2022-2023学年浙教版八年级数学上册 1.1 认识三角形 提升练习 （Word版含答案）

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》
1.1 认识三角形（1）
1、下列图①、②、③中，具有稳定性的是图　 　．
2、如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　 　个．
3、已知△ABC的周长是24cm，若三边a，b，c满足b：c＝3：4，且a＝2c﹣b，则边a的长度是　 　．
4、已知a、b、c是△ABC的三边，则化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|的结果是　 　．
5、两根木棒分别长3cm、7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长为偶数（单位：cm），那么所构成的三角形周长为　 　cm．
6、如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　 　°．
7、已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　°．
8、如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有　 　个三角形．
9、在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
10、过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出　 　个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出　 　个三角形．
11、① 设△ABC的三边分别为a、b、c，试证明：a＜（a+b+c）
② 设四边形的四边长依次为a、b、c、d，两条对角线分别为e、f，证明：e+f＞（a+b+c+d）
12、如图，点P是△ABC内部的一点．
（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小；
（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？
（3）你能说明上述结论为什么正确吗？
13、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
（1）∠BAE的度数； （2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？
若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
14、在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CDA＝∠CAB，MN是经过点D的一条直线．
（1）直线MN⊥AC，垂足为点E，在图1中画出直线MN．若∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，求∠CAD，∠CDE的度数；
（2）直线MN∥AB交AC边于点F，在图2中画出直线MN，求证：∠CDF＝∠CAD．（提示：三角形内角和等于180°）
15、问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）问题思考：按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，请你判断∠APC与α，β之间有何数量关系，并说明你的理由；
（3）问题解决：我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．请你试试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
16、小红同学以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形ABC中，已知∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，直线a∥b．
（1）如图1，直线b与线段AC相交（b不过点C），若∠1＝43°，求∠2的度数；
（2）如图2，小红同学把直线b向上平移，使得直线b过点C，若∠1＝43°，求∠2的度数；
（3）如用3，小红同学把直线b继续向上平移，使得直线b与线段BC相交（b不过点B），设∠1＝x（30°＜x＜90°），∠2＝y，求y与x之间的关系式．
1.1 认识三角形（1）-参考答案
1、下列图①、②、③中，具有稳定性的是图　 　．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，∴①具有稳定性．
2、如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形　 　个．
【解答】解：第n个图形中，三角形的个数是1+4（n﹣1）＝4n﹣3．所以当n＝6时，原式＝21．
3、已知△ABC的周长是24cm，若三边a，b，c满足b：c＝3：4，且a＝2c﹣b，则边a的长度是　 　．
【解答】解：由题意得，，解得：，故答案为：10cm．
4、已知a、b、c是△ABC的三边，则化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|的结果是　 　．
【解答】解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a+b＞0，
∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a+b|＝a+b﹣c﹣b+c+a﹣c+a﹣b＝3a﹣b﹣c．故答案为：3a﹣b﹣c．
5、两根木棒分别长3cm、7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长为偶数（单位：cm），那么所构成的三角形周长为　 　cm．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三根木棒的长大于4cm而小于10cm．
又第三根木棒的长是偶数，则应为6cm，8cm．∴所构成的三角形周长为16cm或18cm，故答案为：16或18．
6、如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　 　°．
【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，
∵∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠4＝50°，∵∠2+∠4+∠β＝180°，∴∠β＝65°，故答案为：65．
7、已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　°．
【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）＝360°﹣（360°﹣2∠C）＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3＝2∠C+2∠B+35°＝2（∠C+∠B）+35°＝2（180°﹣∠A）+35°＝2（180°﹣65°）+35°＝265°
故答案为：265°．
8、如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
出现三角形个数
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有　 　个三角形．
【解答】解：（1）
连接个数 1 2 3 4 5 6
出现三角形个数 3 6 10 15 21 28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）＝[1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]＝（n+1）（n+2）．
9、在同一平面内，用3根和5根火柴棒不折断首尾顺次相接，分别摆成三角形，现把这两个三角形根据三边火柴根数分别记为（1，1，1）和（2，2，1）．
（1）现有12根火柴，请你摆一摆，分别画出符合条件的所有三角形，并标出各边三角形的火柴根数？
（2）如果有18根火柴，你能摆成几种三角形？请按题中的记法表示出所有符合条件的三角形．（不要求画图）
【解答】解：（1）根据边长都为正数和周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形分别为（2，5，5），（3，4，5），（4，4，4）；
（2）（2，8，8），（3，7，8），（4，7，7），（4，6，8），（5，6，7），（5，5，8），（6，6，6）．
10、过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形；
（1）其中以AB为一边可以画出　 　个三角形；
（2）其中以C为顶点可以画出　 　个三角形．
【解答】解：（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个；
（2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个．
11、① 设△ABC的三边分别为a、b、c，试证明：a＜（a+b+c）
② 设四边形的四边长依次为a、b、c、d，两条对角线分别为e、f，证明：e+f＞（a+b+c+d）
【解答】解：①证明：∵b+c＞a，∴b+c＞a，∴b+c+a＞a+a，
∴（a+b+c）＞a，即a＜（a+b+c）；
② 证明：显然n+x＞a，x+m＞b，y+m＞c，n+y＞d，所以：2（x+y+m+n）＞a+b+c+d，
即：2（e+f）＞a+b+c+d，所以：e+f＞（a+b+c+d）．
12、如图，点P是△ABC内部的一点．
（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小；
（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？
（3）你能说明上述结论为什么正确吗？
【解答】解：（1）如图有：AB+AC＞PB+PC；
（2）改变点P的位置，上述结论还成立；
（3）如图，连接AP，BP，CP，延长BP交于AC于点E，
在△ABE中有，AB+AE＞BE＝BP+PE①，在△CEP中有，PE+CE＞PC②
①+②得，AB+AE+PE+CE＞BP+PE+PC，AB+AC+PE＞BP+PE+PC，∴AB+AC＞BP+PC．
13、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．求：
（1）∠BAE的度数； （2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B﹣∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数？
若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝40°；
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°；
（3）能．∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），
∵∠B﹣∠C＝40°，∴∠DAE＝×40°＝20°．
14、在△ABC中，D是BC边上一点，且∠CDA＝∠CAB，MN是经过点D的一条直线．
（1）直线MN⊥AC，垂足为点E，在图1中画出直线MN．若∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，求∠CAD，∠CDE的度数；
（2）直线MN∥AB交AC边于点F，在图2中画出直线MN，求证：∠CDF＝∠CAD．（提示：三角形内角和等于180°）
【解答】解：（1）如图1中，∵∠CAB＝70°，∠DAB＝20°，∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝70°﹣20°＝50°，
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°，∵∠ADC＝∠CAB＝70°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°；
（2）证明：∵MN∥AB，∴∠ADF＝∠DAB，∵∠ADC＝∠CAB，∴∠CDF＝∠CAD．
15、问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）问题思考：按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，请你判断∠APC与α，β之间有何数量关系，并说明你的理由；
（3）问题解决：我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．请你试试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°；
（2）∠APC＝α+β，理由如下：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，
（3）证明：如图3，过点A作MN∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
16、小红同学以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形ABC中，已知∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，直线a∥b．
（1）如图1，直线b与线段AC相交（b不过点C），若∠1＝43°，求∠2的度数；
（2）如图2，小红同学把直线b向上平移，使得直线b过点C，若∠1＝43°，求∠2的度数；
（3）如用3，小红同学把直线b继续向上平移，使得直线b与线段BC相交（b不过点B），设∠1＝x（30°＜x＜90°），∠2＝y，求y与x之间的关系式．
【解答】解：（1）如图（1），∵∠BAC＝90°，∠1＝43°，∴∠3＝180°﹣∠BAC﹣∠1＝47°，
∵a∥b，∴∠2＝∠3＝47°；
（2）如图（2），∵a∥b，∠1＝43°，∴∠3＝∠1＝43°，
∴∠4＝∠3﹣∠ABC＝13°，∴∠2＝180°﹣∠4＝167°；
（3）如图（3），∵a∥b，∠1＝x，∴∠3＝∠1＝x，∴∠4＝∠3﹣∠ABC＝x﹣30°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝210°﹣x，即y＝210°﹣x．