2017-2018学年数学浙教版八年级下册4.6反证法 同步练习
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
3．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是（ ）
A．a4．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
二、填空题
5．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 ．
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应
三、解答题
8．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
10．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
11．若两条直线a、b相交则只有一个交点。
12．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
13．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。
【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。
2．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】在逻辑中“至多有 个”的否定是“至少有 个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C．
【分析】使学生能够明确逻辑当中至多的否定形式是什么，从逻辑和集合的方面说明否定的对立面，是运用反证法的前提条件．
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】“a>b”的否定应为“a＝b或a【分析】因为a与b的大小关系有三种情况：“a>b”、“a＝b、ab”的否定应为a≤b。
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故答案为：B.
【分析】因为a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数。根据命题的否定形式可知“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为“a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数”。
5．【答案】没有一个是三角形或四边形或五边形
【知识点】反证法
【解析】【解答】“至少有一个”的否定是“没有一个”
【分析】根据命题的否定形式可知“至少有一个”的否定是“没有一个”，即没有一个是三角形或四边形或五边形。
6．【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
7．【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”
【分析】根据命题的否定形式可知“至少有两个钝角”可否定为“至多有一个”，即存在一个三角形，其外角最多有一个钝角。
8．【答案】证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
【知识点】反证法
【解析】【分析】用反证法证明。首先否定结论即假设A≥60°，根据已知条件A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，由三角形内角和定理可得B≥A≥60°，C＞A≥60°，所以A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，所以原命题成立，即A＜60°.
9．【答案】证明：假设 ， 都不小于2.
即 ≥2， ≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2.
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。
10．【答案】证明：已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法证明。否定结论，即假设AC＝A′C′.根据已知条件用边边边可证得△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，这与已知∠B≠∠B′矛盾，所以假设不成立，即可得结论AC≠A′C′.
11．【答案】解：假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。即假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。
12．【答案】用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．
【知识点】反证法；有理数的乘法；偶次幂的非负性
【解析】【分析】反证法的步骤；先假设结论不成立，再根据题设和已有的知识证得与假设等相矛盾的结论，最后说明原命题成立。即：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，可设a<0，b<0，c>0，所以a＋b<0，则由已知a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，所以c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2，根据平方的非负性和同号两数相乘为正可得a2>0，ab>0，b2>0，所以－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．那么a>0，b>0，c>0成立．
13．【答案】解：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ ，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝ ＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．
【知识点】完全平方公式及运用；反证法；偶次幂的非负性
【解析】【分析】此题可用反证法证明。假设x，y，z都小于0，于是有x＋y＋z≤0.根据完全平方公式可得，x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ =，因为a，b，c是不全相等的任意整数，所以根据平方的非负性可得0，0，0，所以x＋y＋z0，与“x＋y＋z≤0”矛盾，则假设不成立，所以x，y，z中至少有一个大于零．
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一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立可知可以作为条件使用的有①②③。
【分析】利用反证法的证题思想，即可得到结论。
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】在逻辑中“至多有 个”的否定是“至少有 个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C．
【分析】使学生能够明确逻辑当中至多的否定形式是什么，从逻辑和集合的方面说明否定的对立面，是运用反证法的前提条件．
3．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是（ ）
A．a【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】“a>b”的否定应为“a＝b或a【分析】因为a与b的大小关系有三种情况：“a>b”、“a＝b、ab”的否定应为a≤b。
4．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（ ）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故答案为：B.
【分析】因为a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数。根据命题的否定形式可知“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为“a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数”。
二、填空题
5．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 ．
【答案】没有一个是三角形或四边形或五边形
【知识点】反证法
【解析】【解答】“至少有一个”的否定是“没有一个”
【分析】根据命题的否定形式可知“至少有一个”的否定是“没有一个”，即没有一个是三角形或四边形或五边形。
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应
【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”
【分析】根据命题的否定形式可知“至少有两个钝角”可否定为“至多有一个”，即存在一个三角形，其外角最多有一个钝角。
三、解答题
8．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
【答案】证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
【知识点】反证法
【解析】【分析】用反证法证明。首先否定结论即假设A≥60°，根据已知条件A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，由三角形内角和定理可得B≥A≥60°，C＞A≥60°，所以A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，所以原命题成立，即A＜60°.
9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
【答案】证明：假设 ， 都不小于2.
即 ≥2， ≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2.
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。
10．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
【答案】证明：已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法证明。否定结论，即假设AC＝A′C′.根据已知条件用边边边可证得△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，这与已知∠B≠∠B′矛盾，所以假设不成立，即可得结论AC≠A′C′.
11．若两条直线a、b相交则只有一个交点。
【答案】解：假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。即假设直线a、b不止有一个公共点，则至少有两个公共点，不妨设为A、B，即直线a、b同时过点A、B，也就是说过A、B两点可以作两条直线a、b，这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾，所以假设不成立，两条直线相交只有一个交点。
12．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
【答案】用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．
【知识点】反证法；有理数的乘法；偶次幂的非负性
【解析】【分析】反证法的步骤；先假设结论不成立，再根据题设和已有的知识证得与假设等相矛盾的结论，最后说明原命题成立。即：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，可设a<0，b<0，c>0，所以a＋b<0，则由已知a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，所以c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2，根据平方的非负性和同号两数相乘为正可得a2>0，ab>0，b2>0，所以－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．那么a>0，b>0，c>0成立．
13．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2－bc，y＝b2－ac，z＝c2－ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零．
【答案】解：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x＋y＋z≤0.∵x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ ，又∵a，b，c是不全相等的任意整数，∴x＋y＋z＝ ＞0，这与“x＋y＋z≤0”矛盾．∴假设不成立．∴x，y，z中至少有一个大于零．
【知识点】完全平方公式及运用；反证法；偶次幂的非负性
【解析】【分析】此题可用反证法证明。假设x，y，z都小于0，于是有x＋y＋z≤0.根据完全平方公式可得，x＋y＋z＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝ =，因为a，b，c是不全相等的任意整数，所以根据平方的非负性可得0，0，0，所以x＋y＋z0，与“x＋y＋z≤0”矛盾，则假设不成立，所以x，y，z中至少有一个大于零．
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