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第一章：三角形的初步知识培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.下列四组中一定是全等三角形的是( )
A．两条边对应相等的两个锐角三角形 B．面积相等的两个钝角三角形
C．斜边相等的两个直角三角形 D．周长相等的两个等边三角形
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，1 B．2，3，6 C．6，8，11 D．1.5，2.5，4
3.下列选项中的值，可以作为命题“则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ）
A．24 B．12 C．15 D．10
5.如图，，，点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．70°
6.如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知下列尺规作图：①作一个角的平分线；②作一条线段的垂直平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线．其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，△ABC中，D为BC的中点，点E为BA延长线上一点，DF⊥DE交射线AC于点F，连接EF，则BE+CF与EF的大小关系为（ ）
A．BE+CF＜EF B．BE+CF＝EF C．BE+CF＞EF D．以上都有可能
9.如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠B-∠A＝10°，D是AB上一点，将ACD沿CD翻折后得到CED，边CE交AB于点F．若DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（ ）
A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25°
10.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为
12.长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有__________种
13.如图所示，，，，的延长线交于点F，交于点G，，，，则的度数为_______________
14．如图，在中，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是___________
15．如图，BD是△ABC的中线，E为AB边上一点，且，连接CE交BD于F，连接AF并延长交BC于点G，则______
16.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝58°，连接CE，则∠BCE的度数为
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．
（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．
18.（本题8分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．
（1）若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是 ； （2）若△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，求∠BAD的度数．
19（本题8分）如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
20.（本题10分）如图，∠A＝∠B＝90°，E是线段AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2 ．
（1）求证：≌；（2）若CD＝10，求的面积．
21（本题10分）．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外）
上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
22（本题12分）．如图，在△ABC中，AB⊥AC ，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
(1)若B、C在DE的同侧（如图1所示）求证：DE＝BD＋CE；
(2)若B、C在DE的两侧（如图2所示），其他条件不变，则DE，BD，CE具有怎样的等量关系？写出等量关系，不需证明．
23（本题12分）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）
（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．
（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
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第一章：三角形的初步知识培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：两边对应相等的锐角三角形可以有无数个，故不能判定为全等三角形；
面积相等的两个钝角三角形有无数个，故不能判定为全等三角形；
例如斜边相等的一个是等腰直角三角形，另一个是任意直角三角形，故不能全等；
周长相等的两个等边三角形，它们的三边分别相等（SSS)两三角形全等，
故选择：D
2.答案：C
解析：A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、6+8＞11，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、1.5+2.5＝4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选择：C．
3.答案：B
解析：用来证明命题“则”是假命题的反例可以是：，
∵ ，但是，
∴B正确；
故选择：B．
4.答案：B
解析：过点D做于点E，如图
∵
∴
∵，，且是的角平分线
∴
∵
∴
故选择：B．
5.答案：D
解析：．
，，，
，
点，，在同一条直线上，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
故选择：D．
6.答案：C
解析：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选择：C．
7.答案：B
解析：图①是角平分线正确作法，图③是垂线的正确作法，
图②垂直平分线作法缺少两条弧，错误；
故选择：B．
8．答案：C
解析：如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF．
∵DE＝DT，DF⊥ET，
∴EF＝TF，
在△EDB和△TDC中，
∴△EDB≌△TDC（SAS），
∴BE＝CT，
∵CT+CF＞FT，
∴BE+CF＞EF，
故选：C．
9.答案：C
解析：在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B-∠A=10°，
∴∠A=40°，∠B=50°，
设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x，∠ADC=180°-40°-x=140°-x，
由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，
当∠DFE=∠E=40°时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE=180°-40°-40°=100°，
∴140°-x=100°+40°+x，
解得x=0（不存在）；
当∠FDE=∠E=40°时，
∴140°-x=40°+40°+x，
解得x=30°，
即∠ACD=30°；
当∠DFE=∠FDE时，
∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，
∴∠FDE=＝70°，
∴140°-x=70°+40°+x，
解得x=15，
即∠ACD=15°，
综上，∠ACD=15°或30°，
故选择：C．
10.答案：D
解析：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选择：D．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：如图，
∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，
∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，
∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，
故答案为：140°．
12.答案：3
解析：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．
故填：3．
13.答案：
解析：∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，
∴∠1+30°=15°+75°，
解得∠1=60°，
14.答案：7
解析：设交于点，连接CP，
垂直平分，
、关于对称，
∴，
∵
∴，
当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是．
15.答案：
解析：作，交于，作，交于，
是的中线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
16.答案：122°或58°
解析：如图，当点D在射线BC上时，
∵∠BAC＝∠DAE＝58°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝61°，
同理∠AED＝∠ADE＝61°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
∴∠BCE＝61°+61°＝122°．
当点D在射线BC的反向延长线上时，
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB和△AEC中，，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE＝58°，
答案122°或58°．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝5cm，S△ABC＝30cm2，
∴S△ADC＝15cm2，
∴×AE×CD＝15，
∴×5×CD＝15，
解得：CD＝6（cm）；
（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
又∵AD为中线，
∴AD＝BC＝BD，
∴∠ADE＝2∠B＝80°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝10°．
18.解析：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长是13，
∴AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故答案为：19；
（2）在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝82°﹣36°＝46°
19.解析：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
20.解析：（1）∵，
∴，
∵∠A＝∠B＝90°，
在和中，
，
∴≌；
（2）∵≌，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴其斜边上的高为5，
∴．
21.解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∴∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴.
∴∠CDE= ∠BAD
22.解析：(1)∵AB⊥AC ， BD⊥DE， CE⊥DE
∴∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ADC与△BEC中，
∠ADB＝∠AEC＝90°, ∠BAD＝∠ACE, AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；
(2)DE=CE-BD
理由：∵BD⊥AD，CE⊥AD，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∵AB⊥AC ，
∴
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAD=∠ACE．
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE．
∵AD=AE+ED，
∴DE=AD-AE=CE-BD．
23.解析：（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC
∵AD为∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD．
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴∠AED=∠C=90°，CD=ED，
又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=∠B=45°．
∴DE=BE，
∴CD=BE．
∵AB=AE＋BE，
∴AB=AC＋CD．
（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED，CD=DE，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDB=∠B，
∴ED=EB，
∴CD=EB，
∴AB=AC+CD；
（3）解：猜想：AB=CD﹣AC
证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴∠ACD=∠AED，CD=DE，
∴∠ACB=∠FED，
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B＋∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=CD，
∵AB=BE-AE
∴AB=CD﹣AC．
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