2022-2023学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．
【答案】A
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、1×4＝2×2，故选项符合题意；
B、2×5≠3×4，故选项不符合题意；
C、4×10≠6×8，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．
2．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用比例式a：b=c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．
【详解】A、a：b=x：c与已知a：b=c：x不符合，故选项A不正确；
B、a：b=c：x与已知a：b=c：x符合，故选项B正确；
C、a：c=x：b与已知a：b=c：x不符合，故选项C不正确；
D、a：x=b：c与已知a：b=c：x不符合，故选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．(本题3分)（2018·浙江杭州·九年级期末）如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
【详解】解：已知给出的三角形的各边分别为、2、 ，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：： ，
A、三角形的三边分别为1，，，三边之比为1：：，故A选项正确；
B、三角形的三边分别为，，3，三边之比为：：3，故B选项错误；
C、三角形的三边分别为1， ，2，三边之比为1： ：2，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为：2，，， 三边之比为2：：，故D选项错误．
故选A．
【点睛】题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
4．(本题3分)（2020·浙江绍兴·九年级期末）如图，将的三边扩大一倍得到（顶点均在格点上），如果它们是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据位似中心的定义作图即可求解.
【详解】如图，P点即为位似中心，则P
故选D.
【点睛】此题主要考查位似中心，解题的关键是熟知位似的特点.
5．(本题3分)（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：A、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项B不符合题意；
C、由两角对应相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、无法证明图中虚线剪下的三角形与△ABC相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
6．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：①，，可证，故①符合题意；
②，，可证，故②符合题意；
③，，可证，故③符合题意；
④，，不能证明，故④不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．
7．(本题3分)（2022·浙江衢州·二模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A、点C在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y=x-4，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程求得B（8，0），G（0，-4），得到OB=8，OG=4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到AE=BF，BE=CF，根据相似三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：在y=x-4中，令y=0，则x=8，
令x=0，则y=-4，
∴B（8，0），G（0，-4），
∴OB=8，OG=4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF，BE=CF，
∵∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴，
∴设CF=x，BF=2x，
∴AE=2x，BE=x，
∴A（8-x，2x），C（8+2x，x），
∵点A，点C在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴2x（8-x）=x（8+2x），
∴x=2，x=0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k=4×6=24，
∴反比例函数表达式为y=，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
8．(本题3分)（2022·浙江衢州·九年级期末）如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【分析】首先根据GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果．
【详解】解：∵GE∥CD，
∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，
∴ ，
∴,
又∵BD=CD，
∴，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2AD=12，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题的关键．
9．(本题3分)（2022·浙江温州·模拟预测）如图, 在正方形中, 延长至点, 以为边向下画正方形. 延长 交边于点, 连结分别交于点. 收录在清朝四库全书的《几何通解》利用此图得： . 若正方形与的面积之和为, 则的长为( )
A． B．8 C． D．16
【答案】C
【分析】根据勾股定理验证清朝四库全书的《几何通解》中的结论，设正方形与的边长分别为，，根据图形可得①，证明，可得，证明，可得②，从而求得，代入，解一元二次方程，继而求得的值，根据求解即可
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，是对角线
是
是正方形，
四边形是矩形
在中，
设正方形与的边长分别为，
正方形与的面积之和为,
，
①
即
②
由①②可得
整理得
解得（负值舍去）
故选C
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，通过设参数的方法建立方程求解是解题的关键．
10．(本题3分)（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】添加辅助线，过F点作∥，通过证明两组三角形相似，得到和的两个关系式，从而求解．
【详解】如图所示，过F点作∥，交于点I，
证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成
，，，，
又
，即
解得或（舍去）
，
FI∥HM
，
，
，
解得：
经检验：符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形和勾股定理．本题的关键在于添加辅助线，建立所求线段与已知条件之间的联系．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2022·浙江绍兴·九年级期末）已知，则______．
【答案】4
【分析】根据，可设，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴可设，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
12．(本题3分)（2021·浙江·温州市第二中学二模）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝___．
【答案】
【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质．
13．(本题3分)（2021·浙江杭州·一模）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为_____cm．
【答案】（﹣1）##（﹣1＋）
【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．
【详解】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝AB
＝×2cm
＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．
【点睛】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割的黄金比值是解题的关键．
14．(本题3分)（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________．
【答案】4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴．
∵位似图形与原图形的位似比为，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
15．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A为双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，若点C的坐标为（3，n），则n＝____．
【答案】9
【分析】连接OC，作轴于M，轴于N，根据题意得出∠CAO＝60°，，从而得出，通过证得△AOM∽△OCN，得出，即可得出，解方程即可求解．
【详解】解：连接OC，作轴于M，轴于N，
∵A、B为双曲线y＝﹣上的点，且AB经过原点O，
∴OA＝OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，，
∴，
∴∠AOM+∠CON＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠CON＝∠OAM，
∵∠AMO＝∠CNO＝90°，
∴，
∴，
∵A为双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，点C的坐标为（3，n），
∴，，
∴，
∴n＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的比例系数的几何意义，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用．能综合运用相关知识进行推理和计算是解答关键．
16．(本题3分)（2021·浙江·衢州市衢江区横路初级中学九年级阶段练习）将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3…A2020和点M，M1，M2…M2019是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2019M2018于点N1，N2，N3…N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2019为 _____．
【答案】
【分析】设左边第一个正方形左上角的顶点为O，先判定△M1MN1∽△M1OA，利用相似三角形的性质求出MN1的长，进而得出S1，同理得出S2，按照规律得出Sn，最后n取2019，计算即可得出答案．
【详解】解：如图所示，设左边第一个正方形左上角的顶点为O
∵将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列
∴OA∥MA1∥M1A2∥M2A3∥…∥M2018A2019
∴△M1MN1∽△M1OA
∴
∴MN1=，
∴四边形M1N1A1A2的面积是S1=；
同理可得：
∴四边形M2N2A2A3的面积S2=；
…
∴四边形MnNnAnAn+1的面积Sn=
∴S2019=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用，数形结合并善于发现规律是解题的关键．
17．(本题3分)（2022·浙江杭州·二模）如图，点E为矩形ABCD的边AB的中点，连接CE，BD，交于点F，若∠DFC＝2∠FDC，BD＝12，则AD＝_________．
【答案】
【分析】如图所示，过点E作EH⊥CD于H，交BD于G，过点C作CP⊥FG于P，连接CG，先证明△BEF∽△DCF，从而推出BF=4，DF=8，再证△BEG∽△DHG，得到，从而求出，，则∠CGB=2∠GDC，再证明∠CFG=∠CGF，得到，则BP=5，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥CD于H，交BD于G，过点C作CP⊥FG于P，连接CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，，AD=BC，CD=AB，
∴四边形BCHE是矩形，
∴EH=BC=AD，BE=CH，
∵E是AB的中点，
∴AB=CD=2BE，
∴BE=DH=CH，
∵，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∴DF=2BF，
又∵BD=12，
∴BF=4，DF=8，
同理可知△BEG∽△DHG，
∴，
∴，
∴，，
∴∠GCD=∠GDC，
∴∠CGB=2∠GDC，
又∵∠CFD=2∠FDC，
∴∠CFG=∠CGF，
∴，
∴BP=5，
在Rt三角形CGP中，，
∴在Rt△CPB中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2019·浙江温州·九年级期末）（1）已知，求的值．
（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据比例的基本性质求解即可；
（2）根据比例中项的定义得到结果，注意负值舍去．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵线段，
∴，
∴线段a，b的比例中项为（负值舍去） ．
【点睛】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．
19．(本题8分)（2021·浙江·九年级期末）如图，在中，是延长线上一点，交于点，已知，求的面积．
【答案】18
【分析】由平行四边形的对边平行且相等，可得△CDF∽△BEF．又因，可得相似三角形的相似比为，然后根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求△CDF的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，且CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF，
∵，
∴，
∴，即，
解得S△CDF＝18．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形面积之比等于相似比的平方．
20．(本题8分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级阶段练习）由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．
（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）根据网格的特点，可知，进而根据△ACO∽△BOD，即可求得,
（2）在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求．
【详解】解（1）由题意：
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△BOD，
∴AO∶BO＝AC∶BD，
，
即AO∶BO＝3∶4＝
（2）如图，在格点上找到点，使得，连接交于点,则点即为所求，连接,
，
，
，
设到的距离为，
．
【点睛】本题考查了网格作图，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．(本题8分)（2021·浙江温州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且，连接AF，DF．
(1)求证：∠ADF＝∠B；
(2)若AC＝4，CB＝8，当点E是AB的中点时，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出答案；
（2）连接CE，由勾股定理求出AB＝，证明△AFD∽△ACB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
(1)
证明：∵，
∴∠FAE＝∠CAD，
∴∠FAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，
即∠CAB＝∠DAF，
∵∠ACB＝90°，
∴AD为⊙O的直径，∠CAB+∠B＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠B；
(2)
解：连接CE，
∵AC＝4，BC＝8，
∴AB＝＝＝，
∵点E是AB的中点，
∴CE＝AB＝2，
∵，
∴，
∴DF＝CE＝2，
∵∠ADF＝∠B，∠ACB＝∠AFD＝90°，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AF＝．
【点睛】本题考查了圆周角定理及直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
22．(本题9分)（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
(1)①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；②
(2)（0≤m≤3）；
【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；
（2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
（1）
解：①∵正方形OABC的边长为3，
∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；
②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y= x2+bx+c，
得，解得；
（2）
解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCM，
∴，即．
整理，得，即（0≤m≤3）．
∴当时，n的值最大，最大值是．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键．
23．(本题10分)（2022·浙江温州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，且∠BAD＝∠ACB，DE⊥AC于点F，交BC的平行线AE于点E．
(1)求证：AD＝DE．
(2)若BD＝，CD＝．
①求AC的长．
②过点E作EG⊥AD于点G，在射线AC上取一点M与△AEG某一边的两端点，构成以M为顶点的角等于∠ACB，求所有满足条件的AM的长．
【答案】(1)见解析，
(2)①，②或或
【分析】（1）因为AEBC，所以有∠BAE+∠ABC=180°，∠ACB=∠CAE，又因为∠BAD=∠ACB，得用直角三角形两锐角互余得出∠DAE=∠E，即可得出结论；
（2）①证△ABD∽△CBA，得，即可求出AB2值，再由勾股定理求AC长即可；
②分情况讨论：I）当∠AME=∠ACB时，II）当∠AMG=∠ACB时，III）当∠EMG=∠ACB时，分别求解即可．
(1)
证明：∵AEBC，
∴∠BAE+∠ABC=180°，∠ACB=∠CAE，
∵ABC=90°，
∴∠BAE=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠ACB，
∴∠BAD=∠CAE，
∵DE⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∴∠CAE+∠E=90°，
∴∠DAE=∠E，
∴AD=DE；
(2)
解：①∵∠BAD=∠ACB，∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴AB2=，
∴AC2=AB2+BC2=，
∴AC=；
②分三种情况：I）当∠AME=∠ACB时，如图，
∵∠ACB=∠EAC，
∴∠EAC=∠AME，
∴AE=ME，
∵EF⊥AC，
∴AM=2AF，
∵S△ACD=，
∴，
∴DF=，
在Rt△ABD中，AD=，
在Rt△ADF中，AF=，
∴AM=2AF=；
II）当∠AMG=∠ACB时，如图，
∴GMBC，
∴△AGM∽△ADC，
∴，
在△ADF和△EDG中，
，
∴△ADF≌△EDG（AAS），
∴DG=DF=，
∴AG=，
∴，
∴AM=．
III）当∠EMG=∠ACB时，
如图所示，过E作EH⊥BC于H，延长AD交EH于Q，
∵AEBC，AB⊥BC，EH⊥BC
∴AB=EH，
又AD=DE
∴△ABD≌△EDH
∴BD=DH=，
∴BH=，CH=CD-DH=
又AB==EH，
∴EH=BH=CH
在△ABD和△QHD中，
∴△ABD≌△QHD(ASA)
∴AB=HQ=CH，
故H为EQ的中点，
又EG⊥AD
即GH为直角三角形EGQ斜边中线
∴GH=EH=HQ
∴GH=EH=HQ=CH
即E、G、Q、C四点共圆，如下图：
∴∠ECG=∠EQG（同弧所对的圆周角相等）
由△ABD≌△QHD知，∠EQG=∠BAD=∠ACB
∴∠ECG=∠ACB，
当∠EMG=∠ACB，点M在射线AC上时，
即此时M与C重合，
则AM=AC=.
【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等本角形的判定与性质，注意（2）②要分类讨论，以免漏解．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2022-2023学年浙江九年级数学上册第4章《相似三角形》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4 B．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
C．a＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．
2．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．(本题3分)（2018·浙江杭州·九年级期末）如图，在边长为1的格点图形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．(本题3分)（2020·浙江绍兴·九年级期末）如图，将的三边扩大一倍得到（顶点均在格点上），如果它们是以点为位似中心的位似图形，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．(本题3分)（2021·浙江衢州·九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．(本题3分)（2020·浙江杭州·九年级期末）中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
7．(本题3分)（2022·浙江衢州·二模）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A、点C在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y=x-4，则反比例函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．(本题3分)（2022·浙江衢州·九年级期末）如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
9．(本题3分)（2022·浙江温州·模拟预测）如图, 在正方形中, 延长至点, 以为边向下画正方形. 延长 交边于点, 连结分别交于点. 收录在清朝四库全书的《几何通解》利用此图得： . 若正方形与的面积之和为, 则的长为( )
A． B．8 C． D．16
10．(本题3分)（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2022·浙江绍兴·九年级期末）已知，则______．
12．(本题3分)（2021·浙江·温州市第二中学二模）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝___．
13．(本题3分)（2021·浙江杭州·一模）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为_____cm．
14．(本题3分)（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________．
15．(本题3分)（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A为双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，若点C的坐标为（3，n），则n＝____．
16．(本题3分)（2021·浙江·衢州市衢江区横路初级中学九年级阶段练习）将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3…A2020和点M，M1，M2…M2019是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2019M2018于点N1，N2，N3…N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2019为 _____．
17．(本题3分)（2022·浙江杭州·二模）如图，点E为矩形ABCD的边AB的中点，连接CE，BD，交于点F，若∠DFC＝2∠FDC，BD＝12，则AD＝_________．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．(本题6分)（2019·浙江温州·九年级期末）（1）已知，求的值．
（2）已知线段，求线段a，b的比例中项．
19．(本题8分)（2021·浙江·九年级期末）如图，在中，是延长线上一点，交于点，已知，求的面积．
20．(本题8分)（2021·浙江·温州市实验中学九年级阶段练习）由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上．
（1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则＝____________．
（2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得＝．
21．(本题8分)（2021·浙江温州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，连接AD，△ACD的外接圆⊙O交AB于点E，点F是上一点，且，连接AF，DF．
(1)求证：∠ADF＝∠B；
(2)若AC＝4，CB＝8，当点E是AB的中点时，求AF的长．
22．(本题9分)（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
(1)①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
23．(本题10分)（2022·浙江温州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，且∠BAD＝∠ACB，DE⊥AC于点F，交BC的平行线AE于点E．
(1)求证：AD＝DE．
(2)若BD＝，CD＝．
①求AC的长．
②过点E作EG⊥AD于点G，在射线AC上取一点M与△AEG某一边的两端点，构成以M为顶点的角等于∠ACB，求所有满足条件的AM的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
