2018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测
一、选择题
1．正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2016九上·昌江期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线垂直的平行四边形是菱形
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
4．如图，D为△ABC内部一点，E，F两点分别在AB，BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF＝6，BF＝9，AG＝8，则△ADC的面积为（ ）
A．16 B．24 C．36 D．54
5．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（ ）
A．它们周长都等于10cm，但面积不一定相等
B．它们全等，且周长都为10cm
C．它们全等，且周长都为5cm
D．它们全等，但周长和面积都不能确定
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
7．（2017八下·苏州期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
8．（2017·沂源模拟）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE= AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
9．（2017·东营模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是 ．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点， 若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长为 cm．
13．（2017八下·江苏期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是 AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为 ．
16．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） ，其中正确的是 (填序号）．
17．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 ．
18．如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
19．（2017·临高模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ．
20．如图，在矩形ABCD中，AB=8，E是AD上的一点，AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是 ．
三、解答题
21．如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC，求证：AE=ED．
22．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形，为什么？
23．如图, 在△ABC,
AB=AC, D是BC的中点, DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：
（1）△BDE≌△CDF；
（2）∠A=90度时，四边形AEDF是正方形．
24．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
25．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求AG的长.
26．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，求CD的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】正方形有4条对称轴．故选：D．
【分析】根据正方形的对称性解答．
2．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠AOD=90°，
∵H为AD边上的中点，
∴OH=AD
∵菱形ABCD的周长为28
∴4AD=28
∴AD=7
∴OH=3.5
故答案为：A
【分析】利用菱形的性质，可证△AOD是直角三角形，再利用直角三角形的性质，可证得OH=AD，再求出AD的长，就可得到OH的长。
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形DEBF，
∴BF=DE=9，
∴BC=BF+CF=9+6=15
S△ADC=S△AGC S△ADG
=×AG×BC ×AG×BF
=×8×15 ×8×9=60 36=24，
故答案为：B
【分析】利用矩形的性质，可证BF=DE=9，就可求出BC的长，再利用三角形的面积公式，可得到S△ADC=S△AGC S△ADG=×AG×BC ×AG×BF，代入计算即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵矩形ABCD，
∴AO=CO，
∵EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD
∵矩形ABCD的周长为20，
∴AD+CD=20÷2=10，
∴△CDE的周长为10cm,
同理可求出△ABF的周长为10cm，
∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB=CD，∠ABF=∠CDE=90°
∴∠EAO=∠FCO
∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF=CE
在Rt△CDE和Rt△ABF中
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL）
∴△ABF的周长为10cm
因此B符合题意；
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AO=CO，AD∥BC，AB=CD，∠ABF=∠CDE=90°，再由EF⊥AC，可知EF垂直平分AC，利用线段垂直平分线的性质，可证得EA=EC，根据矩形的周长为20cm，就可求出△CDE的周长为10cm，再利用平行四边形的判定和性质去证明AF=CE，就可证得Rt△CDE≌Rt△ABF，从而可求出△ABF的周长，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形，故A不符合题意；
故B符合题意；
B∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°（或AC=BD），
∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD
∴四边形ABCD是正方形，故C不符合题意；
D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵ AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，再对各选项逐一判断即可。
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD= ∠BAD，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，
∴AB=BC=5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故选B．
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC=AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB=BC=5，那么就可求菱形的周长．
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AE= AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°﹣30°=60°，
∴∠BEF= （180°﹣∠AEP）= （180°﹣60°）=60°，
∴∠EFB=90°﹣60°=30°，
∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．
【分析】求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF= PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= = =2 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ×2 = ．
故选：B．
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD
∴OA=AC=4，OD=BD=3，AC⊥BD，AD=AB
∴∠AOD=90°
∴AD=
∵DH⊥AB
∴∠AHD=∠AOB=90°
∵S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH
∴×8×6=5DH
解之：DH=4.8
在Rt△ADH中，AH=
∵∠GAH=∠BAO，∠AHD=∠AOB
∴△AGH∽△ABO
∴,即
解之：GH=
故答案为：B
【分析】利用菱形的性质易证AC⊥BD，AD=AB，利用勾股定理求出AD，再根据菱形的两个面积公式，可得到S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH，从而可求出DH，利用勾股定理求出AH的长，然后证明△AGH∽△ABO，得到对应边成比例，就可求出GH的长。
11．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD
∴OA=OB=OC=OD
∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD都是等腰三角形
故答案为：4
【分析】利用矩形的对角线相等且互相平分，可证得OA=OB=OC=OD，就可得到等腰三角形的个数。
12．【答案】9
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD
∴∠ABC=90°，AC=2AO=BD，BD=2OD，AC=BD
在Rt△BCD中，
∴AC=BD=10
∴AO=DO=5
∵点E、F是AO，AD的中点
∴AE=AO=，AF=AD=4，
EF是△AOD的中位线
∴EF=OD=
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=++4=9
故答案为：9
【分析】利用矩形的性质，可证得∠ABC=90°，AC=2AO=BD，BD=2OD，AC=BD，利用勾股定理求出AC，再利用线段中点的定义及三角形中位线定理可求出AE、AF、EF的长，然后就可就出△AEF的周长。
13．【答案】20
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=CD=AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC= =13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
14．【答案】12
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥AC且EH=AC=4，FG∥AC且FG=AC=3，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可证：EF∥BD
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=4×3=12
故答案为：12
【分析】利用三角形中位线定理可证得EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH是平行四边形，再由AC⊥BD，可证∠HEF=90°，就可证得四边形EFGH是矩形，再利用矩形的面积公式就可求出结果。
15．【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BP交AC于Q′，连接DQ′，Q′即为所求的点，则BP的长即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=4，∠BCP=90°.
∵CP=CD-DP=4-1=3，
∴在Rt△BCP中，BP=
∴DQ+PQ的最小值为5，
故答案为：5
【分析】根据正方形的对称性，可知点B与D关于直线AC对称，因此连接BD，BP交AC于Q′，连接DQ′，Q′即为所求的点，则BP的长即为DQ+PQ的最小值，利用勾股定理求出BP的长。
16．【答案】(1)(2)(4)
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，
∵CE=DF
∴AF=DE
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴AE=BF，故（1）正确；
∴∠DAE-∠ABF
∵∠DAE+∠BAE=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AOB=180°-90°=90°
∴AE⊥BF，故（2）正确；
∵△ABF≌△DAE
∴S△ABF=S△DAE
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE=S△AOF
即S△AOB=S四边形DEOF，故（4）正确；
若AO=OE，则OA=OF
∴△AOF是等腰直角三角形
∴∠FAO=45°，则点E和点C重合，故AO≠EO，故（3）错误；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】利用正方形的性质，可证得AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，由CE=DF，可得到AF=DE，再证明△ABF≌△DAE，可证AE=BF，∠AOB=90°，可对（2）（1）作出判断，再根据全等三角形的面积相等，可证得S△AOB=S四边形DEOF，可对（4）作出判断；然后证明AO≠OE，可对（3）作出判断；综上所述可得到正确选项的序号。
17．【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形的两条对角线分别为2和3
∴菱形的面积为：×2×3=3
故答案为：3
【分析】根据菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出菱形的面积。
18．【答案】1或2
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan∠DAE=tan30°=，即DE=，
∴AE=
∵M为AE的中点，
∴AM=AE=cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，
cos30°=，
∴AP==2cm；
由对称性得到AP′=DP=AD AP=3 2=1cm，
∴AP等于1cm或2cm
故答案为：1或2
【分析】过P作PN⊥BC，交BC于点N，利用正方形的性质，可证得AD=DC=PN，在Rt△ADE中，利用解直角三角形和勾股定理求出DE，AE，就可求出AM的长，再证明Rt△ADE≌Rt△PNQ，利用全等三角形的性质，可得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再证明AE⊥PQ，然后在Rt△AMP中，利用解直角三角形求出AP的长，利用对称性得到AP′，综上所述，可求出AP的长。
19．【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE=BQ+QE= = =5，
∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．
故答案为：6．
【分析】要使△BEQ周长的最小值，而BE的长是一个定值，只需使BQ+EQ最小即可。根据正方形是轴对称图形，可知点B与点D关于直线AC对称，连接DE交AC于点Q，即DE的长即为BQ+QE的最小值，再在Rt△ADE中，利用勾股定理就可求出DE的长，继而求出△BEQ周长的最小值。
20．【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，
∴AB=CD，∠D=∠BCD=∠FCG=90°
∴CG=DG=DC=×8=4，
在△DEG和△CFG中，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=
∴EF=2EG=2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2，
解之：x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7
故答案为：7
【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，利用全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，就可求出AD，再根据矩形的对边相等可证BC=AD，就可求出BC的长。
21．【答案】 证明：∵矩形ABCD
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=90°-∠EBC，∠ECD=90°-∠ECB，
∴∠ABE=∠ECD，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=ED。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，易证∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，再根据等腰三角形的性质去证明∠ABE=∠ECD，然后利用SAS证明△ABE≌△DCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
22．【答案】 解：过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AE⊥CD于点E
∴∠AFB=∠AED=90°
∵ 两张等宽的纸条交叉重叠在一起
∴AE=AF
AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行时四边形，
∴∠ABF=∠ADE
在△ABF和△ADE中
∴△ABF≌△ADE（AAS）
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据已知条件：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，可证得四边形ABCD是平行四边形及AF=AE，再利用AAS证明△ABF≌△ADE，可证AB=AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论。
23．【答案】（1） 证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD
∵ DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴∠BED=∠DFC=∠AED=∠AFD=90°
在△BDE和△CDF中
∴△BDE≌△CDF（ASA）
（2）证明： ∵∠A=∠AED=∠AFD=90°
∴四边形AEDF是矩形
∵△BDE≌△CDF
∴DE=DF
∴四边形AEDF是正方形。
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可证∠B=∠C，利用垂直的定义可知∠BED=∠DFC，再根据线段中点的定义可证得BD=CD，然后利用ASA可证得结论。
（2）根据有三个角是直角的四边形是矩形，再利用全等三角形的性质，可证得DE=DF，然后利用正方形的判定定理可证得结论。
24．【答案】（1）解： 由图可知：与∠AED相等的角有∠DAG，∠AFB，∠CDE；
（2）解： ∠AED=∠AFB
理由：∵正方形ABCD
∴AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°
在Rt△ABF和Rt△ADE中
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL）
∴∠AED=∠AFB
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形，利用矩形的性质及全等三角形的判定和性质，可得到与∠AED相等的角。
（2）利用正方形的性质，可证得AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，再利用HL证明Rt△ABF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质，可证得∠AED=∠AFB，再利用同角的余角相等，可证得与∠AED相等的∠CDE，∠DAG。
25．【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，
∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°=∠B，
在△ADE和△FAB中,
∴△ADE≌△FAB(AAS)，
∴DE=AB。
（2）解：连接DF，
在△DCF和△ABF中,
DC=AB，∠C=∠B，FC=BF，
∴△DCF≌△ABF(SAS)，
∴DF=AF，
∵AF=AD，
∴DF=AF=AD，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∵△ADE≌△FAB，
∴AE=BF=1，
∴AD=AF=2
∴DE=
∵ 以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G
∴DG=DE=
∴AG=AD-DG=2-
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，易证∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得∠EAD=∠AFB，∠AED=∠B，然后利用AAS可证△ADE≌△ABF，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）连接DF，利用SAS证明△DCF≌△ABF，可得到DF=AF，就可证得△ADF是等边三角形，再利用等边三角形的性质，就可求出AE、AD的长，利用勾股定理求出DE，即可求出DG的长，然后求出AG的长。
26．【答案】解：如图1，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE是平行四边形
∵AB=BC
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠ABC=150°，BC∥AN
∴∠ADC=30°，∠BCE=30°
设BT=x，则BC=CE=2x，
∵四边形ABCE的面积=2
∴x·2x=2
解之：x=1（取正值）
∴AE=EC=2，
∵∠ECN=∠BCD-∠BCE=90°-30°=60°，
∠CEN=180°-∠AEC=180°-150°=30°
∴∠ENC=180°-30°-60°=90°
在Rt△CEN中，EN=cos30°×EC=×2=
∴AN=AE+EN=2+
在Rt△ABND中，∠ADC=30°
∴AD=CD=2AN=2（2+）=4+2；
如图2，
当四边形BEDF是平行四边形时，
∵∠C=∠A=90°，∠ABC=150°
∴∠EDB=∠BDF=15°，
∵BE=DE
∴∠BDE=∠DBE=15°
∴∠AEB=∠BDE+∠BDF=30°，
在Rt△ABE中，设AB=y，则BE=DE=2y，AE=y，
∵四边形BEDF的面积为2
∴DE·AB=2即2y·y=2
解之：y=1（取正值）
∴AE=，DE=2
∴AD=CD=AE+DE=2+
故答案为：4+2；2+
【知识点】菱形的判定与性质；剪纸问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】如图1，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，易证四边形ABCE是菱形，利用已知条件求出∠ADC，∠BCE，设BT=x，则BC=CE=2x，利用四边形ABCE的面积=2，建立关于x的方程，求出x的值，就可求得CE的长，然后利用解直角三角形求出EN的长，从而可得到AN的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半就可求出AD的长，即CD的长；如图2，当四边形BEDF是平行四边形时，可求出∠AEB=30°，在Rt△ABE中，设AB=y，则BE=DE=2y，AE=y，根据四边形BEDF的面积=2，建立关于y的方程求出y的值，就可得到AE、DE的长，然后求出AD的长即CD的长。
1 / 12018-2019学年初中数学浙教版八年级下册第五章特殊平行四边形 章末检测
一、选择题
1．正方形的对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】正方形有4条对称轴．故选：D．
【分析】根据正方形的对称性解答．
2．（2016九上·昌江期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线垂直的平行四边形是菱形
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠AOD=90°，
∵H为AD边上的中点，
∴OH=AD
∵菱形ABCD的周长为28
∴4AD=28
∴AD=7
∴OH=3.5
故答案为：A
【分析】利用菱形的性质，可证△AOD是直角三角形，再利用直角三角形的性质，可证得OH=AD，再求出AD的长，就可得到OH的长。
4．如图，D为△ABC内部一点，E，F两点分别在AB，BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF＝6，BF＝9，AG＝8，则△ADC的面积为（ ）
A．16 B．24 C．36 D．54
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形DEBF，
∴BF=DE=9，
∴BC=BF+CF=9+6=15
S△ADC=S△AGC S△ADG
=×AG×BC ×AG×BF
=×8×15 ×8×9=60 36=24，
故答案为：B
【分析】利用矩形的性质，可证BF=DE=9，就可求出BC的长，再利用三角形的面积公式，可得到S△ADC=S△AGC S△ADG=×AG×BC ×AG×BF，代入计算即可求解。
5．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（ ）
A．它们周长都等于10cm，但面积不一定相等
B．它们全等，且周长都为10cm
C．它们全等，且周长都为5cm
D．它们全等，但周长和面积都不能确定
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵矩形ABCD，
∴AO=CO，
∵EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD
∵矩形ABCD的周长为20，
∴AD+CD=20÷2=10，
∴△CDE的周长为10cm,
同理可求出△ABF的周长为10cm，
∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB=CD，∠ABF=∠CDE=90°
∴∠EAO=∠FCO
∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AF=CE
在Rt△CDE和Rt△ABF中
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL）
∴△ABF的周长为10cm
因此B符合题意；
故答案为：B
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AO=CO，AD∥BC，AB=CD，∠ABF=∠CDE=90°，再由EF⊥AC，可知EF垂直平分AC，利用线段垂直平分线的性质，可证得EA=EC，根据矩形的周长为20cm，就可求出△CDE的周长为10cm，再利用平行四边形的判定和性质去证明AF=CE，就可证得Rt△CDE≌Rt△ABF，从而可求出△ABF的周长，即可得出答案。
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形，故A不符合题意；
故B符合题意；
B∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°（或AC=BD），
∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD
∴四边形ABCD是正方形，故C不符合题意；
D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵ AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，再对各选项逐一判断即可。
7．（2017八下·苏州期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD= ∠BAD，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，
∴AB=BC=5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故选B．
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC=AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB=BC=5，那么就可求菱形的周长．
8．（2017·沂源模拟）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE= AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①④
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AE= AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°﹣30°=60°，
∴∠BEF= （180°﹣∠AEP）= （180°﹣60°）=60°，
∴∠EFB=90°﹣60°=30°，
∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选：D．
【分析】求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF= PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．
9．（2017·东营模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= = =2 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ×2 = ．
故选：B．
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD
∴OA=AC=4，OD=BD=3，AC⊥BD，AD=AB
∴∠AOD=90°
∴AD=
∵DH⊥AB
∴∠AHD=∠AOB=90°
∵S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH
∴×8×6=5DH
解之：DH=4.8
在Rt△ADH中，AH=
∵∠GAH=∠BAO，∠AHD=∠AOB
∴△AGH∽△ABO
∴,即
解之：GH=
故答案为：B
【分析】利用菱形的性质易证AC⊥BD，AD=AB，利用勾股定理求出AD，再根据菱形的两个面积公式，可得到S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH，从而可求出DH，利用勾股定理求出AH的长，然后证明△AGH∽△ABO，得到对应边成比例，就可求出GH的长。
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD
∴OA=OB=OC=OD
∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD都是等腰三角形
故答案为：4
【分析】利用矩形的对角线相等且互相平分，可证得OA=OB=OC=OD，就可得到等腰三角形的个数。
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点， 若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长为 cm．
【答案】9
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD
∴∠ABC=90°，AC=2AO=BD，BD=2OD，AC=BD
在Rt△BCD中，
∴AC=BD=10
∴AO=DO=5
∵点E、F是AO，AD的中点
∴AE=AO=，AF=AD=4，
EF是△AOD的中位线
∴EF=OD=
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=++4=9
故答案为：9
【分析】利用矩形的性质，可证得∠ABC=90°，AC=2AO=BD，BD=2OD，AC=BD，利用勾股定理求出AC，再利用线段中点的定义及三角形中位线定理可求出AE、AF、EF的长，然后就可就出△AEF的周长。
13．（2017八下·江苏期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 ．
【答案】20
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=CD=AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC= =13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
14．如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为 ．
【答案】12
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥AC且EH=AC=4，FG∥AC且FG=AC=3，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可证：EF∥BD
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=4×3=12
故答案为：12
【分析】利用三角形中位线定理可证得EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH是平行四边形，再由AC⊥BD，可证∠HEF=90°，就可证得四边形EFGH是矩形，再利用矩形的面积公式就可求出结果。
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是 AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BP交AC于Q′，连接DQ′，Q′即为所求的点，则BP的长即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=4，∠BCP=90°.
∵CP=CD-DP=4-1=3，
∴在Rt△BCP中，BP=
∴DQ+PQ的最小值为5，
故答案为：5
【分析】根据正方形的对称性，可知点B与D关于直线AC对称，因此连接BD，BP交AC于Q′，连接DQ′，Q′即为所求的点，则BP的长即为DQ+PQ的最小值，利用勾股定理求出BP的长。
16．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） ，其中正确的是 (填序号）．
【答案】(1)(2)(4)
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD
∴AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，
∵CE=DF
∴AF=DE
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴AE=BF，故（1）正确；
∴∠DAE-∠ABF
∵∠DAE+∠BAE=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AOB=180°-90°=90°
∴AE⊥BF，故（2）正确；
∵△ABF≌△DAE
∴S△ABF=S△DAE
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE=S△AOF
即S△AOB=S四边形DEOF，故（4）正确；
若AO=OE，则OA=OF
∴△AOF是等腰直角三角形
∴∠FAO=45°，则点E和点C重合，故AO≠EO，故（3）错误；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】利用正方形的性质，可证得AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，由CE=DF，可得到AF=DE，再证明△ABF≌△DAE，可证AE=BF，∠AOB=90°，可对（2）（1）作出判断，再根据全等三角形的面积相等，可证得S△AOB=S四边形DEOF，可对（4）作出判断；然后证明AO≠OE，可对（3）作出判断；综上所述可得到正确选项的序号。
17．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 ．
【答案】3
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形的两条对角线分别为2和3
∴菱形的面积为：×2×3=3
故答案为：3
【分析】根据菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出菱形的面积。
18．如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
【答案】1或2
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan∠DAE=tan30°=，即DE=，
∴AE=
∵M为AE的中点，
∴AM=AE=cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，
cos30°=，
∴AP==2cm；
由对称性得到AP′=DP=AD AP=3 2=1cm，
∴AP等于1cm或2cm
故答案为：1或2
【分析】过P作PN⊥BC，交BC于点N，利用正方形的性质，可证得AD=DC=PN，在Rt△ADE中，利用解直角三角形和勾股定理求出DE，AE，就可求出AM的长，再证明Rt△ADE≌Rt△PNQ，利用全等三角形的性质，可得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再证明AE⊥PQ，然后在Rt△AMP中，利用解直角三角形求出AP的长，利用对称性得到AP′，综上所述，可求出AP的长。
19．（2017·临高模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE=BQ+QE= = =5，
∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．
故答案为：6．
【分析】要使△BEQ周长的最小值，而BE的长是一个定值，只需使BQ+EQ最小即可。根据正方形是轴对称图形，可知点B与点D关于直线AC对称，连接DE交AC于点Q，即DE的长即为BQ+QE的最小值，再在Rt△ADE中，利用勾股定理就可求出DE的长，继而求出△BEQ周长的最小值。
20．如图，在矩形ABCD中，AB=8，E是AD上的一点，AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是 ．
【答案】7
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，
∴AB=CD，∠D=∠BCD=∠FCG=90°
∴CG=DG=DC=×8=4，
在△DEG和△CFG中，
∴△DEG≌△CFG(ASA)，
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=
∴EF=2EG=2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2，
解之：x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7
故答案为：7
【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，利用全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，就可求出AD，再根据矩形的对边相等可证BC=AD，就可求出BC的长。
三、解答题
21．如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC，求证：AE=ED．
【答案】 证明：∵矩形ABCD
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD
∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠ABE=90°-∠EBC，∠ECD=90°-∠ECB，
∴∠ABE=∠ECD，
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=ED。
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，易证∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，再根据等腰三角形的性质去证明∠ABE=∠ECD，然后利用SAS证明△ABE≌△DCE，利用全等三角形的性质，可证得结论。
22．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形，为什么？
【答案】 解：过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AE⊥CD于点E
∴∠AFB=∠AED=90°
∵ 两张等宽的纸条交叉重叠在一起
∴AE=AF
AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行时四边形，
∴∠ABF=∠ADE
在△ABF和△ADE中
∴△ABF≌△ADE（AAS）
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】根据已知条件：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，可证得四边形ABCD是平行四边形及AF=AE，再利用AAS证明△ABF≌△ADE，可证AB=AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论。
23．如图, 在△ABC,
AB=AC, D是BC的中点, DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：
（1）△BDE≌△CDF；
（2）∠A=90度时，四边形AEDF是正方形．
【答案】（1） 证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD
∵ DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴∠BED=∠DFC=∠AED=∠AFD=90°
在△BDE和△CDF中
∴△BDE≌△CDF（ASA）
（2）证明： ∵∠A=∠AED=∠AFD=90°
∴四边形AEDF是矩形
∵△BDE≌△CDF
∴DE=DF
∴四边形AEDF是正方形。
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可证∠B=∠C，利用垂直的定义可知∠BED=∠DFC，再根据线段中点的定义可证得BD=CD，然后利用ASA可证得结论。
（2）根据有三个角是直角的四边形是矩形，再利用全等三角形的性质，可证得DE=DF，然后利用正方形的判定定理可证得结论。
24．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
【答案】（1）解： 由图可知：与∠AED相等的角有∠DAG，∠AFB，∠CDE；
（2）解： ∠AED=∠AFB
理由：∵正方形ABCD
∴AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°
在Rt△ABF和Rt△ADE中
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL）
∴∠AED=∠AFB
【知识点】正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据图形，利用矩形的性质及全等三角形的判定和性质，可得到与∠AED相等的角。
（2）利用正方形的性质，可证得AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，再利用HL证明Rt△ABF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质，可证得∠AED=∠AFB，再利用同角的余角相等，可证得与∠AED相等的∠CDE，∠DAG。
25．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为E.
（1）求证：DE=AB；
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求AG的长.
【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，
∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°=∠B，
在△ADE和△FAB中,
∴△ADE≌△FAB(AAS)，
∴DE=AB。
（2）解：连接DF，
在△DCF和△ABF中,
DC=AB，∠C=∠B，FC=BF，
∴△DCF≌△ABF(SAS)，
∴DF=AF，
∵AF=AD，
∴DF=AF=AD，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∵△ADE≌△FAB，
∴AE=BF=1，
∴AD=AF=2
∴DE=
∵ 以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G
∴DG=DE=
∴AG=AD-DG=2-
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，易证∠B=∠C=90°，AB=AD=DC=BC，AD∥BC，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得∠EAD=∠AFB，∠AED=∠B，然后利用AAS可证△ADE≌△ABF，利用全等三角形的性质，可证得结论。
（2）连接DF，利用SAS证明△DCF≌△ABF，可得到DF=AF，就可证得△ADF是等边三角形，再利用等边三角形的性质，就可求出AE、AD的长，利用勾股定理求出DE，即可求出DG的长，然后求出AG的长。
26．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，求CD的长.
【答案】解：如图1，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE是平行四边形
∵AB=BC
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A=∠C=90°，∠ABC=150°，BC∥AN
∴∠ADC=30°，∠BCE=30°
设BT=x，则BC=CE=2x，
∵四边形ABCE的面积=2
∴x·2x=2
解之：x=1（取正值）
∴AE=EC=2，
∵∠ECN=∠BCD-∠BCE=90°-30°=60°，
∠CEN=180°-∠AEC=180°-150°=30°
∴∠ENC=180°-30°-60°=90°
在Rt△CEN中，EN=cos30°×EC=×2=
∴AN=AE+EN=2+
在Rt△ABND中，∠ADC=30°
∴AD=CD=2AN=2（2+）=4+2；
如图2，
当四边形BEDF是平行四边形时，
∵∠C=∠A=90°，∠ABC=150°
∴∠EDB=∠BDF=15°，
∵BE=DE
∴∠BDE=∠DBE=15°
∴∠AEB=∠BDE+∠BDF=30°，
在Rt△ABE中，设AB=y，则BE=DE=2y，AE=y，
∵四边形BEDF的面积为2
∴DE·AB=2即2y·y=2
解之：y=1（取正值）
∴AE=，DE=2
∴AD=CD=AE+DE=2+
故答案为：4+2；2+
【知识点】菱形的判定与性质；剪纸问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】如图1，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，易证四边形ABCE是菱形，利用已知条件求出∠ADC，∠BCE，设BT=x，则BC=CE=2x，利用四边形ABCE的面积=2，建立关于x的方程，求出x的值，就可求得CE的长，然后利用解直角三角形求出EN的长，从而可得到AN的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半就可求出AD的长，即CD的长；如图2，当四边形BEDF是平行四边形时，可求出∠AEB=30°，在Rt△ABE中，设AB=y，则BE=DE=2y，AE=y，根据四边形BEDF的面积=2，建立关于y的方程求出y的值，就可得到AE、DE的长，然后求出AD的长即CD的长。
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