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3.5 圆周角
一、圆周角
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
3.圆周角定理的推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4.圆周角定理的推论2：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
一、单选题
1．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点，，都在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，、是的两条弦，延长、交于点，连接、交于点．，，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
5．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
7．如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
8．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__．
12．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__．
13．如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．
15．如图，内接于，AD是的直径，，则______．
16．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
17．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．
18．如图，AB，CD是的直径，弦BE与CD交于点F，F为BE中点，．若，则BC的长为______．
三、解答题
19．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
(1)求∠BAC的度数．
(2)求∠BAD的度数．
22．如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF．
(1)求证：；
(2)若，求AF的长．
23．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，，求的长；
(3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
24．在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．
(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；
(2)如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．
25．内接于，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在外，，CD∥OB，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长．
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3.5 圆周角
一、圆周角
1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
3.圆周角定理的推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4.圆周角定理的推论2：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.
一、单选题
1．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．
【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项中的角是圆周角．
故选：．
【点睛】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．
2．如图，点，，都在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】连接OC，根据等边对等角即可得到∠B=∠BCO，∠A=∠ACO，从而求得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】连接OC．
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
同理，∠A=∠ACO，
∴∠ACB=∠A+∠B=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确作出辅助线，求得∠ACB的度数是关键．
3．如图，、是的两条弦，延长、交于点，连接、交于点．，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】先根据三角形的外角性质得出，再根据圆周角定理得出，然后根据三角形的外角性质即可得．
【解答】，
由圆周角定理得：
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、圆周角的定理，熟记性质与定理是解题关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．65°
【答案】A
【提示】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
5．如图，点A，B，C都在⊙O上，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【提示】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【解答】解：∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
6．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
【答案】C
【提示】先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即可得到答案．
【解答】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
7．如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】连接OC、OD、OA、OB，由圆周角定理，得到，，然后利用三角形的外角性质，即可求出答案．
【解答】解：如图：连接OC、OD、OA、OB，
∵和所对的圆心角分别为和，
即，，
∴，，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
8．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【提示】连接，，先求解， 可得，，再求解 可得， ，从而可得答案.
【解答】解：连接，，
直径，，，
，
，
，
，
，
直径，，，
，
，
，
，
所以B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
9．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
【答案】D
【提示】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∵，
∴∠CAB=2∠ABC，
∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=30°，
∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，
∴AH=CH=HG，
∴∠CAH=∠ACE=30°，
∵∠CAF=∠CBF，
∴∠CBF=30°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．
10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【提示】根据==和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．
【解答】解：∵==，点E是点D关于AB的对称点，
∴=，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD=×180°=60°，∴①错误；
∠CED=∠COD=×60°=30°=∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；
∵的度数是60°，
∴的度数是120°，
∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；
作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，
连接CD，
∵===，并且弧的度数都是60°，
∴∠D=×120°=60°，∠CFD=×60°=30°，
∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，
∴DF是⊙O的直径，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；
综上所述，正确的个数是2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．
二、填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC=__．
【答案】30°
【提示】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．
【解答】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．
12．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ABC＝20°，则∠C的度数为__．
【答案】40°
【提示】根据三角形的内角和定理和得到∠ODC的度数，再利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，可得到结果.
【解答】解：∵∠A＝60°，∠ABC＝20°，
∴∠ODC＝180°﹣20°﹣60°＝100°，∠ABC＝20°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，
∴∠C＝180°﹣100°﹣40°＝40°
故答案为40°
【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．
13．如图，是的外接圆的直径，若，则_____°．
【答案】50
【提示】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】∵是的外接圆的直径，
∴点，，，在上，
∵，
∴，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______．
【答案】2
【提示】先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°，
∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°，
∴OC=2CE=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
15．如图，内接于，AD是的直径，，则______．
【答案】55°
【提示】根据圆周角定理，得∠ADC＝∠ABC＝35°，再根据AD是⊙O的直径，则∠ACD＝90°，由三角形的内角和定理即可求得∠CAD的度数．
【解答】解：∵∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝35°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：根据圆周角定理，求得∠ADC＝∠ABC＝35°．
16．如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【提示】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【解答】∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
17．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．
【答案】①②③⑤
【提示】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【解答】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而点不在圆上，则不是圆周角
故④不正确；
是圆心，在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
18．如图，AB，CD是的直径，弦BE与CD交于点F，F为BE中点，．若，则BC的长为______．
【答案】
【提示】连接AE．根据垂径定理可知．根据直径所对圆周角为直角可知，即得出．从而可判断四边形AEDF为平行四边形，得出．再根据三角形中位线的性质得出．设，则，，，从而可利用勾股定理求出，进而得出．再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x,即可求出，，最后可求出的长．
【解答】如图，连接AE．
∵F为BE中点，CD是的直径，
∴．
∵AB是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴．
∵F为BE中点，O为AB中点，
∴OF为中位线，
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：（舍），
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理以及三角形中位线的性质．连接常用的辅助线是解题关键．
三、解答题
19．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
【答案】
【提示】根据直径所对的圆周角是直角，则可得∠ADB=90°，同圆中，同弧所对圆周的角相等，可得∠ABD=∠ACD=45°，即可得△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，即可求得的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵
∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴。
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中，同弧所对圆周的角相等，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【提示】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【解答】（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
=．
∴∠A=∠2．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠1＝∠2．
（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6
∴∠CEO＝90 ，CE＝ED＝3．
设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2
∵在Rt△OEC中，
解得：
∴⊙O的半径是．
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
(1)求∠BAC的度数．
(2)求∠BAD的度数．
【答案】(1)70°
(2)103°
【提示】（1）由同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，可得∠CBD=∠ABD=33°，从而求得∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°，最后在中，运用内角和定理，可求得∠BAC的度数．
（2）由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC＝∠DBC＝33°，结合（1）的结论，可求得∠BAD的度数．
（1）
解：∵，
∴∠CBD=∠ABD=33°，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD =66°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-44°=70°；
（2）
解：∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【点睛】本题考查了同圆中，同弧所对的圆周角的关系，熟练掌握相关几何性质是解题的关键．
22．如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF．
(1)求证：；
(2)若，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【提示】（1）根据，，根据等边对等角即可得证；
（2）证明四边形是平行四边形，连接，根据直径所对的圆周角是直角，根据等腰三角形的性质可得，根据平行四边形的性质即可求得的长．
（1）
，
，
，
，
，
（2）
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
连接，
是直径，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
23．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，，求的长；
(3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)DF=2
(3)的最小值为
【提示】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值．
（1）
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点．
（2）
解：，
，
而，
为的中位线，
，
．
（3）
解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，则，，
在中，，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
24．在⊙O中，弦AB⊥AC，且AB=AC=6．D是⊙O上一点（不在上），连接AD、BD、CD．
(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD、CD的长；
(2)如图②，若∠BAD=2∠DAC，连接BC、OD，且BC是直径，求BD、CD的长．
【答案】(1)BD＝6，CD＝6
(2)，BD＝
【提示】（1）由AD经过圆心O，利用圆周角定理得∠ACD=∠ABD=90°，又因为AB⊥AC，得到四边形ABCD为矩形，易得结果；
（2）由∠BAD=2∠DAC，AB⊥AC，由圆周角定理得BC为直径，易得∠CAD=30°，∠BAD=60°，证明△COD为等边三角形，求得CD，BD．
（1）
解：AD是⊙O的直径，
∴∠C=∠B=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴四边形ABDC是矩形，
∵AB=AC=6，
∴BD=AC=6，CD=AB=6；
（2）
∵∠BAC=90°，∠BAD=2∠DAC，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC，
在Rt△ABC中，，
∴，
在Rt△BCD中，．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．
25．内接于，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在外，，CD∥OB，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在圆周上（若与点位于AB的两侧），连接EB、EC，若，，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径长为
【提示】（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论；
（2）先判断出∠CFB=90°，进而得出∠OBD=90°，再判断出∠BCD=∠ODB，进而判断出∠CAB=∠CBA，即可得出结论；
（3）先判断出∠ABE=∠AEB，进而判断出△AEM≌△ABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股定理求出BC，即可得出结论．
(1)
如图1，连接OA、OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
如图2，连接并延长交于，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
由（1）知，，
∴，
(3)
如图3，连接，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴；
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，根据勾股定理得，，
∴
在和中，根据勾股定理得，，
即：，解得或（舍），
∴，
连接OC交AB于,
∴
在中，根据勾股定理得，，
设，在中，，
∴
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形和全等三角形是解本题的关键．
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