2018-2019学年数学浙教版七年级上册 第三章实数 单元测试卷
一、选择题
1．π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2018·深圳模拟）设a是9的平方根，B=（ ）2，则a与B的关系是（ ）
A．a=±B B．a=B
C．a=﹣B D．以上结论都不对
3．3的算术平方根是（ ）
A．± B． C．﹣ D．9
4．计算的结果是（ ）
A．±3 B．3 C．3 D．
5．（2018·宣化模拟）如果 （0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．a＞0 B．a+b＞0 C．a﹣b＞0 D．ab＜0
7．如图数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，判断下列各式何者正确（ ）
A．（a﹣1）（b﹣1）＞0 B．（b﹣1）（c﹣1）＞0
C．（a+1）（b+1）＜0 D．（b+1）（c+1）＜0
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示用下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞a＞b＞a﹣b B．a＞a+b＞b＞a﹣b
C．a﹣b＞a＞b＞a+b D．a﹣b＞a＞a+b＞b
二、填空题
9．﹣ 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ．
10．已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2= ．
11．已知x= ，则x3+12x的算术平方根是 ．
12．在3和4之间找出两个无理数： 和 ．
13．a，b满足 ，分解因式（x2+y2）﹣（axy+b）= ．
14．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1， ， ，…， ， 、如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选 个数．
15．对于任意不相等的两个实数a，b．定义运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么8※4= ．
三、解答题
16．计算：
（1） ；
（2） ．
17．（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③ 的平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
18．
（1）填写下表．
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
想一想上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根 的小数点移动间有何规律？
（2）利用规律计算：已知 ， ， ，用k的代数式分别表示a、b．
（3）如果 ，求x的值．
19．在实数范围内，方程x2=﹣1无解，为使开方运算在负数范围内可以进行，我们规定i2=﹣1．定义一种新数：Z=a+bi（{a、b为实数}），并规定实数范围内的所有运算法则对于新数Z=a+bi （{a、b为实数}）；仍然成立．例如：Z2=（a+bi）2=（a+bi） （a+bi）=a2+2a bi+（bi）2=a2﹣b2+2abi，若 ，则 ，依据上述规定，
（1）若 ，试求Z3的值；
（2）若 ，试求z2008的值．
20．阅读理解题：
几百年前的某一天，数字王国的国王召集他的臣民们开会．整数、分数等大批臣民纷纷到场，一时间会场里你推我挤，熙熙嚷嚷，吵个不休．国王非常生气，就想了一个办法，让他们排排站，他画了一条直线，指定直线上的某点O为数零的位置，叫原点，并且规定向右的方向为正方向，负整数和正整数分别站在原点左右两侧指定的位置上，正分数和负分数在数O的指挥下也找到了自己的位置，这时± ，±，±…，还有π等无理数不干了：“国王，我们站在哪里呢？”“别着急，直线上有你们的位置”．于是国王亲自动手找到了他们各自的位置．这时这条直线排满了有理数、无理数，国王下令：“这条直线就叫做数轴吧．”
（1）请你画一条数轴．
（2）在你所画的数轴上，你能找出 、 、 的位置吗？怎样找到的？
（3）﹣ ，﹣ ，﹣ 的位置呢？
（4）通过阅读以上材料和解题，你明白了什么？
21．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．
（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数）， 是整数，求这个四位“对称等和数”；
（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A= （1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：在π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中，
无理数是：π，- 共2个．
故答案为：B
【分析】本题考查的是无理数，根据无理数的概念进行判断。
2．【答案】A
【知识点】平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由题意得a= ，B=3， a=±B ，故答案为：A.
【分析】根据平方根的定义得出a=±3，再根据二次根式的性质得出B的值，通过比较即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：3的算术平方根是 ，
故答案为：B
【分析】本题考查算术平方根的概念，根据概念进行判断。
4．【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：==3，
故选B
【分析】原式利用立方根定义计算即可得到结果．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵ ，
而 （0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，
∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，
所以可以是6，24，54，96共有4个．
故答案为：B．
【分析】先将150x可以开平方的部分放到二次根号外面，可以发现x为6的倍数，再结合x的取值范围即可求得x的取值个数.
6．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0，
∴选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置可知，a＜0＜b，|a|＞|b|，于是可得a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0。
7．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】解：根据数轴可知c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，
A、∵a﹣1＜0，b﹣1＞0，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，故不符合题意；
B、∵b﹣1＞0，c﹣1＜0，∴（b﹣1）（c﹣1）＜0，故不符合题意；
C、a+1＞0，b+1＞0，∴（a+1）（b+1）＞0，故不符合题意；
D、b+1＞0，c+1＜0，∴（b+1）（c+1）＜0，故符合题意．
故答案为：D
【分析】先根据数轴上的点的位置判断出c，﹣1，0，a，1，b的大小关系；再判断a﹣1，b﹣1，c﹣1，a+1，b+1，c+1的符号；最后根据乘法法则进行符号判断。
8．【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较
【解析】【解答】解：由数轴上a，b两点的位置可知，
∵b＜0，a＞0，|b|＜|a|，
设a=6，b=﹣2，
则a+b=6﹣2=4，a﹣b=6+2=8，
又∵﹣2＜4＜6＜8，
∴a﹣b＞a＞a+b＞b．
故答案为：D
【分析】由a、b在数轴上的位置可知，，，感染你就这些条件用特值法求解。
9．【答案】；；
【知识点】实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】解：﹣ 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 = ．
故本题的答案是 ， ，
【分析】相反数是指只有符号不同的两个数；根据绝对值的意义可知：负数的绝对值是它的相反数；倒数是指乘积为1的两个数。
10．【答案】1
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4=0，
∴（x2+y2+1）2=4，
∵x2+y2+1＞0，
∴x2+y2+1=2，
∴x2+y2=1．
故答案为：1
【分析】先将看作一个整体，把已知条件直接开平方，根据的非负性可求的值，再将看作一个整体即可求解。
11．【答案】2
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设 =a， =b．则= ， ．
又4= =a3b3，
∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，
故原式=x（x2+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），
=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），
=a3b3（a3﹣b3），
= ，
=4×2=8．
则其算术平方根是2 ．
故答案为：2
【分析】由题意，x的值是双重根号，不易计算，于是可设=a，=b，两边分别立方可得：，；而4==，由已知条件可得x=，，再将变形为原式=，将x和的值代入计算即可求解。
12．【答案】π；
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：如π， 等，
故答案为：π， ．
【分析】由于无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π，然后根据定义即可找出3和4间的无理数．
13．【答案】（x+y+3）（x+y﹣3）
【知识点】因式分解﹣公式法；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a，b满足 ，
∴a+2=0，b﹣9=0，
解得：a=﹣2，b=9，
∴（x2+y2）﹣（axy+b）=（x2+y2）﹣（﹣2xy+9）=（x2+y2+2xy）﹣9=（x+y）2﹣9=（x+y+3）（x+y﹣3）．
故答案为：（x+y+3）（x+y﹣3）
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得关于a、b的方程，解方程可求得a、b的值，再将求得的a、b的值代入所求的代数式分组后用平方差公式分解即可。
14．【答案】5
【知识点】计算器在有理数混合运算中的应用
【解析】【解答】解：左边第一个数是1，
第二个是 = ≈0.7，
第三个数是 = ≈0.56，
第四个数是 = =0.5，
第五个数是 = ≈0.44，
第六个数是 = ≈0.41，
所以可以把这些数加起来，得出至少要5个数和才大于3．
故答案为：5
【分析】先用计算器求出、、、、的值，并求出这些数的和，即可求解。
15．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：8※4= = = ，
故答案为： ．
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
16．【答案】（1）解：原式=32﹣（ ）2=9﹣5=4
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由题意知，符合平方差公式的特征，，所以根据平方差公式计算即可求解；
（2）由题意知，根号内符合平方差公式的特征，先将根号内的多项式用平方差公式分解因数，再按照二次根式的性质计算即可求解。
17．【答案】（1）解：①2的算术平方根是 ；②﹣27的立方根是﹣3；
③ =4，4的平方根是±2
（2）解：
用“＜”连接为：﹣3＜﹣2＜ ＜2
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；实数在数轴上的表示
【解析】【分析】（1）①根据算术平方根的意义即可求解。即2的算术平方根是；
②如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根。而，所以﹣27的立方根是﹣3；
③先求得16的算术平方根为4，再求4的平方根，即4的平方根是±2；
（2）在数轴上将（1）中求得的各数在数轴上表示出来，从左至右用“”连接即可。
18．【答案】（1）解：0.01，0.1，1，10，100，
被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，b=10k
（3）解：∵ ，
∴x=70000
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由表格中的信息可得：被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位；（2）（3）用（1）中所得的规律即可求解；
19．【答案】（1）解：Z3=z2×z
=（﹣ ﹣ i）×（﹣ + i）
= ﹣（ i）2
= ﹣ ×（﹣1）
=1
（2）解：z=﹣ + i，z2=﹣ ﹣ i，z3=1，z4=﹣ + i，
∵2008÷3=669…1，
∴z2008应和z的值相等，z2008=﹣ + i
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）由题目中的材料可知，，把代入上式计算，，再计算=；
（2）由（1）可得，；；；；根据上式可知，经过3次一次循环，所以用2018除以3余数是1，则的值就与Z的值相等。
20．【答案】（1）解：如图；
（2）解：∵以单位1为直角边作一等腰直角三角形OAB，
∴OB= ，
∴以OB为一直角边，B为直角顶点，1为另一直角边再建直角三角形，
∴斜边为 ．
∵以 ， 为直角边再建立直角三角形，
∴斜边为 ，
∴这样 ， ， ，线段的长度就确定了．以O为圆心，
∴ ， ， 分别为半径画弧交于原点右方的点，
即为 ， ， 对应的点
（3）解：交于原点左方的点即为﹣ ，﹣ ，﹣ 所对应的点
（4）解：有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点具有一一对应的关系
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【分析】（1）根据数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）即可求解；
（2）由勾股定理可得，所以只需画出以1为两条直角边的等腰直角三角形的斜边即为所求；根据可知，以所画出的为其中一条直角边，1为另一条直角边画出的直角时三角形的斜边即为所求；根据可知，以1和2为直角边的直角三角形的斜边即为所求；
（3）在原点的左边用（2）中的方法即可求解；
（4）有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
21．【答案】（1）解：设这个四位数为 （1≤s≤9，0≤t≤9，0≤a≤9，0≤b≤9，且s、t、a、b为整数），由题意得：s+b=t+a=4，
∴b=4﹣s，a=4﹣t，
∵四位数为 能被11整除，∴ =1000s+100t+10a+b，=1000s+100t+10（4﹣t）+4﹣s，=999s+90t+44，=1001s+88t+44+2t﹣2s，
=11（91s+8t+4）+2（t﹣s），
∵91s+8t+4是整数，
∴2（t﹣s）是11的倍数，即t﹣s是11的倍数，
∵1≤s≤9，
∴﹣9≤﹣s≤﹣1，∵0≤t≤9，∴﹣9≤t﹣s≤8，∴t﹣s只能为0，即t=s，∵ 是整数，4﹣s≥0，4﹣t≥0，∴s=t=2或s=t=4，当s=t=2时，a=b=2，当s=t=4时，a=b=0，综上所述，这个四位“对称等和数”有2个，分别是：2222，4400
（2）解：证法一：证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A= （1≤a≤9，a为整数），∴2a=1+5，a=3，∴A=135，由题意设：B= ，C= ，则b+c=2x，d+e=2y，∵A+B+C=1800，∴B+C=1800﹣135=1665，∴ =1665，∴15≤b+d≤16，①当b+d=15时，x+y=16，c+e=5，∴b+d+c+e=15+5=20，即2x+2y=20，x+y=10≠16，不符合题意；②当b+d=15时，x+y=15，c+e=15，∴b+d+c+e=15+15=30，即2x+2y=30，x+y=15，符合题意；∴y=﹣x+15，③当b+d=16时，x+y=6，c+e=5，∴b+d+c+e=16+5=21，即2x+2y=21，x+y=10.5≠6，不符合题意；④当b+d=16时，x+y=5，c+e=15，∴b+d+c+e=16+15=31，即2x+2y=31，x+y=15.5≠5，不符合题意；综上所述，则y=﹣x+15．证法二：证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A= （1≤a≤9，a为整数），∴2a=1+5，a=3，∴A=135，
由题意设：B= ，C= ，
∵A+B+C=1800，
即135+ + =1800， + =1665，
100m+10x+2x﹣m+100n+10y+2y﹣n=1665，
99（m+n）+12（x+y）=1665，
33（m+n）+4（x+y）=555，
x+y= =139﹣8（m+n）+ ，∵0≤x≤9，0≤y≤9，且x、y是整数，∴ 是整数，∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴2≤m+n≤18，∴3≤1+m+n≤19，则1+（m+n）=4，8，12，16，∴m+n=3，7，11，15，当m+n=3时，x+y=139﹣8×3+ =114（舍），当m+n=7时，x+y=139﹣8×7+ =81（舍），当m+n=11时，x+y=139﹣8×11+ =48（舍），当m+n=15时，x+y=139﹣8×15+ =15，∴y=﹣x+15
【知识点】列式表示数量关系；用字母表示数；定义新运算
【解析】【分析】（1）设这个四位数为 （1≤s≤9，0≤t≤9，0≤a≤9，0≤b≤9，且s、t、a、b为整数），根据“对称等和数”的意义可得s+b=t+a=4，变形得b=4﹣s，a=4﹣t，再由这个四位数能被11整除和这个四位数的构成可得=11（91s+8t+4）+2（t﹣s），易得t﹣s是11的倍数，结合s、t的范围即可求解；
（2）根据“对称等和数”的意义和A=可得2a=1+5，a=3，则数A可求解，由题意可设B=，C=，因为A+B+C=1800，所以将A、B、C代入上式，再根据三位数的构成=100百位上的数字+10十位上的数字+个位上的数字可得100m+10x+2x﹣m+100n+10y+2y﹣n=1665，整理可得33（m+n）+4（x+y）=555，则x+y可用含m、n的代数式表示，结合x、y的取值范围和x、y、m、n是正整数分析即可求解。
1 / 12018-2019学年数学浙教版七年级上册 第三章实数 单元测试卷
一、选择题
1．π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的认识
【解析】【解答】解：在π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中，
无理数是：π，- 共2个．
故答案为：B
【分析】本题考查的是无理数，根据无理数的概念进行判断。
2．（2018·深圳模拟）设a是9的平方根，B=（ ）2，则a与B的关系是（ ）
A．a=±B B．a=B
C．a=﹣B D．以上结论都不对
【答案】A
【知识点】平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由题意得a= ，B=3， a=±B ，故答案为：A.
【分析】根据平方根的定义得出a=±3，再根据二次根式的性质得出B的值，通过比较即可得出答案。
3．3的算术平方根是（ ）
A．± B． C．﹣ D．9
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：3的算术平方根是 ，
故答案为：B
【分析】本题考查算术平方根的概念，根据概念进行判断。
4．计算的结果是（ ）
A．±3 B．3 C．3 D．
【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：==3，
故选B
【分析】原式利用立方根定义计算即可得到结果．
5．（2018·宣化模拟）如果 （0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】∵ ，
而 （0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，
∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，
所以可以是6，24，54，96共有4个．
故答案为：B．
【分析】先将150x可以开平方的部分放到二次根号外面，可以发现x为6的倍数，再结合x的取值范围即可求得x的取值个数.
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．a＞0 B．a+b＞0 C．a﹣b＞0 D．ab＜0
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0，
∴选项D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置可知，a＜0＜b，|a|＞|b|，于是可得a+b＜0，a﹣b＜0，ab＜0。
7．如图数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，判断下列各式何者正确（ ）
A．（a﹣1）（b﹣1）＞0 B．（b﹣1）（c﹣1）＞0
C．（a+1）（b+1）＜0 D．（b+1）（c+1）＜0
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的加减乘除混合运算
【解析】【解答】解：根据数轴可知c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，
A、∵a﹣1＜0，b﹣1＞0，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，故不符合题意；
B、∵b﹣1＞0，c﹣1＜0，∴（b﹣1）（c﹣1）＜0，故不符合题意；
C、a+1＞0，b+1＞0，∴（a+1）（b+1）＞0，故不符合题意；
D、b+1＞0，c+1＜0，∴（b+1）（c+1）＜0，故符合题意．
故答案为：D
【分析】先根据数轴上的点的位置判断出c，﹣1，0，a，1，b的大小关系；再判断a﹣1，b﹣1，c﹣1，a+1，b+1，c+1的符号；最后根据乘法法则进行符号判断。
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示用下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞a＞b＞a﹣b B．a＞a+b＞b＞a﹣b
C．a﹣b＞a＞b＞a+b D．a﹣b＞a＞a+b＞b
【答案】D
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较
【解析】【解答】解：由数轴上a，b两点的位置可知，
∵b＜0，a＞0，|b|＜|a|，
设a=6，b=﹣2，
则a+b=6﹣2=4，a﹣b=6+2=8，
又∵﹣2＜4＜6＜8，
∴a﹣b＞a＞a+b＞b．
故答案为：D
【分析】由a、b在数轴上的位置可知，，，感染你就这些条件用特值法求解。
二、填空题
9．﹣ 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ．
【答案】；；
【知识点】实数的相反数；实数的绝对值
【解析】【解答】解：﹣ 的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 = ．
故本题的答案是 ， ，
【分析】相反数是指只有符号不同的两个数；根据绝对值的意义可知：负数的绝对值是它的相反数；倒数是指乘积为1的两个数。
10．已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2= ．
【答案】1
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4=0，
∴（x2+y2+1）2=4，
∵x2+y2+1＞0，
∴x2+y2+1=2，
∴x2+y2=1．
故答案为：1
【分析】先将看作一个整体，把已知条件直接开平方，根据的非负性可求的值，再将看作一个整体即可求解。
11．已知x= ，则x3+12x的算术平方根是 ．
【答案】2
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设 =a， =b．则= ， ．
又4= =a3b3，
∴x=a2b﹣ab2，x2=a4b2﹣2a3b3+a2b4，
故原式=x（x2+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣2a3b3+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2﹣8+a2b4+12），
=（a2b﹣ab2）（a4b2+a2b4+4），
=ab（a﹣b）a2b2（a2+b2+ab），
=a3b3（a3﹣b3），
= ，
=4×2=8．
则其算术平方根是2 ．
故答案为：2
【分析】由题意，x的值是双重根号，不易计算，于是可设=a，=b，两边分别立方可得：，；而4==，由已知条件可得x=，，再将变形为原式=，将x和的值代入计算即可求解。
12．在3和4之间找出两个无理数： 和 ．
【答案】π；
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：如π， 等，
故答案为：π， ．
【分析】由于无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π，然后根据定义即可找出3和4间的无理数．
13．a，b满足 ，分解因式（x2+y2）﹣（axy+b）= ．
【答案】（x+y+3）（x+y﹣3）
【知识点】因式分解﹣公式法；算数平方根的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵a，b满足 ，
∴a+2=0，b﹣9=0，
解得：a=﹣2，b=9，
∴（x2+y2）﹣（axy+b）=（x2+y2）﹣（﹣2xy+9）=（x2+y2+2xy）﹣9=（x+y）2﹣9=（x+y+3）（x+y﹣3）．
故答案为：（x+y+3）（x+y﹣3）
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性可得关于a、b的方程，解方程可求得a、b的值，再将求得的a、b的值代入所求的代数式分组后用平方差公式分解即可。
14．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1， ， ，…， ， 、如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少需要选 个数．
【答案】5
【知识点】计算器在有理数混合运算中的应用
【解析】【解答】解：左边第一个数是1，
第二个是 = ≈0.7，
第三个数是 = ≈0.56，
第四个数是 = =0.5，
第五个数是 = ≈0.44，
第六个数是 = ≈0.41，
所以可以把这些数加起来，得出至少要5个数和才大于3．
故答案为：5
【分析】先用计算器求出、、、、的值，并求出这些数的和，即可求解。
15．对于任意不相等的两个实数a，b．定义运算※如下：a※b= ，如3※2= = ，那么8※4= ．
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：8※4= = = ，
故答案为： ．
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
三、解答题
16．计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式=32﹣（ ）2=9﹣5=4
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由题意知，符合平方差公式的特征，，所以根据平方差公式计算即可求解；
（2）由题意知，根号内符合平方差公式的特征，先将根号内的多项式用平方差公式分解因数，再按照二次根式的性质计算即可求解。
17．（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③ 的平方根．
（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接．
【答案】（1）解：①2的算术平方根是 ；②﹣27的立方根是﹣3；
③ =4，4的平方根是±2
（2）解：
用“＜”连接为：﹣3＜﹣2＜ ＜2
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；实数在数轴上的表示
【解析】【分析】（1）①根据算术平方根的意义即可求解。即2的算术平方根是；
②如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根。而，所以﹣27的立方根是﹣3；
③先求得16的算术平方根为4，再求4的平方根，即4的平方根是±2；
（2）在数轴上将（1）中求得的各数在数轴上表示出来，从左至右用“”连接即可。
18．
（1）填写下表．
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
想一想上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根 的小数点移动间有何规律？
（2）利用规律计算：已知 ， ， ，用k的代数式分别表示a、b．
（3）如果 ，求x的值．
【答案】（1）解：0.01，0.1，1，10，100，
被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，b=10k
（3）解：∵ ，
∴x=70000
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由表格中的信息可得：被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位；（2）（3）用（1）中所得的规律即可求解；
19．在实数范围内，方程x2=﹣1无解，为使开方运算在负数范围内可以进行，我们规定i2=﹣1．定义一种新数：Z=a+bi（{a、b为实数}），并规定实数范围内的所有运算法则对于新数Z=a+bi （{a、b为实数}）；仍然成立．例如：Z2=（a+bi）2=（a+bi） （a+bi）=a2+2a bi+（bi）2=a2﹣b2+2abi，若 ，则 ，依据上述规定，
（1）若 ，试求Z3的值；
（2）若 ，试求z2008的值．
【答案】（1）解：Z3=z2×z
=（﹣ ﹣ i）×（﹣ + i）
= ﹣（ i）2
= ﹣ ×（﹣1）
=1
（2）解：z=﹣ + i，z2=﹣ ﹣ i，z3=1，z4=﹣ + i，
∵2008÷3=669…1，
∴z2008应和z的值相等，z2008=﹣ + i
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】（1）由题目中的材料可知，，把代入上式计算，，再计算=；
（2）由（1）可得，；；；；根据上式可知，经过3次一次循环，所以用2018除以3余数是1，则的值就与Z的值相等。
20．阅读理解题：
几百年前的某一天，数字王国的国王召集他的臣民们开会．整数、分数等大批臣民纷纷到场，一时间会场里你推我挤，熙熙嚷嚷，吵个不休．国王非常生气，就想了一个办法，让他们排排站，他画了一条直线，指定直线上的某点O为数零的位置，叫原点，并且规定向右的方向为正方向，负整数和正整数分别站在原点左右两侧指定的位置上，正分数和负分数在数O的指挥下也找到了自己的位置，这时± ，±，±…，还有π等无理数不干了：“国王，我们站在哪里呢？”“别着急，直线上有你们的位置”．于是国王亲自动手找到了他们各自的位置．这时这条直线排满了有理数、无理数，国王下令：“这条直线就叫做数轴吧．”
（1）请你画一条数轴．
（2）在你所画的数轴上，你能找出 、 、 的位置吗？怎样找到的？
（3）﹣ ，﹣ ，﹣ 的位置呢？
（4）通过阅读以上材料和解题，你明白了什么？
【答案】（1）解：如图；
（2）解：∵以单位1为直角边作一等腰直角三角形OAB，
∴OB= ，
∴以OB为一直角边，B为直角顶点，1为另一直角边再建直角三角形，
∴斜边为 ．
∵以 ， 为直角边再建立直角三角形，
∴斜边为 ，
∴这样 ， ， ，线段的长度就确定了．以O为圆心，
∴ ， ， 分别为半径画弧交于原点右方的点，
即为 ， ， 对应的点
（3）解：交于原点左方的点即为﹣ ，﹣ ，﹣ 所对应的点
（4）解：有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点具有一一对应的关系
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【分析】（1）根据数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）即可求解；
（2）由勾股定理可得，所以只需画出以1为两条直角边的等腰直角三角形的斜边即为所求；根据可知，以所画出的为其中一条直角边，1为另一条直角边画出的直角时三角形的斜边即为所求；根据可知，以1和2为直角边的直角三角形的斜边即为所求；
（3）在原点的左边用（2）中的方法即可求解；
（4）有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
21．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．
（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数）， 是整数，求这个四位“对称等和数”；
（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A= （1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．
【答案】（1）解：设这个四位数为 （1≤s≤9，0≤t≤9，0≤a≤9，0≤b≤9，且s、t、a、b为整数），由题意得：s+b=t+a=4，
∴b=4﹣s，a=4﹣t，
∵四位数为 能被11整除，∴ =1000s+100t+10a+b，=1000s+100t+10（4﹣t）+4﹣s，=999s+90t+44，=1001s+88t+44+2t﹣2s，
=11（91s+8t+4）+2（t﹣s），
∵91s+8t+4是整数，
∴2（t﹣s）是11的倍数，即t﹣s是11的倍数，
∵1≤s≤9，
∴﹣9≤﹣s≤﹣1，∵0≤t≤9，∴﹣9≤t﹣s≤8，∴t﹣s只能为0，即t=s，∵ 是整数，4﹣s≥0，4﹣t≥0，∴s=t=2或s=t=4，当s=t=2时，a=b=2，当s=t=4时，a=b=0，综上所述，这个四位“对称等和数”有2个，分别是：2222，4400
（2）解：证法一：证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A= （1≤a≤9，a为整数），∴2a=1+5，a=3，∴A=135，由题意设：B= ，C= ，则b+c=2x，d+e=2y，∵A+B+C=1800，∴B+C=1800﹣135=1665，∴ =1665，∴15≤b+d≤16，①当b+d=15时，x+y=16，c+e=5，∴b+d+c+e=15+5=20，即2x+2y=20，x+y=10≠16，不符合题意；②当b+d=15时，x+y=15，c+e=15，∴b+d+c+e=15+15=30，即2x+2y=30，x+y=15，符合题意；∴y=﹣x+15，③当b+d=16时，x+y=6，c+e=5，∴b+d+c+e=16+5=21，即2x+2y=21，x+y=10.5≠6，不符合题意；④当b+d=16时，x+y=5，c+e=15，∴b+d+c+e=16+15=31，即2x+2y=31，x+y=15.5≠5，不符合题意；综上所述，则y=﹣x+15．证法二：证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A= （1≤a≤9，a为整数），∴2a=1+5，a=3，∴A=135，
由题意设：B= ，C= ，
∵A+B+C=1800，
即135+ + =1800， + =1665，
100m+10x+2x﹣m+100n+10y+2y﹣n=1665，
99（m+n）+12（x+y）=1665，
33（m+n）+4（x+y）=555，
x+y= =139﹣8（m+n）+ ，∵0≤x≤9，0≤y≤9，且x、y是整数，∴ 是整数，∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴2≤m+n≤18，∴3≤1+m+n≤19，则1+（m+n）=4，8，12，16，∴m+n=3，7，11，15，当m+n=3时，x+y=139﹣8×3+ =114（舍），当m+n=7时，x+y=139﹣8×7+ =81（舍），当m+n=11时，x+y=139﹣8×11+ =48（舍），当m+n=15时，x+y=139﹣8×15+ =15，∴y=﹣x+15
【知识点】列式表示数量关系；用字母表示数；定义新运算
【解析】【分析】（1）设这个四位数为 （1≤s≤9，0≤t≤9，0≤a≤9，0≤b≤9，且s、t、a、b为整数），根据“对称等和数”的意义可得s+b=t+a=4，变形得b=4﹣s，a=4﹣t，再由这个四位数能被11整除和这个四位数的构成可得=11（91s+8t+4）+2（t﹣s），易得t﹣s是11的倍数，结合s、t的范围即可求解；
（2）根据“对称等和数”的意义和A=可得2a=1+5，a=3，则数A可求解，由题意可设B=，C=，因为A+B+C=1800，所以将A、B、C代入上式，再根据三位数的构成=100百位上的数字+10十位上的数字+个位上的数字可得100m+10x+2x﹣m+100n+10y+2y﹣n=1665，整理可得33（m+n）+4（x+y）=555，则x+y可用含m、n的代数式表示，结合x、y的取值范围和x、y、m、n是正整数分析即可求解。
1 / 1
