二次函数几何问题综合练习（浙教版）
一、单选题
1．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过（ ）秒，四边形的面积最小.
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设移动时间为x秒，四边形APQC的面积为，
由题意得：，，
，
，
，
，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
即经过秒，四边形APQC的面积最小，
故答案为：B.
【分析】设移动时间为秒，四边形APQC的面积为，再求出BQ和把AP表示出来，根据列出函数式，再根据二次函数的性质求最小值即可.
2．在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，若抛物线与线段MN只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线与线段MN只有一个公共点，
∴当这个交点为（-1，3）时，
1+2m+m2-m+2=3
解之：m1=0，m2=-1
∵a=1＞，
∴抛物线的开口向上
∴m的取值范围为-1≤m＜0；
当这个交点为（3，3）时，
9-6m+m2-m+2=3
解之：
∴m的取值范围是：
∴m的取值范围是-1≤m＜0或.
故答案为：A.
【分析】抛物线与线段MN只有一个公共点，分情况讨论：当这个交点为（-1，3）时，代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到m的取值范围；当这个交点为（3，3）时，将其代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到m的取值范围；综上所述可得到抛物线与线段MN只有一个公共点时的m的取值范围.
3．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 三顶点的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】探索图形规律；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：过B2作B2D2⊥x轴于D2，
∵在平面直角坐标系中放置 ， 点 .
∴OB=3，AB=4，OA= ，
∵三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4...2，
∴ 与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12，
∵OA2=OB+B1A1=3+4=7，OC2=OB+B1A1+A2C2=3+4+5=12，
∵△A2B2C2是直角三角形，
∴S△A2B2C2= B2D2·A2C2= A2B2·B2C2，即 ，
∴ ，
∴A2D2= ，OD2= ，
∴A2（7，0），B2（ ， ），C2（12，0），
∴设过A2（7，0），B2（ ， ），C2（12，0）的抛物线解析式为y=a（x-7）（x-12），
把点B2（ ， ）代入抛物线解析式， ，
解得 ，
过△A2B2C2的抛物线解析式为 ，
将抛物线向右平移四个循环4×12=48，得抛物线为 .
故答案为：D.
【分析】过B2作B2D2⊥x轴于D2，三角形有三条边，连线翻转3次是一个循环，14÷3=4...2，△A14B14C14与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5=12，用待定系数法求出经过点A2B2C2的抛物线，再向右平移四个循环即48个单位长度，可求解.
4．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： AB=AD，△ABD的周长为20cm，设
故答案为：C
【分析】用含x的表示方法表示出再利用三角形的面积公式列出方程即可。
5．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝m米，
∴BC＝（28﹣m）米.
则S＝AB BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m.
即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）.
由题意可知， ，
解得6≤m≤13.
∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，
∴当m＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的面积S＝AB BC可得S与m之间的函数关系式，由矩形的性质可得m的范围，再根据二次函数的性质可求解.
6．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两点间的距离；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设P点坐标为（a， a2﹣1），则OA＝a，PA＝ a2﹣1，
∴ ，
∴OP﹣PA＝ a2+1﹣（ a2﹣1）＝2．
故答案为：B．
【分析】设P点坐标为（a， a2﹣1），则OA＝a，PA＝ a2﹣1，再利用两点之间的距离公式可得，最后利用线段的和差计算即可。
7．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．18m2 B．12 m2 C．16 m2 D．22 m2
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S=x（12-2x）= ，
∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，
故答案为：A．
【分析】设与墙垂直的矩形的边长为xm，根据矩形的面积=长×宽列出函数关系式，再利用配方法求解即可。
8．如图，在边长为2的正方形 中，点 为对角线 上一动点， 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：延长EM交AD于G，设ME=x，则MG=2－x.
∵四边形 是正方形
∴AD∥BC，∠MDF=45°，∠MFD=∠FDG=90°
∴∠MGD=∠MFD=∠FDG=90°，且DF=MF
∴四边形MFDG是正方形
∴MF=MG=2－x
根据勾股定理：
整理得： ，其中
∴当 时， 有最小值，最小值为：
∴EF的最小值为：
故答案为：D.
【分析】延长EM交AD于G，可设ME=x，则MG=2－x，先证出MFDG是正方形，可得MF=MG=2－x，根据勾股定理即可得到EF2与x的关系式，再根据二次函数求最值即可.
9．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设AC=x，则BD=12 x，
则四边形ABCD的面积= AC×BD= ×x×(12 x)= x +6x= (x 6) +18，
∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18，
故答案为：B.
【分析】根据AC＋BD＝12可设AC=x，则BD=12 x，由题意得S四边形ABCD=AC·BD可得关于x的二次函数关系式，并将这个关系式配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解.
二、填空题
10．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 的半径为2． 为 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ， 的最大值为 ．
【答案】3；
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
当y=0时 ，
解之：x1=-4，x2=4，
∴点A（-4，0），点B（4，0），
∴OB=OA=4，
当x=0时y=3，
∴点C（0，3）
∴OC=3；
∵圆C的半径为2，
∴CG=2，
∵点P为AG的中点，点O为AB的中点，
∴，
∴当BG最大时OP的值最大，
∴当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，
在Rt△BOC中
∴BG=CG+BC=2+5=7
∴OP的最大值为；
如图，
连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，
∵OC垂直平分AB，
∴AC=BC=5，
∴AG的最小值为5-2=3.
故答案为：3，.
【分析】利用函数解析式，由y=0可求出点A，B的坐标，从而可求出OA，OB的长；由x=0求出y的值，可得到点C的坐标，即可得到OC的长；再利用三角形的中位线定理可证得；当BG最大时OP的值最大，当点B，C，G在同一直线上时，BG最大即OP的值最大，利用勾股定理可求出BG的长，即可得到OP的最大值；连接AC交圆C于点G1，则点G与点G1重合，此时AG的长最短，可得到AC的长，然后求出AG的最小值.
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ，AQ，则△PAQ面积的最大值为 .
【答案】1
【知识点】勾股定理；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，
∴∠PCQ=90°，CP=CQ，
∴∠ACP+∠ACQ=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCP+∠ACP=90°，
∴∠BCP=∠ACP，
∵AC=BC，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴∠B=∠CAQ，BP=AQ，
∵BC=AC=2，
∴∠B=∠CAQ=∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB= ，
设BP=AQ=x，则 ，
∴ ，
∵ ，函数开口向下，函数有最大值，
当 时， .
故答案为：1.
【分析】利用旋转的性质可证得∠PCQ=90°，CP=CQ，利用余角的性质可得到∠BCP=∠ACP，利用SAS证明△BPC≌△AQC，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得∠B=∠CAQ，BP=AQ；再证明∠PAQ-90°，利用勾股定理求出AB的长；设BP=AQ=x，可表示出AP的长，利用三角形的面积公式可得到△PAQ与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出△PAQ的最大面积.
12．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为 m.
【答案】1.6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，由题意建立坐标系，得B（0，0.5），C（1，0）.
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
代入得a＝ ，c＝，
∴抛物线的解析式为y＝ x2+.
当x=0.2时，y=0.48，
当x=0.6时，y=0.32.
∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×（0.48+0.32）=1.6m.
故答案为：1.6.
【分析】由题意建立坐标系，得B（0，0.5），C（1，0），设抛物线的解析式为y=ax2+c，将B、C的坐标代入求出a、c，进而可得抛物线的解析式，分别令x=0.2、x=0.6，求出y的值，然后计算出B1C1+B2C2+B3C3+B4C4的值即可.
13．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是 ．
【答案】50
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：连接AC、BD，交于O点，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴2EF＝AC，2EH＝BD，EF∥AC，EH∥BD，
∵四边形EFGH是矩形，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S＝ AC·BD，
∵四边形EFGH的周长为20，
设EH的长为x，则相邻的边EF为（10﹣x），
∴BD＝2x，AC＝2（10﹣x），
∴S＝ ×2x·2（10﹣x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴四边形ABCD的面积的最大值是50．
故答案为：50．
【分析】先求出AC⊥BD，再利用矩形的面积计算求解即可。
14．如图，正方形 的边长是 ， 是 上一点， 是 延长线上的一点， ．四边形 是矩形，矩形 的面积 与 的长 的函数关系是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵正方形 的边长是 ，且
∴矩形 的长 的长为 cm，宽 的长为 cm
∴矩形 的面积为：
故答案为：
【分析】先求出矩形 的长 的长为 cm，宽 的长为 cm，再求解即可。
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y=2x2+bx 上一点，顶点 B 的横坐标是1，当△AOB 是直角三角形时，点 A 的坐标为 ．
【答案】 或 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵顶点 B 的横坐标是1，
解之：b=-4
∴抛物线的解析式为：y=2x2-4x=-2（x-1）2+2，
∴点B（1，2）
设点A（m，2m2-4m），
∴OA2=m2+（2m2-4m）2，OB2=22+1=5，AB2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2
当AB2+OB2=OA2时
∴（m-1）2+（2m2-4m+2）2+5=m2+（2m2-4m）2，
整理得：4m2-9m+5=0
解之：m1=，m2=1（舍去），
∴2m2-4m=
∴点A；
当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，
∴∠ONA=∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，∠NAO+∠BAM=90°，
∴∠ABM=∠NAO，
∴△NAO∽△ABM，
∴
设ON=a，NA=c，
∴AM=2-c，BM=a-1，点A（a，-c）
∴-c=2a2-4a，
∴
∴a2-a=2c-c2，
解之：
∴点A（）；
当OB2+OA2=AB2时，
5+m2+（2m2-4m）2=（m-1）2+（2m2-4m+2）2，
整理得：4m2-9m=0
解之：m1=，m2=0
当m=时，2m2-4m=
∴点A .
∴点A或或.
故答案为：或（或.
【分析】利用顶点的横坐标为1，可求出b的值，即可得到函数解析式，利用函数解析式求出顶点B的坐标；设点A（m，2m2-4m），利用勾股定理分别表示出AB2、OB2、OA2，利用勾股定理分情况讨论：当AB2+OB2=OA2时；当OB2+OA2=AB2时；分别建立关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值，即可得到点A的坐标；当∠OAB=90°时，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作EM⊥y轴于点E，交NA的延长线于点M，易证△NAO∽△ABM，利用全等三角形的性质可得对应边成比例，设ON=a，NA=c，可表示出AM，BM的长，同时可得到点A的坐标，将点A的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值，可得点A的坐标；综上所述可得到符合题意的点A的坐标.
三、综合题
16．如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．
【答案】（1）解：∵AB边的长为x米，
∴BC边的长为（36-2x）米，
由题意，得S=AB BC=x（36-2x）=-2x2+36x，
x>0，36-2x>0，
即0＜x＜18，
∴S与x之间的函数关系式为S=-2x2+36x（0＜x＜18）
（2）解：S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，
∵a=-2＜0，
∴当x=9米时，S有最大值，最大值为162平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)因 AB边的长为x米，则BC边的长为（36-2x）米，根据题意可得S与x的关系，再根据题意确定自变量的取值范围；
（2）利用配方法求出函数的最大值，并判断x的取值是否在自变量的取值范围内。
17．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=x m，
∴BC=(40-2x)m，
∴花园的面积为：y=AB BC=x (40-2x)=-2x2+40x，
∵40-2x≤25，x+x<40，
∴x7.5，x<20，
∴7.5≤x<20，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-2x2+40x（7.5≤x<20）；
（2）解：∵，()
∴ 当时，．
答：当x为10m时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据AB=x m，BC=(40-2x)m，再利用y=AB BC=x (40-2x)=-2x2+40x即可得到答案；
（2）利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式，再利用抛物线的性质求解即可。
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【答案】（1）2；一次函数
（2）解：①由题意可得：，
△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为
∴当时，S取得最大值，最大值为6
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①运动停止时，分别到达终点C点和B点，
故答案为
②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系
故答案为一次函数
【分析】（1）①求出即可作答；
②先求出，，再求出，最后求解即可；
（2）①利用三角形的面积公式计算求解即可；
②先求出 ，开口向下，对称轴为 ，再求解即可。
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）.
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm.
根据勾股定理，得 .
以A，P，M为顶点的三角形与 相似，分两种情况：
①当 时， ，即 ，
解得 ；
②当 时， ，即 ，
解得t＝0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t＝ 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）解：存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值.
如图，过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC，
， 即 ，
，
∴S＝S△ABC﹣S△BPN，
＝ ×3×4﹣ ×（3﹣t） t，
＝ （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）.
∵ ＞0，
∴S有最小值.
当t＝ 时，S最小值＝ .
答：当t＝ 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是 .
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当△AMP∽△ABC时，利用相似三角形的性质，可建立关于t的方程，解方程求出t的值；当△APM小三△ABC时，利用相似三角形的性质，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述可得到符合题意的t的值.
（2）过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC，利用平行得相似，再利用相似三角形的性质，用含t的代数式表示出PH的长；再根据S＝S△ABC﹣S△BPN， 利用三角形的面积公式可得到S与t的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出四边形APNC的面积S的最小值.
20．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5厘米，BC＝7厘米．点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当B点运动到C点时停止，P点也同时停止．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问第几秒时，四边形APQC的面积最小？其最小面积为多少？
【答案】（1）解：如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么t秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米，根据题意得
解之：t1=4，t2=1
经检验t=1或4都是方程的解，
答：如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么4或1秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米.
（2）解：
（2）设第t秒时，四边形APQC的面积最小，
.
∵a＞0，抛物线的开口向上，
∴当t=时，四边形APQC的面积最小，其最小面积为.
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米，利用两个点的运动速度和方向及△PBQ的面积，可建立关于t的方程，解方程求出t的值.
（2）设第t秒时，四边形APQC的面积最小，可表示出四边形APQC的面积与t之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
21．如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线 交直线 于点 ．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在直线 上方的抛物线上是否存在点P，使得 ，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵点C在直线 上，
∴把 代入 得， ，解得
∴直线 ，由
得， ，解得
∴B坐标为
将 代入 得 ，解得 ∴抛物线的解析式为
（2）解：∵点P在抛物线 上，∴设点
∵点P在直线 上方的抛物线上，∴
对于直线 ，由 ，得 ，∴
∴ ，
∴ ，解得 （舍弃）， ∴P坐标是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入一次函数解析式，可得到k的值，由此可求出一次函数解析式；由y=0可求出x的值，可得到点B的坐标，再将点B，C的坐标代入二次函数解析式，可求出a，b的值，即可得到二次函数解析式.
（2）利用二次函数解析式设点 ，根据点P在直线 上方的抛物线上，可得到m的取值范围，利用一次函数解析式求出点A的坐标，分别表示出△PAO和△PBO的面积，根据两三角形的面积相等，建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
22．已知：如图，在 中， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）求几秒后， 的面积等于 ？
（2）求几秒后， 的长度等于 ？
（3）求几秒后， 的长度能取得最小值，其最小值为多少 ？
【答案】（1）解：设运动时间为 秒，则 ， ，根据题意得：
解得
答：2秒或6秒后， 的面积等于
（2）解：设运动时间为 秒，则 ， ，
在 中，
解得
答：1秒或7秒后， 的长度等于
（3）解：设运动时间为 秒，则 ， ，
在 中，
当 时，取得最小值为 ．
即4秒后， 取得最小值，最小值为 ．
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）设运动时间为 秒，则 ， ， 根据三角形的面积公式可以得到，求解即可；
（2）设运动时间为 秒，则 ， ，利用勾股定理可以得到求解即可；
（3）设运动时间为 秒，则 ， ，根据勾股定理可以得到，再利用二次函数的性质求解即可。
23．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x＋4
（2）解：将x=0代入y=-x2-3x+4得，y=4，
∴点C（0，4），
设直线AC所在直线的表达式为y=k1x+b1，则
，解得：，
∴直线AC的表达式为y=x+4，
如图，设PD与线段AC交于点N，
设P（t，-t2-3t+4），
∵PD⊥x轴交AC于点N，
∴N（t，t+4），
∴PN=yP-yN=-t2-4t，
过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4，
∴S△APC=S△APN+S△PCN=PN AD+PN CH
=PN (AD+CH)
= ( t2 4t) ( t+t+4)
=-2t2-8t
=-2(t+2)2+8，
∵a=-2＜0，
∴当t=-2时，S△APC有最大值，△PAC面积的最大值为8．
（3）解：设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB=∠OEB，
∵∠DPB=2∠BCO，
∴∠OEB=2∠BCO，
∴∠ECB=∠EBC，
∴BE=CE，
∵C（0，4），B（1，0），
∴OC=4，OB=1，
设OE=a，则CE=BE=4-a，
在Rt△BOE中，BE2=OE2+OB2，
∴（4-a）2=a2+12，
解得：a=，
∴E（0，），
设BP所在直线表达式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y=-x+．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的表达式；
(2)由图可知 S△APC=S△APN+S△PCN ， 设P（t，-t2-3t+4）， 过点C作CH⊥PD，则CH=-t，AD=t-4， 则可求出S△APC 的面积表达式，再求出S△APC 的最大值；
（3）可根据题目已知条件，求出点B、点E的坐标，利用待定系数法确定直线BP的表达式．
24．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C. 点P，Q为抛物线上两动点.
（1）若点P坐标为（1，3），求抛物线的表达式；
（2）如图①连结BC，在（1）的条件下，是否存在点Q，使得∠BCQ=∠ABC. 若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为抛物线顶点，连结OP，当 a 的值从-3变化到-1的过程中，求线段OP扫过的面积.
【答案】（1）解：把坐标P(1，3)代入，得 ，解得
∴
（2）解：①当Q点在BC右侧 ，QC∥AB，Q（ ，3）
②当Q在BC左侧时，过B作BM⊥BC，交直线CQ于点M.构造K字形相似，得M（ ， 3）， 直线QC即直线MC为y= ，解得Q（ ）
（3）解：∵ 点P
∴ 点P在直线 上运动
当 时，点 的横坐标为
当 时，点 的横坐标为
即∴ ×3×（ - ）=
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）分情况讨论：当Q点在BC右侧 ，QC∥AB，当Q在BC左侧时，过B作BM⊥BC，交直线CQ于点M.构造K字形相似，可得到点M的坐标，利用待定系数法求出直线QC的函数解析式，从而可求出点Q的坐标.
（3）利用函数解析式，可得到抛物线的顶点P的坐标，再根据点P在直线 上运动，分别求出当a=-3和a=-1时点P的横坐标，利用三角形的面积公式求出△P1OP2的面积.
25．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连接OB.点P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q.
（1） 求AB的长；
（2） 当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3） 当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），
令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6，故点B（6，3），
故AB＝6
（2）解：设P（m，﹣m2+6m+3），
∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，
，故 ，
解得m＝4.
∴P（4，11）；
（3）解：当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，
则2（AO+HQ）＝PH，
∴2（3+ ）＝﹣m2+6m，
解得：m1＝4，m2＝3，
∴P（4，11）或P（3，12）.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点A的坐标；再求出当y=3时的x的值，可得到点B的坐标，然后求出AB的长.
（2）设点P（m，﹣m2+6m+3）， 利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得△ABO∽△HPA，利用相似三角形的性质，可建立关于m的方程，解方程求出m的值，即可得到点P的坐标.
（3）利用已知△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍，可得到2（AO+HQ）＝PH，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
26．已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.如图，若抛物线y=-x2+bx
+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？
（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵x2－4x+3=0的两个根为x1=1，x2=3
∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3）
又∵抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（1，0）、B（0，3）两点
∴抛物线的解析式为y=－x2-2x+3
（2）解：作直线BC
由（1）得，y=－x2-2x+3
∵抛物线y=－x2－2x+3与x轴的另一个交点为C令－x2－2x+3=0
解得：x1=1，x2=－3
∴C点的坐标为（－3，0）
由图可知：当－3＜x＜0时，抛物线的图像在直线BC的上方.
（3）解：设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，－a2－2a+3）
∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分.
∴F是线段PE的中点.
即F点的坐标是（a， ）
∵直线BC过点B（0.3）和C(-3，0)
易得直线BC的解析式为y=x+3
∵点F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式
即 =a+3
解得a1=－1，a2=－3(此时P点与点C重合，舍去)
∴P点的坐标是（－1，0）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 x1=1，x2=－3 ，再求出 C点的坐标为（－3，0） ，最后求解即可；
（3）根据题意求出 F点的坐标是（a， ） ，再求出 =a+3 ，最后计算求解即可。
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的一个交点为 ，与y轴的交点为C，点B为抛物线对称轴上一动点．
（1）抛物线的函数表达式为 ，抛物线的对称轴为 ．
（2）线段 绕点B顺时针旋转 得到 ，当点P落在抛物线上时，求出点B坐标．
（3）当点B在x轴上时，M，N是抛物线上的两个动点，M在N的右侧，若以B，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M的横坐标．
【答案】（1）；直线x=3
（2）解：过B作 轴垂足为E，过点P作 垂足为F
∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴
∴设 ，∵点P落在抛物线上，
∴把 代入 ，得
所以
（3）解：①如图2，当 为边时，∵四边形 是平行四边形，∴
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点C
∴设点 ，则N坐标为
∵点N在抛物线上，∴把 代入 得 ，解得
②如图3，当 为对角线时，∵四边形 是平行四边形，∴
∵ ，∴ ，
∴设点 ，则N坐标为
∵点N在抛物线上，∴把 代入 得 ，解得
所以点M的横坐标为 或 ．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点A（-2，0）
∴4a+12a+4=0
解之：a=-0.25
∴y=-0.25x2+1.5x+4.
∴抛物线的对称轴为直线.
故答案为：y=-0.25x2+1.5x+4，直线x=3.
【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出a的值，由此可得到函数解析式；再求出抛物线的对称轴.
（2）过B作BE⊥y轴垂足为E，过点P作PF⊥BE于点F ，利用AAS可证得△CEB≌△BFP，利用全等三角形的性质可证得BC=BP=3，BF=CE=t，设点P（3+t，7-t），将点P的坐标代入二次函数解析式，建立关于t的方程，解方程求出t的值，可得到符合题意的点B的坐标.
（3） ①如图2，当BC为边时，∵四边形BCNM是平行四边形， 点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点C，设点M ，则N坐标为 ，把点N的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值； ②如图3，当 为对角线时，∵四边形 是平行四边形，可得到CQ=BQ，NQ=MQ，利用函数解析式设点 ，则N坐标为 ，把点N的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值； 综上所述可得到符合题意的m的值.
28．如图，抛物线 与x轴相交于点 和点B，交y轴于点C， ，点P是抛物线上第一象限内的一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作 轴交 于点D，求线段 长度的最大值；
（3）若Q为坐标平面内一点，在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵A（-1，0），则OA=1，
又∵CO=3AO，
∴OC=3，C（0，3），
把A，C两点的坐标代入y=-x2+bx+c得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）由-x2+2x+3=0得点B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B（3，0），C（0，3）代入得 ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设点P（x，-x2+2x+3），则点D（x，-x+3）（0＜x＜3），
∴PD＝（-x2+2x+3）-（-x+3）＝-x2+3x＝ ，
∴当x＝ 时，PD有最大值 ；
（3）由（2）可得：
将x= 分别代入y=-x+3和y=-x2+2x+3中，
得y= ，y= ，
∴D（ ， ），P（ ， ），又C（0，3），
∵以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如图，
若PD为平行四边形的边，
则四边形PDCQ2和四边形PCQ1D为平行四边形，
∴PD=CQ2=CQ1，PD∥CQ2∥CQ1，
可得Q1（0， ），Q2（0， ）；
若PD为平行四边形的对角线，
则四边形PCQ3D为平行四边形，
则CP=DQ3，CP∥DQ3，
则Q3（3， ），
综上：点Q的坐标为（0， ）或（0， ）或（3， ）.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意易得点C的坐标，根据待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意把点B、C的坐标代入直线BC的解析式可得关于k、b的方程组，解方程组可求得直线BC的解析式；设点P（x，-x2+2x+3），则点D（x，-x+3）（0＜x＜3），根据两点间的距离公式可将PQ用含x的代数式表示出来，并将解析式配成顶点式，根据二次函数的性质可求解；
（3）由题意把x=代入直线BC和抛物线的解析式求得y的值，于是可得点D、P的坐标，而以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可分两种情况：①若PD为平行四边形的边，则四边形PDCQ2和四边形PCQ1D为平行四边形，由平行四边形的性质可求解；②若PD为平行四边形的对角线，则四边形PCQ3D为平行四边形，由平行四边形的性质可求解.
29．如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
（4）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令x=0，则y=2，
∴C（0，2），
令y=0，则x=4，
∴B（4，0）
（2）解：设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，将点A(-1，0 )，B(4，0 )，c(0，2)代入，
得
∴
∴
（3）解： 的对称轴为直线
设E
∴EF⊥x轴，
当t=2时， 的面积最大，最大值为 。
此时E(2，1).
（4）解：P1(1.5，4) ，P2(1.5，2.5) P3(1.5，-2.5)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（4）如图，
∵点C（0，2），点D（，0）
∴
当CD=DP1=2.5时，
∴点P1（1.5，2.5）；
当DC=CP2=2.5时
DP2=2+2=4
∴点P2（1.5，4）；
当CD=DP3=2.5时
点P3（1.5，-2.5）
∴ P的坐标为(1.5，4) 或(1.5，2.5) 或(1.5，-2.5) .
【分析】（1）由x=0求出对应的y的值，可得到点C的坐标，由y=0可求出对应的x的值，可得到点B的坐标.
（2） 设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) ，将点A，B，C的坐标代入函数解析式，建立关于a，b，c的值，即可得到二次函数解析式.
（3）先求出抛物线的对称轴，可得到点D的坐标，利用函数解析式设E ，可表示出点，从而可表示出EF的长，再用含t的代数式表示出四边形CDBF的面积与t之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出结果.
（4）利用点C，D的坐标，根据勾股定理可求出CD的长，再分情况讨论：当CD=DP1=2.5时；当DC=CP2=2.5时；当CD=DP3=2.5时；分别求出符合题意的点P的坐标.二次函数几何问题综合练习（浙教版）
一、单选题
1．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过（ ）秒，四边形的面积最小.
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
2．在平面直角坐标系中，已知点M，N的坐标分别为，若抛物线与线段MN只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
3．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 三顶点的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊥BD，CE= BD．若△ABD的周长为20cm，则△BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（ ）
A．193 B．194 C．195 D．196
6．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝ x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．18m2 B．12 m2 C．16 m2 D．22 m2
8．如图，在边长为2的正方形 中，点 为对角线 上一动点， 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
二、填空题
10．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 的半径为2． 为 上一动点， 为 的中点，则 的最小值为 ， 的最大值为 ．
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ，AQ，则△PAQ面积的最大值为 .
12．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为 m.
13．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，若四边形EFGH是矩形，且其周长是20，则四边形ABCD的面积的最大值是 ．
14．如图，正方形 的边长是 ， 是 上一点， 是 延长线上的一点， ．四边形 是矩形，矩形 的面积 与 的长 的函数关系是 ．
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 是抛物线 y=2x2+bx 上一点，顶点 B 的横坐标是1，当△AOB 是直角三角形时，点 A 的坐标为 ．
三、综合题
16．如图，用一段长36米的篱笆，围成一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．
17．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）.
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由.
20．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5厘米，BC＝7厘米．点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当B点运动到C点时停止，P点也同时停止．
（1）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4平方厘米？
（2）如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问第几秒时，四边形APQC的面积最小？其最小面积为多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线 交直线 于点 ．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在直线 上方的抛物线上是否存在点P，使得 ，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
22．已知：如图，在 中， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）求几秒后， 的面积等于 ？
（2）求几秒后， 的长度等于 ？
（3）求几秒后， 的长度能取得最小值，其最小值为多少 ？
23．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接PA，PC，求的最大值；
（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．
24．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C. 点P，Q为抛物线上两动点.
（1）若点P坐标为（1，3），求抛物线的表达式；
（2）如图①连结BC，在（1）的条件下，是否存在点Q，使得∠BCQ=∠ABC. 若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P为抛物线顶点，连结OP，当 a 的值从-3变化到-1的过程中，求线段OP扫过的面积.
25．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连接OB.点P为抛物线上AB上方的一个点，连接PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q.
（1） 求AB的长；
（2） 当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3） 当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标.
26．已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.如图，若抛物线y=-x2+bx
+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？
（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴的一个交点为 ，与y轴的交点为C，点B为抛物线对称轴上一动点．
（1）抛物线的函数表达式为 ，抛物线的对称轴为 ．
（2）线段 绕点B顺时针旋转 得到 ，当点P落在抛物线上时，求出点B坐标．
（3）当点B在x轴上时，M，N是抛物线上的两个动点，M在N的右侧，若以B，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点M的横坐标．
28．如图，抛物线 与x轴相交于点 和点B，交y轴于点C， ，点P是抛物线上第一象限内的一动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作 轴交 于点D，求线段 长度的最大值；
（3）若Q为坐标平面内一点，在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
29．如图，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，0）．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求该二次函数的关系式；
（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
（4）若抛物线的对称轴与x轴的交点为D，则在抛物线在对称轴上是否存在在P，使三角形PCD是以CD为腰在等腰三角形？如果存在，直接写出点P在坐标；如果不存在，请说明理由．
