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2.7勾股定理
一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如）.
（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
一、单选题
1．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
【答案】D
【提示】根据勾股定理可以得到解答．
【解答】解：由勾股定理知，第三边的长的平方为或者，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，注意第三边的平方既可能是已知两边的平方和，也可能是已知两边的平方差．
2．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C． D．，，
【答案】A
【提示】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】A、∵，，，∴，，，不能满足，∴A不能组成直角三角形.
B、92+402=412，故能构成直角三角形；
C、设a=k，b=k，c=，∵k2+k2=，∴a2+b2=c2，故能构成直角三角形；
D、（）2+62=（）2，故能构成直角三角形．
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．下列说法正确的是（ ）．
A．若、、是的三边长，则
B．若、、是的三边长，则
C．若、、是的三边长，，则
D．若、、是的三边长，，则
【答案】D
【提示】根据勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可解答.
【解答】解：由勾股定理，
A、没有确定直角和斜边，故A 错误；
B、没有确定斜边，故B错误；
C、斜边为，则，故C错误；
D、，则与为直角边，为斜边，则，故D正确；
故选择：D.
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.
4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，、表示，若，，则的值为（ ）．
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【提示】先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值．
【解答】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=a2=25，S1=b2，S3=c2=9，
∵△ABC是直角三角形，
∴c2+b2=a2，
即S3+S2=S1，
∴S2=S1-S3=25-9=16．
故选C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
5．如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】连结EF，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出AE，EF，AF的长度，继而可得出∠EAF的度数．
【解答】如图，连接.
根据勾股定理，得，.
因为，所以，
所以是等腰直角三角形，所以.
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断△AEF是等腰直角三角形是解决本题的关键．
6．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】利用矩形的性质得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，∠ABC=90°
在Rt△ABC中，AC=，
∴AM=AC=，
∴点M表示的数是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．
7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
【答案】C
【提示】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
【解答】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【提示】根据勾股定理求出CD，根据三角形的外角的性质得到∠B＝∠BAD，求出BD，计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AD＝5，
∴CD＝3，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝AD＝5，
∴BC＝BD+CD＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形判定的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
9．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC-BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度可求解．
【解答】解：由题意，得：AD=60km，
在Rt△ABD中，AB=100km，AD=60km，
∴BD=(km)．
∴CD=BC-BD=125-80=45（km）．
∴在Rt△ACD中，AC==75（km）．
75÷25=3（h）．
答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，属基础题目，比较简单．
10．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．
【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD DM＝3 1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝，
∵S△BDC'＝BC' DH＝BD CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
二、填空题
11．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是________.
【答案】直角三角形
【提示】利用勾股定理的逆定理进行计算即可得到答案.
【解答】因为=+，则此三角形是直角三角形，故答案为直角三角形.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.
12．已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a2+b2)2 2(a2+b2) 15=0，则斜边c为_______.
【答案】
【提示】先由勾股定理得出a2+b2=c2，再将这个等式代入a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0，解方程求出c2的值，然后求其算术平方根即可．
【解答】设这个直角三角形的斜边长是c.
∵a，b分别是一个直角三角形的两直角边的长，
∴a2+b2=c2，
又∵(a2+b2)2 2(a2+b2) 15=0，
∴(c2)2 2c2 15=0，
∴(c2 5)(c2+3)=0，
∵c2>0，
∴c2=5，
∵c>0，
∴c=.
即这个直角三角形的斜边长是.
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.
13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为________
【答案】16
【提示】延长AB和DC，两线交于O，求出OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，解直角三角形得出方程，求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积即可．
【解答】解：延长AB和DC，两线交于O，
∵∠C=90°，∠ABC=135°，
∴∠OBC=45°，∠BCO=90°，
∴∠O=45°，
∵∠A=90°，
∴∠D=45°，
则OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，
设BC=OC=x，则BO=x，
∵CD=6，AB=2，
∴6+x=(x+2)，
解得：x=6-2，
∴OB=6-4，BC=OC=6-2，OA=AD=2+6-4=6-2，
∴S四边形ABCD=S△OAD-S△OBC
=OA AD-BC OC
=
=16，
故答案为16．
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积，二次根式的混合运算．正确添加辅助线构建直角三角形、求出BC的长度是解此题的关键．
14．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC是___三角三角形．
【答案】直角
【解答】根据配方法原式可化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质可得a=5，b=12，c=13，然后可得a2+b2=c2，根据勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形.
故答案为直角.
点睛：
本题考查了特殊方程的解法与及勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
15．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．
【答案】
【提示】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可．
【解答】解：根据题意，得
=
=，
∵，
∴；
故答案为，，.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键．
16．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计）
【答案】10
【解答】试题解析：将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半，将A点对称到A′点，线段A′B的长就是所求的最短距离，
在Rt△A′BE中，
BE=×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm，
则AB==10cm，
答：小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm．
17．如图，，，，，垂足分别为，，，，则_____.
【答案】7
【解答】解：∵AC=13，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴BC=13，∠BEC=∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CD=BE=5，
∵在△BCE中，∠BEC=90°，BC=13，BE=5，
∴CE=，
∴DE=CE-CD=12-5=7.
故答案为：7.
18．如图，是等边三角形，，D是的中点，F是直线上一动点，线段绕点D逆时针旋转，得到线段，当点F运动时，的最小值是________________．
【答案】
【提示】作FM⊥BC，EN⊥BC，根据AAS定理证得△EDN≌△DFM，然后设BM=x，根据含30°的直角三角形性质及勾股定理列出AE2，结合二次根式的性质及完全平方公式的结构分析其最值，从而求解．
【解答】解：作FM⊥BC，EN⊥BC．
∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段
∴DE=DF，∠FDM+∠EDN=90°
又∵FM⊥BC，EN⊥BC
∴∠DMF=∠END=90°，∠FDM+∠DFM=90°
∴∠EDN=∠DFM
∴△EDN≌△DFM
由题意可得：∠B=60°，BD=
∴在Rt△BFM中，∠BFM=30°
如图，①当点F在线段AB上时，
设BM=x，则DN=FM=，CN=CD+DN=，NE=DM=
在Rt△CEN中，
∴
此时，CE无最小值，
如图，②当点F在AB的延长线上时
设BM=x，则DN=FM=，CN=CD-DN=，NE=DM=
在Rt△CEN中，
∴
此时，当x=时，CE2有最小值为
∴CE的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题
19．如图，在Rt中，，，，于．
求：（1）斜边的长；
（2）高的长．
【答案】（1）；（2）
【提示】（1）利用勾股定理计算出的长即可；
（2）根据三角形的面积公式计算出的长即可．
【解答】解：（1）在中，，，，
；
（2），
，
解得．
故高的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度．
【答案】CD=．
【提示】首先证明CD=DP，AC=AP=8，设CD=DP=x，在Rt△BDP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，垂足为P，设CD=DP=x
在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵∠CAD=∠PAD，∠C=∠APD=90°，AD=AD，
∴△ADC≌△ADP（AAS），
∴AC=AP=8，CD=PD，设CD=PD=x，
在Rt△BDP中，∵PB=AB-AP=2，BD=6-x，
∴x2+22=（6-x）2，
∴x=，
∴CD=．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为；
（3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4．
【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）见解析
【提示】（1）画一个三边分别为3,4,5的直角三角形即可；
（2）根据网格的特点以及勾股定理，分别找到边长分别为的线段，通过平移的方法将三条线段首位相连即可；
（3）根据网格的特点画一个底为2高为4的钝角三角形即可；
【解答】（1）如图所示，
，
则即为所求三角形；
（2）如图所示，
，
则即为所求三角形；
（3）如图所示，
则即为所求三角形；
【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理，根据勾股定理找到符合题意的线段是解题的关键．
22．有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求原路线的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)原来的路线的长为千米
【提示】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设千米，则千米，在中根据勾股定理解答即可．
（1）
是直角三角形，
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形且；
（2）
设千米，则千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
．
解得，
答：原来的路线的长为千米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
23．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）
【提示】（1）首先由折叠的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余得出，进而利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求解；
（2）首先根据勾股定理得出EC的长度，进而求出EB的长度，最后利用求解即可．
【解答】（1）∵把沿折叠，点折叠到点，
∴，
．
，
．
，
；
（2），
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查折叠与勾股定理，掌握折叠的性质及勾股定理的内容是关键．
24．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E．
(1)若，求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【提示】（1）根据中线的定义和勾股定理即可求证明．
（2）根据中线的定义，得到，，利用勾股定理求得AB．
（1）
证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3．
∴AC＝6，BC＝8．
∵．
∴．
∴△ABC是直角三角形．
∴．
（2）
解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴，．
∵AD、BE分别为边BC、AC的中线．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了中线和勾股定理的知识，解题的关键在于明确中线的定义、掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
25．如图，在中，平分交于点D，E是上的一点，且，交于点F．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【提示】（1）根据在中，平分交于点D，，可推出垂直平分，即可得出结果．
（2）结合（1）证明BD是AE的垂直平分线，然后利用勾股定理即可解决问题．
（1）
∵在中，，平分，
∴，，
∴垂直平分，
∴
（2）
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴在中，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及垂直平分线的判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
26．如图，在中，，于点，设，，，.
求证：（1）.
（2）.
（3）以，，为边的三角形是直角三角形.
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析
【提示】（1）要证明，只需证=1即可，在直角△ABC中根据BD2+CD2=BC2求证．
（2）根据三角形的面积公式求出ab=ch，利用勾股定理可得a2+b2=c2，再利用完全平方公式整理即可得证；
（3）先分别求出（a+b）2，h2，（c+h）2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】证明：(1)在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则△ACB∽△ADC∽△CDB，
,即，
∵====1，
∴；
(2)∵CD⊥AB,∠ACB=90 ，
∴S△ABC=ab=ch，
∴ab=ch，
∵∠ACB=90°，
∴a2+b2=c2，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2，
∵a、b、c、h都是正数，
∴(a+b)2<(c+h)2，
∴a+b(3)∵(c+h)2=c2+2ch+h2；
h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a2+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面积公式推导)，
∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，
∴(c+h)2=h2+(a+b)2，
∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质.
27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
(1)P、Q出发4秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
【答案】(1)PQ的长为4cm；
(2)出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
(3)当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，△CQB能形成直角三角形．
【提示】（1）由题意求得BQ和BP，由勾股定理可求出答案；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）求出BQ，分两种情况可求出答案．
（1）解：∵运动时间为4秒，∴BQ=2×4=8（cm），BP=AB-AP=16-1×4=12（cm），在Rt△PQB中，根据勾股定理得：PQ==4（cm）；
（2）解：设运动时间为t秒，则BQ=2t（cm），BP=（16-t）（cm），根据题意得：2t=16-t，解得：t=，即出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）解：当点Q在CA边上，且△CQB形成直角三角形时，过点B作CA的垂线，垂足即为点Q．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC==20（cm），根据三角形面积公式可得：BQ= （cm），在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：CQ=（cm），（12+）÷2=9.6（秒），当点Q运动到点A时，△CQB也形成直角三角形，（12+20）÷2=16（秒）．∴当点Q在边CA上运动时，出发9.6或16秒后，△CQB能形成直角三角形．
【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
28．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
【答案】(1)150°
(2)见解析
(3)
【提示】（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；
（2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答；
（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答．
(1)
解：∵，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，
∵32+42=52
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；
故答案为：150°；
(2)
证明：∵点P为△ABC的费马点，
∴，
∴，
又∵，
∴APD为等边三角形
∴，，
∴，
∴，
在△APC和△ADE中，
∴ (ASA)；
∴，
∵，
∴BE＝PA＋PB＋PC；
(3)
解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴，
把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B，
∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，
∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，
∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，
∴C、P、A′、P′四点共线，
在Rt△A′BC中，，
∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．
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2.7勾股定理
一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， .
二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
四、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1） 首先确定最大边（如）.
（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
一、单选题
1．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A．25 B．14 C．7 D．7或25
2．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C． D．，，
3．下列说法正确的是（ ）．
A．若、、是的三边长，则
B．若、、是的三边长，则
C．若、、是的三边长，，则
D．若、、是的三边长，，则
4．如图，分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，、表示，若，，则的值为（ ）．
A．9 B．12 C．16 D．18
5．如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
8．如图，在中，，是边上一点，，，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．8
9．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是________.
12．已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a2+b2)2 2(a2+b2) 15=0，则斜边c为_______.
13．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=135°，CD=6，AB=2，则四边形ABCD的面积为________
14．已知△ABC的三边a、b、c满足（a-5）2+（b-12）2+c2-26c+169=0，则△ABC是___三角三角形．
15．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而______＋______，化简后即为______．
16．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计）
17．如图，，，，，垂足分别为，，，，则_____.
18．如图，是等边三角形，，D是的中点，F是直线上一动点，线段绕点D逆时针旋转，得到线段，当点F运动时，的最小值是________________．
三、解答题
19．如图，在Rt中，，，，于．
求：（1）斜边的长；
（2）高的长．
20．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为；
（3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4．
22．有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求原路线的长．
23．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点．
（1）求的长；
（2）求的面积．
24．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E．
(1)若，求证：；
(2)若，，，求的长．
25．如图，在中，平分交于点D，E是上的一点，且，交于点F．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
26．如图，在中，，于点，设，，，.
求证：（1）.
（2）.
（3）以，，为边的三角形是直角三角形.
27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止．
(1)P、Q出发4秒后，求PQ的长；
(2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，△CQB能形成直角三角形？
28．若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
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