
∴△EMN为直角三角形,
∵BF=FC,BM=AE,NC=ED,AE=ED,
∴BM=NC,
∴MF=FN,
∴F点为线段MN的中点,
∵△MEN为直角三角形,
∴EF=MN,
∵MN=BC﹣BM﹣NC=BC﹣AE﹣ED=BC﹣(AE+ED)=BC﹣AD,
∴EF=(BC﹣AD),
∵AD=5,BC=11
∴EF=3,
故选A.
点评:此题主要考查平行四边形的判定与性质及直角三角形斜边上的中线的定理的综合运用.
18、如图,Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,则∠ACD的度数是(  )
A、35° B、45°
C、55° D、65°
19、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P点是BD的中点,若AD=6,则CP的长为(  )
A、3 B、3.5
C、4 D、4.5
考点:直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质。
分析:由题意推出BD=AD,然后,在Rt△BCD中,CP=BD,即可推出CP的长度.
解答:解:∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=30°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠DBA=30°,
∴BD=AD,
∵AD=6,
∴BD=6,
∵P点是BD的中点,
∴CP=BD=3.
故选A.
点评:本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质,关键在于根据已知推出BD=AD,求出BD的长度.
20、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,且CD=4cm,则AB的长为(  )
A、4cm B、6cm
C、8cm D、10cm
考点:直角三角形斜边上的中线。
专题:计算题。
分析:此题考查了直角三角形的性质,根据直角三角形的性质直接求解.
解答:解:∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,CD=4,
∴AB=2CD=8.
故选C.
点评:本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.解决此题的关键是要熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
二、填空题(共5小题)
21、若直角三角形的重心到直角顶点的距离为3厘米,则这个直角三角形的斜边长为 9 厘米.
考点:三角形的重心;直角三角形斜边上的中线。
分析:根据三角形重心的性质可求得这条中线的长,再根据三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得斜边的长.
解答:解:∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,角三角形的重心到直角顶点的距离为3cm,
∴这条中线长为(斜边上的中线)4.5cm.
∴斜边长9cm.
故答案为:9cm.
点评:此题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质和重心的性质,熟练掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解决问题的关键.
22、直角三角形斜边长为6,那么三角形的重心到斜边中点的距离为 1 .
考点:三角形的重心;直角三角形斜边上的中线。
分析:根据重心是三角形三边中线的交点,以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 即可得出答案.
解答:解:∵直角三角形斜边长为6,
∴斜边上的中线长为3,
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,
∴三角形的重心到斜边中点的距离为1,
故答案为:1.
点评:此题主要考查了三角形的重心的性质以及直角三角形斜边上中线的性质,利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解决问题的关键.
23、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,点D是边AB中点,G是△ABC重心,那么GD= 2 .
考点:三角形的重心;直角三角形斜边上的中线。
专题:计算题。
分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得CD的长,再根据重心的性质即可求解.
解答:解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=12,D是边AB上的中点.
∴CD=AB=6.
∴GD=CD=2.
故答案为:2.
点评:此题考查了重心的概念和性质:三角形的重心是三角形三条中线的交点,且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.
24、如果直角三角形的斜边长为18,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 6 .
考点:三角形的重心;直角三角形斜边上的中线。
分析:首先根据题意作图,然后由AB=18,∠ACB=90°,G为Rt△ABC的重心,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求得CD的长,又由重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍,即可求得这个直角三角形的重心到直角顶点的距离.
解答:解:根据题意的:AB=18,∠ACB=90°,E为Rt△ABC的重心,
∴AD=BD,DE:CE=1:2,
∴CD=AB=×18=9,CE:CD=2:3,
∴CE=CD=×9=6.
故答案为:6.
点评:此题考查了直角三角形的性质与三角形重心的性质.解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍定理的应用.
25、如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点,AB=10厘米,则MD的长为 5 厘米.
考点:三角形的外角性质;三角形内角和定理;直角三角形斜边上的中线。
专题:计算题。
分析:取AB中点N,连接DN,MN.根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质证明∠NDB=∠B,根据三角形的中位线定理和平行线的性质证明∠NMB=∠C,结合三角形的外角的性质和已知条件可得∠DNM=∠C=∠NMD,从而发现DM=DN.
解答:解:取AB中点N,连接DN,MN.
在Rt△ADB中,N是斜边AB上的中点,
∴DN=AB=BN.
∴∠NDB=∠B.
在△ABC中,M,N分别是BC,AB的中点.
∴MN∥AC,
∴∠NMB=∠C.
又∠NDB是△NDM的外角,
∴∠NDB=∠NMD+∠DNM.
即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM.
又∠B=2∠C,
∴∠DNM=∠C=∠NMD.
∴DM=DN.
又AB=10(厘米),
∴DM=5(厘米).
故答案为5.
点评:此题综合运用了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质和三角形的外角的性质.
三、解答题(共5小题)
26、如图所示,在△ABC中,CD是AB上的中线,且DA=DB=DC.
(1)已知∠A=30°,求∠ACB的度数;
(2)已知∠A=40°,求∠ACB的度数;
(3)已知∠A=x°,求∠ACB的度数;
(4)请你根据解题结果归纳出一个结论.
考点:三角形内角和定理;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线。
分析:(1)(2)(3)利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出答案;
(4)三角形中,一边上的中线等于这边的一半,那么这边所对的角等于90°.
解答:解:(1)∵在△ABC中,CD是AB上的中线,且DA=DC,∠A=30°
∴∠ACD=30°
∵∠CDB是△ACD的外角
∴∠CDB=60°
∵DB=CD
∴∠DCB=∠B=60°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=30°+60°=90°;
(2)若∠A=40°,同(1),可知∠ACD=40°,∠CDB=40°+40°=80°
∠DCB=(180°﹣∠CDB)=(180°﹣80°)=50°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=40°+50°=90°;
(3)若∠A=x°,同(1),可知∠ACD=x°,∠CDB=x°+x°=2x°
∠DCB=(180°﹣∠CDB)=(180°﹣2x°)=90°﹣x°,故∠ACB=∠ACD+∠DCB=x°+90°﹣x°=90°;
(4)三角形中,一边上的中线等于这边的一半,那么这边所对的角等于90°.
点评:此题考查的是等腰三角形及直角三角形的性质.
27、如图,已知过△ABC的顶点A,在∠BAC内部任意作一条射线,过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE,M为BC边中点.求证:MD=ME.
考点:全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线。
专题:证明题。
分析:延长DM交CE于N,通过证明△DBM≌△NCM(ASA)得出DM=MN,再根据直角三角形的性质即可得出结论.
解答:证明:延长DM交CE于N(如图)
∵BD⊥AD,CE⊥AD,
∴BD∥CE,
∴∠1=∠2,
又∵BM=CM,∠BMD=∠CMN,
∴△DBM≌△NCM(ASA),
∴DM=MN,又∠DEN=90°,
∴DM=EM=MN.
点评:本题考查了全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质:在应用全等三角形的判定时,必要时添加适当辅助线构造三角形;在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.本题关键是添加辅助线找到中间线段MN.
28、如图:△ABD和△ACE都是Rt△,其中∠ABD=∠ACE=90°,C在AB上,连接DE,M是DE中点,求证:MC=MB.
考点:全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线。
专题:证明题。
分析:延长CM、DB交于G,先证△ECM≌△DMG,得CM=MG,于是在Rt△CBG中,.
解答:证明:延长CM、DB交于G,
∵△ABD和△ACE都是Rt△,
∴CE∥BD,即CE∥DG,
∴∠CEM=∠GDM,∠MCE=∠MGD
又∵M是DE中点,即CM=MG,
∴△ECM≌△DMG,
∵G在DB的延长线上,
∴△CBG是Rt△CBG,
∴在Rt△CBG中,.
点评:此题考查学生对全等三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半,这一知识点的理解和掌握.此题的关键是作好辅助线:延长CM、DB交于G.此题有一定的难度,属于难题.
29、如图,D为△ABC中线AM的中点,过M作AB、AC边的垂线,垂足分别为P、Q,过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N.
(1)求证:PN=QN;
(2)求证:MN⊥BC.
考点:全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线。
分析:(1)要证明PN=QN,只有证明这两条线段所在的三角形全等就可以了,连接DN,利用斜边直角边对应相等的两个三角形全等就可以了.
(2)△BPM和△CQM是直角三角形,由条件知道MB=CM,取BM、CM的中点S、T,连接PS、QT可以得到PS=QT,利用角的关系证明∠SPN=∠TQN,再证明△SPN≌△TQN,从而得到NS=NT,利用等腰三角形的三线合一的性质证明MN⊥BC.
解答:证明:(1)连接DN
∵D为△ABC中线AM的中点
∴AD=MD,MB=CM
∵MP⊥AB,MQ⊥AC
∴∠APM=∠AQM=90°
∴△APM、△APQ是直角三角形
∴PD=AM,QD=AM
∴PD=QD
∴Rt△DPN≌Rt△DQN(HL)
∴NP=PQ;
(2)取BM、CM的中点S、T,连接SP、SN、TQ、TN
∴SP=BM=MC=TQ
∴∠SPN=90°﹣∠BPS﹣∠NPM=90°﹣∠B﹣∠DPA=90°﹣∠B﹣∠BAM=90°﹣∠AMC=90°﹣∠DMQ﹣∠QMT=90°﹣∠DQM﹣∠MQT=∠TQN
∴△SPN≌△TQN
∴SN=TN
∵SM=TM
∴NM⊥BC
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形的判定与性质.
30、阅读并解答问题.
如图,已知:AD为△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD.
证明:延长AD至E使得DE=AD,连接EC,则AE=2AD
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CED中

∴△ABD≌△CED
∴AB=EC
在△ACE中,根据三角形的三边关系有
AC+EC > AE
而AB=EC,AE=2AD
∴AB+AC>2AD
这种辅助线方法,我们称为“倍长中线法”,请利用这种方法解决以下问题:
(1)如图,已知:CD为Rt△ABC的中线,∠ACB=90°,求证:CD=;
(2)把(1)中的结论用简洁的语言描述出来.
考点:全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线。
分析:(1)延长CD至E使DE=CD,连接EB,AE.先证△ADC≌△BDE,得AC=BE,四边形ACBE是平行四边形,进而得出平行四边形ACBE是矩形,得AB=CE=2CD;
(2)根据证明的结论得出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质等知识,根据已知得出AB=CE利用矩形性质得出是解决问题的关键.
直角三角形—等腰直角三角形21世纪教育网
一、选择题(共20小题)
1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?(  )
A、0根 B、1根
C、2根 D、3根
2、下列说法中,正确的个数是( 21世纪教育网版权所有 )
①实数包括有理数、无理数和零;
②三角形的三边之比为,则三角形为等腰直角三角形;
③幂的乘方,底数不变,指数相加;
④平方根与立方根都等于它本身的数为0和1.
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个21世纪教育网
3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,边AC落在数轴上,点A表示的数是1,点C表示的数是3.以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1,则点B1所表示的数是(  )
A、﹣2 B、﹣2
C、1﹣2 D、2﹣1
4、如图,在△ABC中,∠BAC=45度,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,且EH=EB.小马虎在研究时得到四个结论:①∠ABC=45°;②AH=BC;③AE﹣BE=CH;④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是(  )
A、①②③④ B、②③④
C、①②③ D、②③
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于点E,且AB=6,则△DEB的周长为(  )
A、4 B、6
C、8 D、10
6、如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,DH⊥BC于H,交BE于G,下列结论:①BD=CD;②AD+CF=BD;③CE=BF;④AE=BG.其中正确的是(  )
A、①② B、①③
C、①②③ D、①②③④
7、如图:△ABC中,AD⊥BC于D点,BE⊥AC于E点,BF=AC,则∠ABC的度数为(  )
A、50° B、45°
C、40° D、30°
8、△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,其初始位置如图所示,若△AEF绕A点顺时针旋转,则BE与CF大小关系为(  )
A、BE>CF B、BE=CF
C、BE<CF D、无法确定
9、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交AP于G.给出四个结论:①AE=CF;②EF=AP;③△EPF是等腰直角三角形;④∠AEP=∠AGF.其中正确的结论有(  )
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
10、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为(  )
A、3cm B、6cm
C、cm D、cm
11、在△ABC中,BC:AC:AB=1:1:,则△ABC是(  )
A、等腰三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
12、等腰直角三角形的一个底角的度数是(  )
A、30° B、45°
C、60° D、90°
13、如图,在Rt△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.E、F分别是CD、AD上的点,且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF=(  )
A、62° B、38°
C、28° D、26°
14、如图,点A是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点),图中每个小正方形的边长为1,以A为其中的一个顶点,面积等于的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是(  )
A、10个 B、12个
C、14个 D、16个
15、用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形:①等腰三角形;②等边三角形;③正方形;④等腰梯形.一定可以拼成的图形有(  )
A、①③ B、②④
C、②③ D、①④
16、如图,在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中,若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触,则此时水杯中的水深为(  )
A、2cm B、4cm
C、6cm D、8cm
17、如图,将圆桶中的水倒入一个直径为40cm,高为55cm的圆口容器中,圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度.若使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为(  )
A、10cm B、20cm
C、30cm D、35cm
18、设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个图中,能表示它们之间关系的是(  )
A、 B、
C、 D、
19、已知点A和点B(如图),以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可作出(  )
A、2个 B、4个
C、6个 D、8个
20、△ABC为等腰直角三角形,∠C=90°,D为BC上一点,且AD=2CD,则∠DAB=(  )
A、30° B、45°
C、60° D、15°
二、填空题(共5小题)
21、如图,直线m∥n,△ABC为等腰直角三角形,若∠1=30°,那么∠2= _________ 度.
22、如图,△ABC的两条高线AD、BE交于点H,且AC=BH,∠C=70°,则∠ABH= _________ 度.21世纪教育网
23、四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,E是AD延长线上一点,若DE=AB=4cm,CE=3cm,则AD的长是 _________ cm.
24、如图,△ABD中,∠BAD=45°,AE⊥BD于E,DF⊥AB于F,交AE于G,BE=4,DE=3,则AG= _________ .
25、如图,已知△ABC为等腰直角三角形,D为斜边AB上任意一点,(不与点A、B重合),连接CD,作EC⊥DC,且EC=DC,连接AE,则∠EAC为 _________ 度.
三、解答题(共5小题)
26、已知两个等腰直角三角形(△ACB和△BED)的边长分别为a,b(a<b),如图放置在一起,连接AD.
(1)求阴影部分(△ABD)的面积;
(2)如果点P正好位于线段CE的中点,连接AP、DP得到△APD,求△APD的面积
(3)请你用所学的知识比较△ABD和△APD的面积大小.
27、一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成,利用这副三角板构成一个15°角的方法很多,请你按下列要求画图,并回答问题.
(1)画一个15°的角和一个105°的角;
(2)利用我们常用的画图工具,你有哪些方法检验你所画的两个角的准确性?
28、如图,△ABC、△ECD都是等腰直角三角形,且C在AD上.AE的延长线与BD交于F.请你在图中找出一对全等的三角形,并写出证明它们全等的过程.
29、已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB边上一点,且不与A、B两点重合,AE⊥AB,AE=BD,连接DE、DC.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)猜想:△DCE是 _________ 三角形;并说明理由.
30、如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D.
(1)△ACD≌△CBE.
(2)若AD=2.5cm,DE=1.1cm.求BE的长.
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答案与评分标准
一、选择题(共20小题)
1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?(  )
A、0根 B、1根
C、2根 D、3根
考点:三角形的稳定性。
专题:存在型。
分析:根据三角形的稳定性进行解答即可.
解答:解:加上AC后,原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC,
故这种做法根据的是三角形的稳定性.
故选B.
点评:本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用,比较简单.
2、下列说法中,正确的个数是(  )
①实数包括有理数、无理数和零;
②三角形的三边之比为,则三角形为等腰直角三角形;
③幂的乘方,底数不变,指数相加;
④平方根与立方根都等于它本身的数为0和1.
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
点评:此题主要考查了实数的定义以及等腰直角三角形的判定和幂的乘方运算、平方根的定义,熟练应用相关定理是解决问题的关键.
3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,边AC落在数轴上,点A表示的数是1,点C表示的数是3.以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1,则点B1所表示的数是(  )
A、﹣2 B、﹣2
C、1﹣2 D、2﹣1
考点:实数与数轴;等腰直角三角形。
专题:常规题型。
分析:先求出AC的长度,再根据勾股定理求出AB的长度,然后根据数轴的特点,从点A向左AB个单位即可得到点B1.
解答:解:根据题意,AC=3﹣1=2,
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴AB===2,
∴点B1表示的数是1﹣2.
故选C.
点评:本题主要考查了实数与数轴,勾股定理,求出AB的长度是解题的关键.
4、如图,在△ABC中,∠BAC=45度,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,且EH=EB.小马虎在研究时得到四个结论:①∠ABC=45°;②AH=BC;③AE﹣BE=CH;④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是(  )
A、①②③④ B、②③④
C、①②③ D、②③
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。
分析:①根据AD⊥BC,若∠ABC=45°则∠BAD=45°,而∠BAC=45°,很明显不成立;
②③可以通过证明△AEH与△CEB全等得到;
④CE⊥AB,∠BAC=45°,所以是等腰直角三角形.
解答:解:①假设∠ABC=45°成立,
∵AE=CE,CE⊥AB,所以△AEC是等腰直角三角形,故选项④正确.
∴②③④正确.
故选B.
点评:本题主要利用全等三角形的对应边相等进行证明,找出相等的对应边后,注意线段之间的和差关系.
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于点E,且AB=6,则△DEB的周长为(  )
A、4 B、6
C、8 D、10
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。21世纪教育网
分析:因为AC和BC相等,所以△ACB是等腰直角三角形,然后又利用角平分线,推出全等,最后得出结果.
解答:解:∵CA=CB,∠C=90°,AD平分∠CAB,
∴△ACB为等腰直角三角形,BC=AC=AE,
∴△ACD≌△AED,
∴CD=DE,
又∵DE⊥AB于点E,
∴△EDB为等腰直角三角形,DE=DB=CD,
∴△DEB的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=AE+EB=AB=6,
∴周长为6.
故选B.
点评:本题利用全等三角形的性质,来解出周长,解题时应注意找准边的关系,用递推的方式解答.
6、如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,DH⊥BC于H,交BE于G,下列结论:①BD=CD;②AD+CF=BD;③CE=BF;④AE=BG.其中正确的是(  )
A、①② B、①③
C、①②③ D、①②③④
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确;
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∵∠DBF=90°﹣∠BFD,∠DCA=90°﹣∠EFC,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC.
∴BF=AC;DF=AD.
∵CD=CF+DF,
∴AD+CF=BD;故②正确;
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AE=AC.
又由(1),知BF=AC,
∴CE=AC=BF;故③正确;
连接CG.
∵△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD
又DH⊥BC,
∴DH垂直平分BC.∴BG=CG
在Rt△CEG中,
∵CG是斜边,CE是直角边,
∴CE<CG.
∵CE=AE,
∴AE<BG.故④错误.
故选C.
点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL.在复杂的图形中有45°的角,有垂直,往往要用到等腰直角三角形,要注意掌握并应用此点.
7、如图:△ABC中,AD⊥BC于D点,BE⊥AC于E点,BF=AC,则∠ABC的度数为(  )
A、50° B、45°
C、40° D、30°
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。
分析:根据三角形全等的判定和性质,先证△ADC≌△BDF,可得BD=AD,可求∠ABC=∠BAD=45°.
解答:解:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,
∴∠EAF+∠AFE=90°,∠DBF+∠BFD=90,
又∵∠BFD=∠AFE(对顶角相等),
∴∠EAF=∠DBF,
在Rt△ADC和Rt△BDF中,
∴△ADC≌△BDF,
∴BD=AD,
即∠ABC=∠BAD=45°.
故选:B.
点评:此题主要考查了三角形全等的判定,三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
8、△ABC和△AEF均为等腰直角三角形,其初始位置如图所示,若△AEF绕A点顺时针旋转,则BE与CF大小关系为(  )
A、BE>CF B、BE=CF
C、BE<CF D、无法确定
点评:本题考查了全等三角形的证明,属于基础题,比较简单.
9、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交AP于G.给出四个结论:①AE=CF;②EF=AP;③△EPF是等腰直角三角形;④∠AEP=∠AGF.其中正确的结论有(  )
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。
分析:根据等腰直角三角形的性质得:AP⊥BC,AP=BC,AP平分∠BAC.所以可证∠C=∠EAP;∠FPC=∠EPA;AP=PC.即证得△APE与△CPF全等.根据全等三角形性质判断结论是否正确.
解答:解:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,
∴AP⊥BC,AP=BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C.
∵∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°,
∴∠FPC=∠EPA.
∴△APE≌△CPF(ASA).
∴①AE=CF;③EP=PF,即△EPF是等腰直角三角形;
④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°,
∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°,
∴∠AEP=∠AGF.
故正确的有①、③、④,共三个.
因此选C.
点评:此题考查全等三角形的判定和性质,综合性较强.
10、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为(  )
A、3cm B、6cm
C、cm D、cm
点评:此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题,关键是先由求得直角边,再由勾股定理求出最大边.
11、在△ABC中,BC:AC:AB=1:1:,则△ABC是(  )
A、等腰三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
考点:等腰直角三角形。
专题:常规题型。
分析:根据题意设出三边分别为k、k、k,然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形,又有BC、AC边相等,所以三角形为等腰直角三角形.
解答:解:设BC、AC、AB分别为k,k,k,
∵k2+k2=(k)2,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
又BC=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
故选D.
点评:本题主要考查了直角三角形的判定,利用设k法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点,也是解题的关键.
12、等腰直角三角形的一个底角的度数是( 21世纪教育网版权所有 )
A、30° B、45°
C、60° D、90°
考点:等腰直角三角形;三角形内角和定理。
分析:根据等腰直角三角形的定义可知其顶角为90°,然后可根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出其底角的度数.
解答:解:等腰直角三角形一个底角的度数=(180°﹣90°)÷2=45°.故选B.
点评:本题主要考查等腰直角三角形的性质,及三角形内角和定理.难度不大.
13、如图,在Rt△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.E、F分别是CD、AD上的点,且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF=(  )
A、62° B、38°
C、28° D、26°
考点:等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线。
分析:主要考查:等腰三角形的三线合一,直角三角形的性质.注意:根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE.
解答:解:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD.
又∵∠BAC=90°,
∴BD=AD=CD.
又∵CE=AF,
∴DF=DE.
∴Rt△BDF≌Rt△ADE.
∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°.
故选C.
点评:熟练运用等腰直角三角形三线合一性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
14、如图,点A是5×5网格图形中的一个格点(小正方形的顶点),图中每个小正方形的边长为1,以A为其中的一个顶点,面积等于的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是(  )
A、10个 B、12个
C、14个 D、16个
考点:等腰直角三角形。
专题:网格型。
分析:本题的关键是分析清楚面积等于,那么直角边就应该是.然后以此为半径画圆.
解答:解:面积等于的格点,而且是等腰直角三角形,所以就要求直角边为,
正好是一个一格和二格的矩形的对角线,
所以以点A为圆心,为半径画圆,与格点的交点就是三角形的另一点,
所以圆与格点的交点一共有8个,
而且每一个可以组成两个等腰直角三角形,所以一共有16个.
故选D.
点评:利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题,其关键是根据题意,画出符合实际条件的图形,再利用数学知识来求解.
15、用两个全等的等腰直角三角形拼下列图形:①等腰三角形;②等边三角形;③正方形;④等腰梯形.一定可以拼成的图形有(  )
A、①③ B、②④
C、②③ D、①④
考点:等腰直角三角形。
专题:综合题。
分析:可以将两个直角三角形拼拼,即可得到可以拼成等腰三角形与正方形.
解答:解:①如图:
∵∠B=∠B′=45°,∴可以拼成等腰三角形;
③如图:

∴可以拼成正方形;
∴一定可以拼成的图形有①③.
故选A.
点评:此题考查了等腰直角三角形的性质.此题培养了学生的动手能力.
16、如图,在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中,若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触,则此时水杯中的水深为(  )
A、2cm B、4cm
C、6cm D、8cm
考点:等腰直角三角形。
专题:应用题。
分析:易得易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形,底边长为8,可得底边上的高.让10减去底边上的高即为水深.
解答:解:∵易拉罐进入水杯部分为等腰直角三角形,而斜边与圆水杯底相等为8cm.
∴P点到杯口距离为4 cm.
∴水深为10﹣4=6cm.
故选C.
点评:本题考查解直角三角形在生活中应用,背景新颖.
17、如图,将圆桶中的水倒入一个直径为40cm,高为55cm的圆口容器中,圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度.若使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为(  )
A、10cm B、20cm
C、30cm D、35cm
考点:等腰直角三角形。
专题:应用题。
分析:由题可知,进入容器中的三角形ABC可看作是一个斜边为40的等腰直角三角形,所以在此三角形中斜边上的高应该为20,因此若使高为55容器中的水面与圆桶相接触,由此可以求出水深.
解答:解:如图,依题意得△ABC是一个斜边为40的等腰直角三角形,
∴此三角形中斜边上的高应该为20,
∴水深至少应为55﹣20=35cm.
故选D.
点评:解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,抽象到等腰直角三角形中,利用它的性质即可解答.
18、设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形,则下列四个图中,能表示它们之间关系的是(  )
A、 B、
C、 D、
考点:等腰直角三角形。
分析:根据它们的概念:有一个角是直角的三角形是直角三角形;有两条边相等的三角形是等腰三角形;有三条边相等的三角形是等边三角形;有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形.
根据概念就可找到它们之间的关系.
解答:解:根据各类三角形的概念可知A可以表示它们彼此之间的包含关系.故选A.
点评:考查了三角形中各类三角形的概念,根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系.
19、已知点A和点B(如图),以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可作出(  )
A、2个 B、4个
C、6个 D、8个
综上可知,可作6个等腰直角三角形,故选C.
点评:等腰直角三角形两腰相等,顶角为直角,据此可以构造出等腰直角三角形.关键是以AB为腰和以AB为底来讨论.
20、△ABC为等腰直角三角形,∠C=90°,D为BC上一点,且AD=2CD,则∠DAB=(  )
A、30° B、45°
C、60° D、15°
考点:等腰直角三角形。
分析:在Rt△ADC中,由=得到∠ADC=60°,而∠ADC=45°=∠B+∠DAB,根据等腰直角三角形即可求出∠ADC.
解答:解:在Rt△ADC中
∵=
∴∠ADC=60°
而∠ADC=∠B+∠DAB
∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠B=45°
∴∠ADC=15°.
故选D.
点评:本题利用了:
(1)直角三角形的性质;
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;
(3)等腰直角三角形的性质,两个锐角均为45度.
二、填空题(共5小题)
21、如图,直线m∥n,△ABC为等腰直角三角形,若∠1=30°,那么∠2= 105 度.
点评:此题考查了平行线的性质,等腰直角三角形的性质,以及对顶角相等的知识.此题比较简单,解题的关键是注意掌握两直线平行,同旁内角互补定理的应用.
22、如图,△ABC的两条高线AD、BE交于点H,且AC=BH,∠C=70°,则∠ABH= 15 度.
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。
分析:根据AAS可以证明△BDH≌△ADC,得BD=AD,则三角形ABD是等腰直角三角形,得∠ABD=45°;根据直角三角形的两个锐角互余,求得∠CBE的度数,从而求得∠ABH的度数.
解答:解:∵△ABC的两条高线AD、BE交于点H,
∴∠DBH+∠C=∠DAC+∠C=90°,
∴∠DBH=∠DAC.
又AC=BH,∠BDH=∠ADC=90°,
∴△BDH≌△ADC,
∴BD=AD,
∴∠ABD=∠BAD=45°,
又∠DBH=90°﹣∠C=20°,
∴∠ABH=∠ABD﹣∠DBH=15°.
点评:此题综合运用了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质.
23、四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,E是AD延长线上一点,若DE=AB=4cm,CE=3cm,则AD的长是 3﹣4 cm.
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。
分析:连接AC,那么可证得△ABC、△EDC全等,进而可得到△ACE是等腰直角三角形,在等腰Rt△ACE中,已知直角边CE的长,即可求得斜边AE的值,从而由AD=AE﹣DE得解.
解答:解:如图;连接AC;
由于∠A=∠BCD=90°,那么∠B、∠ADC互补,
所以∠B=∠EDC;
又BA=DE,BC=CD,
∴△ABC≌△EDC,
∴AC=CE,∠BCA=∠DCE,即∠BCD=∠AEC=90°,
∴△ACE是等腰直角三角形;
已知CE=3cm,则AE=3cm,AD=AE﹣DE=(3﹣4)cm.
点评:此题主要考查的是全等三角形的判定和性质,准确作出辅助线,构造出全等三角形是解决问题的关键.
24、如图,△ABD中,∠BAD=45°,AE⊥BD于E,DF⊥AB于F,交AE于G,BE=4,DE=3,则AG= 7 .
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。
分析:由∠BAD=45,DF⊥AB于F得AF=DF,利用等角∠AGF=DGE的余角相等可得∠BAE=∠BDF,则可证得△AGF≌△DBF(AAS),则AG=BD=BE+DE=7.
解答:解:由∠BAD=45°,DF⊥AB于F则△ADF是等腰直角三角形,
所以AF=DF,
又∵∠AGF=∠DGE,AE⊥BD于E,
∴∠FAG=∠GDE,
利用等角(或同角)的余角相等可证得∠BAE=∠BDF,
又∠AFG=∠DFB=90°,
可证得△AGF≌△DBF(AAS),
所以AG=BD=BE+DE=7.
点评:这是一道全等三角形的判定和直角三角形性质的综合,易错题,应该掌握.
25、如图,已知△ABC为等腰直角三角形,D为斜边AB上任意一点,(不与点A、B重合),连接CD,作EC⊥DC,且EC=DC,连接AE,则∠EAC为 45 度.
考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。
专题:计算题。
分析:由等腰直角三角形ABC的两腰相等的性质推知AC=CB,再根据已知条件“∠ACB=∠DCE=90°”求得∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB,然后再加上已知条件DC=EC,可以根据全等三角形的判定定理SAS判定△ACE≌△BCD;最后由全等三角形的对应角相等的性质证明结论即可.
解答:证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=CB.
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB.
在△ACE和△BCD中,

∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴∠B=∠EAC(全等三角形的对应角相等).
∵∠B=45°,
∴∠EAC=45°.
故答案为45°.
点评:本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质.注意,在证明△ACE≌△BCD时,一定要找准相对应的边与角.
三、解答题(共5小题)
26、已知两个等腰直角三角形(△ACB和△BED)的边长分别为a,b(a<b),如图放置在一起,连接AD.
(1)求阴影部分(△ABD)的面积;
(2)如果点P正好位于线段CE的中点,连接AP、DP得到△APD,求△APD的面积
(3)请你用所学的知识比较△ABD和△APD的面积大小.
考点:整式的混合运算;等腰直角三角形。
专题:计算题。
分析:(1)先根据梯形的定义证明四边形ACED是梯形,再利用S阴影=S梯形﹣S△ACB﹣S△DEB即可求面积;
(2)利用S△ADP=S梯形﹣S△ACP﹣S△DEP可求面积;
(3)由于a<b,易求(b﹣a)2>0,即可得(a2+b2)>ab,从而易求(a+b)2>ab,即S△ADP>S△ABD.
解答:解:(1)∵△ACB和△BED是等腰直角三角形,
∴∠C=∠E=90°,
∴∠C+∠E=180°,
∴AC∥DE,
∵a<b,
∴四边形ACED是梯形,
∴S阴影=S梯形﹣S△ACB﹣S△DEB=(a+b)(a+b)﹣a2﹣b2=ab;
(2)同(1)一样,
S△ADP=S梯形﹣S△ACP﹣S△DEP=(a+b)(a+b)﹣×(a+b)?a﹣×(a+b)?b=(a+b)2;
(3)S△ADP>S△ABD,
∵a<b,
∴(b﹣a)2>0,
∴b2+a2>2ab,
∴(a2+b2)>ab,
∴(a+b)2=(a2+ab+b2)>ab.21世纪教育网
点评:本题考查了梯形的判定、三角形的面积公式、梯形的面积公式.关键是知道S阴影=S梯形﹣S△ACB﹣S△DEB,解题就比较容易.
27、一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成,利用这副三角板构成一个15°角的方法很多,请你按下列要求画图,并回答问题.
(1)画一个15°的角和一个105°的角;
(2)利用我们常用的画图工具,你有哪些方法检验你所画的两个角的准确性?
考点:角的计算;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形。
专题:应用题。
分析:(1)根据一副三角板的特点进行解答,等腰直角三角形有两个角是45°,一个含30°角的直角三角形,通过这两个角之间的关系,可以得到15°的角;等腰直角三角形有两个角是45°,含30°角的直角三角形的另一个角为60°,通过这两个角之间的关系,可以得,105°的角;
(2)用半圆量角器可以检验所画的两个角的准确性.
解答:解:(1)已知一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成,
即有45°角,30°角,60°角,
45°﹣30°=15°,
60°+45°=105°,
画图如:
(2)可用量角器检验所画的两个角的准确性.
点评:本题考查角与角之间的运算,难度较大,利用一副三角板的特点,发现角与角之间的关系,进而作图.
28、如图,△ABC、△ECD都是等腰直角三角形,且C在AD上.AE的延长线与BD交于F.请你在图中找出一对全等的三角形,并写出证明它们全等的过程.
考点:全等三角形的判定;等腰直角三角形。
专题:证明题;开放型。
分析:根据等腰等腰直角三角形的性质可得到AC=BC,∠ACE=∠BCD=90°,CE=CE,从而利用SAS判定△ACE≌△BCD.
解答:解:△ACE≌△BCD.
证明:
∵△ACB、△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,∠ACE=∠BCD=90°,CE=CD.
∴△ACE≌△BCD(SAS).
点评:此题主要考查学生对等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定的理解及运用.
29、已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为AB边上一点,且不与A、B两点重合,AE⊥AB,AE=BD,连接DE、DC.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)猜想:△DCE是 等腰直角 三角形;并说明理由.
考点:全等三角形的判定;等腰直角三角形。
专题:证明题。
分析:(1)由已知可得△ABC是等腰直角三角形,由AE⊥AB即可得到∠1=∠B,从而可利用SAS判定△ACE≌△BCD.
(2)根据已知可猜想其为等腰直角三角形,由第一问可得CE=CD,∠3=∠4,根据等角的性质可推出∠ECD=90°,从而即得到了答案.
解答:(1)证明:
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠B=∠2=45°.
∵AE⊥AB,
∴∠1+∠2=90°.
∴∠1=45°.
∴∠1=∠B.
∵AE=BD,AC=BC,
∴△ACE≌△BCD.
(2)猜想:△DCE是等腰直角三角形;
理由说明:
∵△ACE≌△BCD,
∴CE=CD,∠3=∠4.
∵∠4+∠5=90°,
∴∠3+∠5=90°.
即∠ECD=90°.
∴△DCE是等腰直角三角形.
点评:此题主要考查学生对全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的判定的综合运用.
30、如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D.
(1)△ACD≌△CBE.
(2)若AD=2.5cm,DE=1.1cm.求BE的长.
(2)由(1)知,△ACD≌△CBE,
∴CE=AD=2.5
BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2.5﹣1.1=1.4.
答:BE的长是1.4cm.
点评:此题考查学生对等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质的理解和掌握,难度不大,是一道基础题.