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2.8 直角三角形全等的判定
一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.
一、单选题
1．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．两个面积相等的直角三角形全等
2．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF
3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF
4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（ ）
A．32° B．62° C．58° D．68°
5．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．E为BC中点
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．71°
7．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
8．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，在与中，，，，，则______．
12．如图，，，，则______°．
13．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
14．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________
15．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
16．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为____．
三、解答题
19．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
20．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．
21．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
(1)求证△AMB≌△CNA；
(2)求证∠BAC＝90°．
22．如图，△ABC中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．
23．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．
24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．
25．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
26．已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且．
(1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明）
(2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；
(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积．
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2.8 直角三角形全等的判定
一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.
一、单选题
1．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．两个面积相等的直角三角形全等
【答案】D
【提示】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案．
【解答】解：A、利用AAS来判定全等，不符合题意；
B、利用SAS来判定全等，不符合题意；
C、利用HL来判定全等，不符合题意；
D、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等．
2．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF
【答案】D
【提示】根据判定定理即可得．
【解答】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
B、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
C、添加，需用定理判定，则此项不符题意；
D、添加，能用定理判定，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．
3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（ ）
A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF
【答案】D
【提示】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答．
【解答】解：∵，，
∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．
4．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角中，则的度数是（ ）
A．32° B．62° C．58° D．68°
【答案】C
【提示】利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF＝∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠DEF＝∠ABC＝32°，
∴∠DFE＝90°﹣32°＝58°．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．
5．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．E为BC中点
【答案】D
【提示】首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断．
【解答】解：∵，
∴和为直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
故A、B、C正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．71°
【答案】C
【提示】先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出
【解答】
根据题意：
在中
在和中
∴
∴
在和中
∴
∴
在中
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．
7．如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【提示】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．
【解答】解：，，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D、E则图中全等的三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】A
【提示】通过HL定理判断三角形全等即可；
【解答】∵，，，，
∴，
同理可证明．
故选A．
【点睛】本题主要考查了利用HL定理判断三角形全等，准确分析判断是解题的关键．
9．如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【提示】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．
【解答】如图，连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11cm，AC=5cm，
∴BE=3cm．
故应选D．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【提示】过点D作DG⊥AB于点G，由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ADB=90°，然后可证△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，进而问题可求解．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，
∴，
∵BF∥AC，
∴，
∴，即，
∴，即AD是△ABC的高，故①正确；
∵，AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴，即AD是△ABC的中线，故②正确；
∵BF∥AC，
∴，
∵，
∴△DEC≌△DFB（AAS），
∴ED＝FD，故③正确；
过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，，
∴，
∵AD=AD，
∴（HL），
∴，
同理可知，
∵，
∴，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个；
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在与中，，，，，则______．
【答案】40°
【提示】根据HL，可以证明，则，再根据余角的性质即可求出的度数．
【解答】解：在中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：40°
【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质．
12．如图，，，，则______°．
【答案】25
【提示】先证明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数即可．
【解答】解：∵，
∴△ABC和△ADC是直角三角形，
∵AC＝AC，，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）,
∴∠DAC＝∠BAC，
∵，
∴∠DAC＝∠BAD＝65°，
∴90°－∠DAC＝25°．
故答案为：25．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
13．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm．
【答案】3.5
【提示】过C点作CF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到CF=CE，再证明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，证明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等线段代换，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，从而可求出DE的长．
【解答】解：过C点作CF⊥AB于F，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CF=CE，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
，
∴△CBF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∵AF=AE，
∴AB+BF=AD-DE，
即11+DE=18-DE，
∴DE=3.5cm．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质．
14．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________
【答案】8
【提示】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．
【解答】解：∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
∵AB=AC，BD=AE，
∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL），
∵BD=3，CE=5，
∴AE=BD=3，AD=CE=5，
∴DE= AD+ AE=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
【答案】2
【提示】根据HL证明，可得，根据即可求解．
【解答】解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
16．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______．
【答案】225°
【提示】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值．
【解答】解：如图所示：
在△ABC和△AEF中，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠5=∠BCA，
∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，
在Rt△ABD和Rt△AEH中，
∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL），
∴∠4=∠BDA，
∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，
∵∠3=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°．
故答案为：225°．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝_____．
【答案】
【提示】在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，
∵AD⊥BC于点D，
∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°
∴∠AGD=∠B，
∵AE//BC，
∴∠EAH=∠B，
∴∠EAH=∠AGD，
∵AE=AB，
∴AE=AG，
在△AEH和△GAD中，
，
∴△AEH≌△GAD（AAS），
∴EH=AD，AH=GD，
在Rt△EHF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），
∴FH=CD，
∴FH-AH=CD-GD，
∴AF=GC，
∴，
∴S△AEF=S△GAC，
设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，
∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为____．
【答案】5
【提示】过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF（AAS），得BE=CF，AE=AE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得DF=DE=3，则CF=CD+DF=5，即可求解．
【解答】解：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：记交于点
则∠AFC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠ABE=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE=CF，AE=AF，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴DF=DE=3，
∴CF=CD+DF=5，
∴BE=CF=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，正确作出辅助线，证明Rt△ADF≌Rt△ADE是解题的关键．
三、解答题
19．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．
【答案】见解析
【提示】根据角平分线的性质得，再用HL证明．
【解答】证明：∵，
∴为的角平分线，
又∵点P在上，，，
∴，，
又∵（公共边），
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
20．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．
【答案】见解析
【提示】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．
【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴BD＝AC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等．
21．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
(1)求证△AMB≌△CNA；
(2)求证∠BAC＝90°．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【提示】（1）由题意知∠AMB＝∠CNA＝90°，证明即可；
（2）由，可知∠BAM＝∠ACN，根据∠CAN+∠ACN＝90°，可得∠CAN+∠BAM＝90°，进而结论得证．
（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在和中，∵，∴．
（2）证明：∵，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．如图，△ABC中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【提示】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由题意先求得∠ACB的度数和∠BAE的度数，再由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
（1）
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）
解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．
23．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求证：∠AFC＝2∠ADC．
【答案】证明见解析
【提示】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论．
【解答】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠ADC，
∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ADC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2cm
【提示】（1）由角平分线的性质可知，证明，进而结论得证；
（2）由，可得，证明，则，根据，计算求解即可．
（1）
证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）
解：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2cm．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
25．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)AD⊥CB′；；
(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析
【提示】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；
（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
（1）
解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，
∴AF= AD，
∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，
故答案为：AD⊥CB′；；
（2）
解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：
在BC上截取BG=CD，
在△ABG和△ACD中，，
∴△ABG≌△ACD(SAS)，
∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，
∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠GAD=2∠DAE，
∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，
∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，
∴BE=BG+GC=CD+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
26．已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且．
(1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明）
(2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；
(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)仍成立，见解析
(3)
(4)四边形的面积为32
【提示】（1）根据DB=PC，，利用直角三角形的判定方法证明，即可得到；
（2）为平分线上一点，又于，于，得到，再证明即可；
（3）先由已知条件得到AD平分，再根据，得到AB=AC，再由BM=CN，得到即可；
（4），且，即可得到AC的长，又由，即可求得四边形ANDM的面积．
（1）
如图1：由为平分线上一点，于，于，
，
在中，
，
，
；
（2）
（2）仍成立
点为平分线上一点，
又于，于，
，
又
（3）
（3）；
,
又 点为平分线上一点，
即AP平分，
，
，
，
（4）
（4）四边形的面积为32
点为平分线上一点，
又于，于，
又
（已证）
又
，且
【点睛】本题考查四边形的综合题，主要考查角平分线的的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题，运用全等三角形的性质与转化思想将四边形ANDM转化为四边形ABDC的面积是关键．
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