2022-2023学年浙教版数学九年级上册 1.2 二次函数的图象同步精练 （Word版含答案）

1.2 二次函数的图象同步精练
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线y=﹣2（x﹣1）2说法正确的是（　　）
A．顶点坐标为（﹣2，1）
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x=0时，y有最大值1
D．抛物线的对称轴为直线x=﹣2
4．如果抛物线开口向下，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，y随x的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
6．下列关于二次函数的说法，正确的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当时有最小值
C．顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减少
7．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象与轴的交点坐标是
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当取和时，所得到的的值相同
D．当时，有最大值是
8．如图，A，B两点的坐标分别是，，抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的最小值为，则D点的横坐标的最大值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．6
9．关于抛物线：，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向上 B．它的顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而增大 D．对称轴是直线
10．如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y=（x m）2 m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
12．如图，点、、、是正方形四条边(不含端点)上的点，设线段的长为，四边形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
13．如果点A(﹣3，y1)和点B(﹣2，y2)是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1_____y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
14．二次函数 ，当m＜x＜m＋4时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______．
15．抛物线y=-－4的开口向___，顶点坐标___，对称轴___，x__时，y随x的增大而增大，x___时，y随x的增大而减小。
16．在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
17．如果把函数y＝x2（x≤2）的图象和函数y＝的图象组成一个图象，并称作图象E，那么直线y＝3与图象E的交点有_____个；若直线y＝m（m为常数）与图象E有三个不同的交点，则常数m的取值范围是_____．
三、解答题
18．已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
19．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝　 　；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝　 　；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为　 　（用“＜”连接）．
20．已知抛物线，（n为正整数，且）的顶点坐标为，与x轴的交点为和，，当时，第1条抛物线与x轴的交点为和，其他依此类推．
（1）求的值及抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点坐标为__________；依此类推，第n条抛物线的顶点坐标为__________；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是__________；
（3）探究：
①是否存在抛物线，使得，为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．
②若直线与抛物线分别交于则线段与的长有何数量关系？并说明理由．
21．已知抛物线W：y=x -4x+2的顶点为A，与x轴交于点B、C．
（1）求∠ABC的正切值；
（2）若点P是抛物线W上的一点，过P作直线PQ垂直x轴，将抛物线W关于直线PQ对称，得到抛物线Wˊ，设抛物线Wˊ的顶点Aˊ，问：是否存在这样的点P，使得△APAˊ为直角三角形？若存在，求出对称所得的抛物线Wˊ的表达式；若不存在，请说明理由.
参考答案
1--10CBBBC BCCCA 11--12BA
13．＞
14．m≥2
15． 下 （-2，-4） x= -2 <-2 >-2
16．4
17．2， 0＜m＜2．
18．解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
，
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
19．解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
20．解：（1）A1（2，0），则C1=2，则C2=2+2=4，
将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得：，
则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2=2，b2=4；
故y2=-（x-a2）2+b2=-（x-2）2+4；
（2）同理可得：a3=3，b3=9，故点的坐标为（3，9），
以此推出：点（n，n2），
故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，
故答案为：（3，9）；（n，n2）；y=x2；
（3）①存在，理由：
点A（0，0），点An（2n，0）、点Bn（n，n2），
△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2=2ABn2，
即（2n）2=2（n2+n4），解得：n=1（不合题意的值已舍去），
抛物线的表达式为：y=-（x-1）2+1；
②yCn-1=-（m-n+1）2+（n-1）2，
yCn=-（m-n）2+n2，
Cn-1Cn=yCn-yCn-1=-（m-n）2+n2+（m-n+1）2-（n-1）2=2m．
∴==2m．
21．（1）如图，设对称轴与x轴交点为D，
令y=0，则x2-4x+2=0，
解得x1=2-，x2=2+，
∴B点坐标为（2-，0），C点坐标为（2+，0），
∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2，
∴顶点坐标为（2，-2），对称轴为直线x=2，
∴D点坐标为（2，0），
∴BD=，AD=2，
∴tan∠ABC===.
（2）如图，设P（a，a2-4a+2），对称轴x=a与AA′交于E，
①当a>2时，A（2，-2），E（a，-2），
∵抛物线W与抛物线W′关于直线x=a对称，∠APA′=90°，
∴△APA′是等腰直角三角形，
∴PE=AE，即a2-4a+2-(-2)=a-2，
解得：a1=2(舍去)，a2=3，
∴AE=3-2=1，
∴A′点的横坐标为3+1=4，
∴A′坐标为（4，-2），
∴抛物线W′的解析式为y=(x-4)2-2.
②如图，当a<2时，同理，PE=AE，
∴a2-4a+2-(-2)=2-a，
解得a1=2(舍去)，a2=1，
∴AE=2-1=1，
∴A′点的横坐标为1-1=0，
∴A′点坐标为（0，-2），
∴抛物线W′的解析式为y=x2-2.
综上所述：抛物线W′的解析式为y=(x-4)2-2或y=x2-2.