浙教版八年级下册第1章 1.2二次根式的性质 同步练习
一、单选题
1．（2016九上·卢龙期中）下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2 = D．3
2．（2016八下·宜昌期中）如果 =1﹣2a，则（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
3．（2016八下·余干期中）已知a＜b，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2016八下·固始期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A．﹣2b B．﹣2a C．2（b﹣a） D．0
5．（2016八上·东营期中）计算 的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2x﹣5 D．5﹣2x
6．（2015八下·杭州期中）化简 ﹣x ，得（ ）
A．（x﹣1 ） B．（1﹣x ）
C．﹣（x+1 ） D．（x﹣1 ）
7．（2015八下·杭州期中）如果式子 化简的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤2 C．x≥2 D．2≤x≤3
8．（2016八下·龙湖期中）下列各等式成立的是（ ）
A．（ ）2=5 B． =﹣3
C． =4 D． =x
9．（2015八下·新昌期中）若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简 ﹣|b﹣c|=（ ）
A．﹣a﹣b B．a﹣b+2c C．﹣a+b﹣2c D．﹣a+b
10．（2015八下·绍兴期中）下列计算中正确的是（ ）
A． =±13 B． =1× =1
C． = ﹣1 D． = ﹣ =5﹣4=1
11．（2015八下·洞头期中）如果1≤a≤ ，则 的值是（ ）
A．6+a B．﹣6﹣a C．﹣a D．1
12．（2016八下·广州期中）若 ，则a与3的大小关系是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
13．（2016八下·潮南期中）当1＜a＜2时，代数式 +|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
14．（2016八下·枝江期中）如图：那么 的结果是（ ）
A．﹣2b B．2b C．﹣2a D．2a
二、填空题
15．化简：=
16．若两个最简二次根式与可以合并，则a= ．
17．（2020·宿州模拟）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=
18．（2015八下·罗平期中）若1≤x≤5，化简 +|x﹣5|= ．
19．（2015八下·绍兴期中）当x=2时，二次根式 的值是
20．（2016八下·寿光期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+ = ．
三、解答题
21．已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
22．已知：x，y为实数，且，化简：．
23．（2016八下·红安期中）已知a为实数，求代数式： ﹣ + 的值．
24．（2016八下·云梦期中）观察下列式子：
=2 ； =3 ； =4 ； =5
你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
四、综合题
25．（2016八上·东营期中）探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时，有式①： ；n=3时，有式②： ；
式①验证：
式②验证：
（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、4 ﹣3 = ，原式计算错误，故本选项错误；
B、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、2 = ，计算正确，故本选项正确；
D、3+2 ≠5 ，原式计算错误，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴1﹣2a≥0，
解得a≤ ．
故选：B．
【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴ =﹣a ．
故选A．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
4．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，
∴ =﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣a﹣b+a﹣b=﹣2b．
故选：A．
【分析】由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，所以a﹣b＜0，化简即可解答．
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意要求 的值，
∵2﹣x≥0，
∴x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴ =3﹣x
∴ =2﹣x+3﹣x=5﹣2x
故选D．
【分析】根据二次根式的性质可得，2﹣x≥0，然后判断x﹣3的符号，再开根号进行求解．
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵要使 和 有意义，必须x＜0，
∴ ﹣x =﹣x ﹣x （﹣ ）
=﹣x +
=（1﹣x） ，
故选B．
【分析】根据已知式子得出x＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可．
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ﹣|x﹣2|化简的结果为5﹣2x，
∴ ﹣|x﹣2|=3﹣x+2﹣x=5﹣2x，
∴x﹣3≤0，x﹣2≥0，
∴2≤x≤3．
故选D．
【分析】根据算术平方根的被开方数是非负数，绝对值是非负数，化简求解即可．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、错误， 本身没意义；
B、错误， =3；
C、正确， = =4；
D、错误， =x中不知道x的符号，不能直接等于x．
故选C．
【分析】根据二次根式的性质化简．
9．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵由图可知，c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞a，
∴a+c＜0，b﹣c＞0，
∴原式=﹣（a+c）﹣（b﹣c）
=﹣a﹣c﹣b+c
=﹣a﹣b．
故选A．
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出a、b、c的符号及绝对值的大小，进而可得出结论．
10．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =13，原题计算错误，此选项不合题意；
B、 = ，原题计算错误，此选项不合题意；
C、 = ﹣1，计算正确，此选项符合题意；
D、 = =3，原题计算错误，此选项不合题意．
故选：C．
【分析】根据二次根式的性质和运算的方法直接计算，再进一步比较得出答案即可．
11．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1≤a≤ ，
∴a﹣1≥0，a﹣2＜0
故 = +|a﹣2|
=a﹣1+2﹣a=1．
故选D．
【分析】由已知判断a﹣1，a﹣2的符号，根据二次根式的性质解答．
12．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ =3﹣a，等式左边为算术平方根，结果为非负数，
∴3﹣a≥0，解得a≤3．
故选B．
【分析】此题考查二次根式的性质： ．
13．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1＜a＜2，
∴ +|1﹣a|
=2﹣a+a﹣1
=1．
故选：B．
【分析】利用a的取值范围，进而去绝对值以及开平方得出即可．
14．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴上a、b的位置，可知：a﹣b＞0，a+b＜0；
∴原式=a﹣b﹣（a+b）=﹣2b．故选A．
【分析】根据数轴判断出a﹣b以及a+b的符号，然后再将原式化简．
15．【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：=，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，化简即可．
16．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得， ,
令2a=1-a，
解得a=．
故答案为 ．
【分析】由于两个最简二次根式可以合并，因此它们是同类二次根式，即被开方数相同．由此可列出一个关于a的方程，解方程即可求出a的值．
17．【答案】2
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2，
故答案为：2．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
18．【答案】4
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1≤x≤5，
∴ +|x﹣5|
=x﹣1+5﹣x
=4．
故答案为：4．
【分析】直接利用x的取值范围，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求出答案．
19．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=2时， = =1．
故答案为1．
【分析】把x=2代入二次根式后利用二次根式的性质化简即可．
20．【答案】﹣2a
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图可得，a＜0，b＞0且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，a+b＜0
∴|a﹣b|+ =b﹣a﹣a﹣b=﹣2a．
【分析】根据a、b在数轴上的位置确定a、b的符号及a﹣b、a+b的符号，再根据二次根式的性质解答即可．
21．【答案】解：∵由图可知，a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，
∴原式=b﹣a+a=b．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据a，b在数轴上的位置判断出a，b的符号，进而可得出a﹣b的符号，根据二次根式的性质即可得出结论．
22．【答案】解：依题意，得
∴x﹣1=0，解得：x=1
∴y＜3
∴y﹣3＜0，y﹣4＜0
∴
=3﹣y﹣
=3﹣y﹣（4﹣y）
=﹣1．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】应用二次根式的化简，注意被开方数的范围，再进行加减运算，得出结果．
23．【答案】解：由﹣a2≥0，
得，a=0，
则 ﹣ +
= ﹣ +
=0．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的值，代入代数式计算即可．
24．【答案】解：用字母表示规律是 =n （n≥2），
证明如下： = = = =n ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】直接利用已知二次根式得出数字之间变化规律，进而得出一般公式．
25．【答案】（1）解： ．
∵
（2）解： ；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．根据题意可看出 ．
1 / 1浙教版八年级下册第1章 1.2二次根式的性质 同步练习
一、单选题
1．（2016九上·卢龙期中）下列计算正确的是（ ）
A．4 B． C．2 = D．3
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、4 ﹣3 = ，原式计算错误，故本选项错误；
B、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C、2 = ，计算正确，故本选项正确；
D、3+2 ≠5 ，原式计算错误，故本选项错误；
故选C．
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
2．（2016八下·宜昌期中）如果 =1﹣2a，则（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ，
∴1﹣2a≥0，
解得a≤ ．
故选：B．
【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．
3．（2016八下·余干期中）已知a＜b，则化简二次根式 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴ =﹣a ．
故选A．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
4．（2016八下·固始期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A．﹣2b B．﹣2a C．2（b﹣a） D．0
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，
∴ =﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣a﹣b+a﹣b=﹣2b．
故选：A．
【分析】由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，所以a﹣b＜0，化简即可解答．
5．（2016八上·东营期中）计算 的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2x﹣5 D．5﹣2x
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意要求 的值，
∵2﹣x≥0，
∴x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴ =3﹣x
∴ =2﹣x+3﹣x=5﹣2x
故选D．
【分析】根据二次根式的性质可得，2﹣x≥0，然后判断x﹣3的符号，再开根号进行求解．
6．（2015八下·杭州期中）化简 ﹣x ，得（ ）
A．（x﹣1 ） B．（1﹣x ）
C．﹣（x+1 ） D．（x﹣1 ）
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵要使 和 有意义，必须x＜0，
∴ ﹣x =﹣x ﹣x （﹣ ）
=﹣x +
=（1﹣x） ，
故选B．
【分析】根据已知式子得出x＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可．
7．（2015八下·杭州期中）如果式子 化简的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤2 C．x≥2 D．2≤x≤3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ﹣|x﹣2|化简的结果为5﹣2x，
∴ ﹣|x﹣2|=3﹣x+2﹣x=5﹣2x，
∴x﹣3≤0，x﹣2≥0，
∴2≤x≤3．
故选D．
【分析】根据算术平方根的被开方数是非负数，绝对值是非负数，化简求解即可．
8．（2016八下·龙湖期中）下列各等式成立的是（ ）
A．（ ）2=5 B． =﹣3
C． =4 D． =x
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、错误， 本身没意义；
B、错误， =3；
C、正确， = =4；
D、错误， =x中不知道x的符号，不能直接等于x．
故选C．
【分析】根据二次根式的性质化简．
9．（2015八下·新昌期中）若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简 ﹣|b﹣c|=（ ）
A．﹣a﹣b B．a﹣b+2c C．﹣a+b﹣2c D．﹣a+b
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵由图可知，c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞a，
∴a+c＜0，b﹣c＞0，
∴原式=﹣（a+c）﹣（b﹣c）
=﹣a﹣c﹣b+c
=﹣a﹣b．
故选A．
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出a、b、c的符号及绝对值的大小，进而可得出结论．
10．（2015八下·绍兴期中）下列计算中正确的是（ ）
A． =±13 B． =1× =1
C． = ﹣1 D． = ﹣ =5﹣4=1
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =13，原题计算错误，此选项不合题意；
B、 = ，原题计算错误，此选项不合题意；
C、 = ﹣1，计算正确，此选项符合题意；
D、 = =3，原题计算错误，此选项不合题意．
故选：C．
【分析】根据二次根式的性质和运算的方法直接计算，再进一步比较得出答案即可．
11．（2015八下·洞头期中）如果1≤a≤ ，则 的值是（ ）
A．6+a B．﹣6﹣a C．﹣a D．1
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1≤a≤ ，
∴a﹣1≥0，a﹣2＜0
故 = +|a﹣2|
=a﹣1+2﹣a=1．
故选D．
【分析】由已知判断a﹣1，a﹣2的符号，根据二次根式的性质解答．
12．（2016八下·广州期中）若 ，则a与3的大小关系是（ ）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ =3﹣a，等式左边为算术平方根，结果为非负数，
∴3﹣a≥0，解得a≤3．
故选B．
【分析】此题考查二次根式的性质： ．
13．（2016八下·潮南期中）当1＜a＜2时，代数式 +|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1＜a＜2，
∴ +|1﹣a|
=2﹣a+a﹣1
=1．
故选：B．
【分析】利用a的取值范围，进而去绝对值以及开平方得出即可．
14．（2016八下·枝江期中）如图：那么 的结果是（ ）
A．﹣2b B．2b C．﹣2a D．2a
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴上a、b的位置，可知：a﹣b＞0，a+b＜0；
∴原式=a﹣b﹣（a+b）=﹣2b．故选A．
【分析】根据数轴判断出a﹣b以及a+b的符号，然后再将原式化简．
二、填空题
15．化简：=
【答案】
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：=，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，化简即可．
16．若两个最简二次根式与可以合并，则a= ．
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得， ,
令2a=1-a，
解得a=．
故答案为 ．
【分析】由于两个最简二次根式可以合并，因此它们是同类二次根式，即被开方数相同．由此可列出一个关于a的方程，解方程即可求出a的值．
17．（2020·宿州模拟）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=
【答案】2
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2，
故答案为：2．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
18．（2015八下·罗平期中）若1≤x≤5，化简 +|x﹣5|= ．
【答案】4
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵1≤x≤5，
∴ +|x﹣5|
=x﹣1+5﹣x
=4．
故答案为：4．
【分析】直接利用x的取值范围，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求出答案．
19．（2015八下·绍兴期中）当x=2时，二次根式 的值是
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当x=2时， = =1．
故答案为1．
【分析】把x=2代入二次根式后利用二次根式的性质化简即可．
20．（2016八下·寿光期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+ = ．
【答案】﹣2a
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图可得，a＜0，b＞0且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，a+b＜0
∴|a﹣b|+ =b﹣a﹣a﹣b=﹣2a．
【分析】根据a、b在数轴上的位置确定a、b的符号及a﹣b、a+b的符号，再根据二次根式的性质解答即可．
三、解答题
21．已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】解：∵由图可知，a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，
∴原式=b﹣a+a=b．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据a，b在数轴上的位置判断出a，b的符号，进而可得出a﹣b的符号，根据二次根式的性质即可得出结论．
22．已知：x，y为实数，且，化简：．
【答案】解：依题意，得
∴x﹣1=0，解得：x=1
∴y＜3
∴y﹣3＜0，y﹣4＜0
∴
=3﹣y﹣
=3﹣y﹣（4﹣y）
=﹣1．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】应用二次根式的化简，注意被开方数的范围，再进行加减运算，得出结果．
23．（2016八下·红安期中）已知a为实数，求代数式： ﹣ + 的值．
【答案】解：由﹣a2≥0，
得，a=0，
则 ﹣ +
= ﹣ +
=0．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a的值，代入代数式计算即可．
24．（2016八下·云梦期中）观察下列式子：
=2 ； =3 ； =4 ； =5
你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
【答案】解：用字母表示规律是 =n （n≥2），
证明如下： = = = =n ．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】直接利用已知二次根式得出数字之间变化规律，进而得出一般公式．
四、综合题
25．（2016八上·东营期中）探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时，有式①： ；n=3时，有式②： ；
式①验证：
式②验证：
（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
【答案】（1）解： ．
∵
（2）解： ；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．根据题意可看出 ．
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