2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积(1) 同步练习

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名称 2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积(1) 同步练习
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2018-10-22 09:11:14

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2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积(1) 同步练习
一、选择题
1.如图,AB为⊙O的直径,过B作⊙O的切线,在该切线上取点C,连接AC交⊙O于D,若⊙O的半径是6,∠C=36°,则劣弧AD的长是(  )
A. B. C. D.3π
2.如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(  )
A. π B.13π C. π D.14π
3.如图,AB为 的直径,点C在 上,若 , ,则 的长为(  )
A. B. C. D.
4.如图,半径为1的⊙ O 与正五边形 ABCDE 的边相切于点的 A,C ,则弧AC的长为(  )
A. B. C. D.
5.如图,一段公路的转弯处是一段圆弧 ,则弧 的展直长度为(  )
A.3π B.6π C.9π D.12π
6.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AB=2 ,则弧 的长是(  )
A.π B. π C.2π D. π
7.如图是一把折扇,其平面图是一个扇形,扇面ABDC的宽度AC是骨柄长OA的一半.已知OA=30 cm,∠AOB=120°,则扇面ABDC的周长为   cm.
二、填空题
8.如图,半圆O的直径 ,P,Q是半圆O上的点,弦PQ的长为2,则 与 的长度之和为   .
9.如图, 的外接圆O的半径为3, ,则劣弧 的长是   (结果保留 )
10.如图,在平行四边形ABCD中, , , 与AD相交于点F,AB为 的直径, 与CD的延长线相切于点E,则劣弧FE的长为   .
11.在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.以点O为圆心,2为半径画弧交图中网格线与点A,B,则弧AB的长是   .
12.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30°,则劣弧 的长为   (保留π)
13.如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪, , 是圆上的点, 为圆心, ,从 到 只有路 ,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路 .通过计算可知,这些市民其实仅仅少走了   步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据: 取3.142)
14.如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y= x于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;….按此作法进行下去,则弧 的长是   .
三、解答题
15.如图,阴影部分是一广告标志,已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm,10cm,∠AOB=120°,则这个广告标志的周长是多少?
16.如图,把Rt△ABC的斜边放在直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B″C″位置.设BC=1,AC= ,求当顶点A运动到A″位置时,点A经过的路线长度.
17.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,其中 , , 的圆心依次是点A,B,C.
(1)求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长;
(2)判断直线GB与DF的位置关系,并说明理由.
18.如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求 的长.
19.如图,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC,垂足为D,弧AB=弧AE,BE分别交AD,AC于点F,G.
(1)求证:FA=FG;
(2)若BD=DO=2,求弧EC的长度.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,D为弧AC的中点,E是BA延长线上一点,∠DAE=105°.
(1)求∠CAD的度数;
(2)若⊙O的半径为3,求弧BC的长.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】切线的性质;弧长的计算
【解析】【解答】解:OD.
∵BC与圆O相切,∴AB⊥BC,即∠ABC=90°.
∵∠C=36°,∴∠A=54°.
∵OA=OD,∴∠A=∠ODA=36°,∴∠AOD=72°,则劣弧AD的长为 = π.
故答案为:C.
【分析】连接OD根据切线的得出∠ABC=90°,根据三角形的内角和得出∠A=54°,根据等边对等角得出∠A=∠ODA=36°,根据三角形的内角和得出∠AOD=72°,然后由弧长公式即可算出答案。
2.【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:如图所示:
∵AB=9,AD=12,∴BD= =15.
点B在两次旋转过程中经过的路径的长= + = .
故答案为:C.
【分析】首先根据勾股定理算出BD的长,第一次旋转:以点D为旋转中心,旋转角=∠ADA′=90°,半径是BD,第二次旋转:以点C′为旋转中心,旋转角=∠B′C′B″=90°,半径是12,然后根据弧长计算公式分别算出两段弧的长度,再相加即可。
3.【答案】B
【知识点】圆周角定理;弧长的计算
【解析】【解答】解: , ,




的长为: ,
故答案为:B
【分析】根据等边对等角得出∠A=50°,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=100°,根据弧长计算公式l=即可算出答案。
4.【答案】C
【知识点】切线的性质;弧长的计算;正多边形的性质
【解析】【解答】解:连接OA、OC,如图.
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠E=∠D= =108°.
∵AE、CD与⊙O相切,
∴∠OAE=∠OCD=90°,
∴∠AOC=(5-2)×180°-90°-108°-108°-90°=144°,
∴ 的长为 ,
= .
【分析】连接OA、OC,如图.根据正五边形的性质得出∠E=∠D=108°,根据切线的性质得出∠OAE=∠OCD=90°,根据五边形的内角和即可算出∠AOC的度数,根据弧长计算公式l=即可算出答案。
5.【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解: 的展直长度为: =6π(m).
【分析】题中告知了弧所在扇形的圆心角的度数,扇形的半径,由弧长公式l=即可直接算出答案。
6.【答案】A
【知识点】弧长的计算;正多边形的性质
【解析】【解答】解:连接OA、OB,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴∠AOB= ×360°=90°,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:2AO2=(2 )2,
解得:AO=2,
∴ 的长为 =π,
故答案为:A
【分析】连接OA、OB,根据正方形的性质得出中心角∠AOB=90 ,根据勾股定理算出AO的长,然后由弧长公式l=即可算出答案。
7.【答案】30π+30
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:由题意得,OC=AC= OA=15,
的长= =20π,
的长= =10π,
∴扇面ABDC的周长=20π+10π+15+15=30π+30(cm),
故答案为:30π+30
【分析】根据弧长计算公式分别算出弧AB的长,弧CD的长,再和再加上AC,BD的长即可。
8.【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,连接OP、OQ,则 ,

为等边三角形,


则 与 的长度之和为 .
故答案为
【分析】如图,连接OP、OQ,则 OP=OQ=2 ,根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OPQ为等边三角形,根据等边三角形的三个角都是60 得出∠ POQ=60°,根据平角的定义得出∠APO+∠BO =120 °,根据弧长计算公式:l=即可算出答案。
9.【答案】
【知识点】圆周角定理;弧长的计算
【解析】【解答】解: C, ,

根据弧长公式 的长 ,
故答案为:
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOB=110° ,然后根据弧长的计算公式l=即可算出答案。
10.【答案】
【知识点】平行四边形的性质;矩形的判定与性质;弧长的计算
【解析】【解答】解:连接 、 ,作 于 ,如图,
为切线,

四边形 为平行四边形,
, , ,

易得四边形 为矩形,

在 中, ,




劣弧FE的长=
故答案为:
【分析】连接 OE 、 OF ,作BH⊥CD于H 如图,根据切线的性质得出OE⊥CD,根据平行四边形的性质得出CD∥AB , ∠A=∠C=30° , BC=AD=4,根据平行线的性质得出OE⊥AB,易得四边形OEHB为矩形,根据矩形的性质得出BH=OE,根据含30 直角三角形的边之间的关系得出BH=2,故OE=2,根据等边对等角得出∠A=∠OFA=30°,从而可以得出∠EOF=30°,根据弧长计算公式L=即可算出答案。
11.【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,连接OA,OB,
则OC= OB,
∴∠OBC=30°,
∵BC∥OE,
∴∠BOE=30°,
同理∠DOA=30°,
∴∠AOB=90°-30°-30°=30°,
∴ 的长度= ,
故答案为:
【分析】如图,连接OA,OB,根据同圆的半径相等得出OB=OD,又OC=OD,故OC= OB,根据含30 直角三角形的边之间的关系得出∠OBC=30°,根据二直线平行,内错角相等得出∠DOA=30°,根据角的和差得出∠AOB,然后根据弧长计算公式:l=,即可算出答案。
12.【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆周角定理;弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,连接OB、OC,
∵∠BAC=30°,
∴∠BOC=2∠BAC=60°,
又OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OB=OC=2,
∴劣弧 的长为: .
故答案为:
【分析】如图,连接OB、OC,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=2∠BAC=60°,根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OBC是等边三角形,根据等边三角形的三边相等得出BC=OB=OC=2,根据弧长计算公式:l=即可算出答案。
13.【答案】15
【知识点】垂径定理;弧长的计算
【解析】【解答】解:过O作OC⊥AB于C,如图,
∴AC=BC,
∵ ,




又∵弧AB的长=
米 步.
故答案为:15
【分析】过O作OC⊥AB于C,如图,根据垂径定理得出AC=BC,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠A=30°,根据含30 直角三角形的边之间的关系算出OC,AC的长,进而得出uAB的擦很难过,再根据弧长计算公式:l=,算出弧AB的长,用它们的差除以0.5即可得出答案。
14.【答案】
【知识点】弧长的计算;探索图形规律
【解析】【解答】解:直线y= x,点A1坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为(2,2 ),
以原O为圆心,OB1长为半径画弧x轴于点A2,OA2=OB1,
OA2= =4,点A2的坐标为(4,0),
这种方法可求得B2的坐标为(4,4 ),故点A3的坐标为(8,0),B3(8,8 )
以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019,0),
则 的长是 ,
故答案为:
【分析】根据垂直于x轴的直线上所有点的横坐标相同得出B1点的横坐标是2,将B1点的横坐标代入直线y= x,算出对应的纵坐标,从而得出B1点的坐标,根据A1,B1的坐标得出OA1,A1B1的长,以原O为圆心,OB1长为半径画弧x轴于点A2,OA2=OB1,根据勾股定理可以算出OA2=4,从而得出A2点的坐标,根据长度关系判断出∠A1OB1的度数,同理依次得出A3的坐标为(8,0),B3(8,8 )A4的坐标为(16,0),B4(16,16),……以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019,0),从而得出OA2019的长度,弧 A2019B2018 的长其实质就是以点O为圆心,圆心角是∠A1OB1,半径是OA2019的长度的一段弧长,根据弧长计算公式即可算出答案。
15.【答案】解: ,AC=BD=20-10=10cm,
∴周长=( )cm
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据弧长计算公式l=分别算出广告标志的两段弧长,再用大圆的半径减去小圆的半径,算出AC,BD的长,再相加即可得出答案。
16.【答案】解:根据勾股定理可得:AB= ,
第一次旋转所经过的路程为: ,
第二次旋转所经过的路程为: ,
则点A经过的路程长度为:
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】首先根据勾股定理算出AB的长,根据三角形ABC三边的关系判定出∠ABC=60 ,故点A第一次旋转所经过的路程是以点B为圆心,圆心角是120 ,半径为2的一段弧长,点A第二次旋转所经过的路程是以点C'为圆心,圆心角是90 ,半径为的一段弧长,根据弧长计算公式:l=,分别算出两段弧长,再相加即可。
17.【答案】(1)解:
(2)解:GB⊥DF,理由如下:∵CD=CB,CF=CG,∠FCD=∠GCB=90°, ∴△FCD≌△GCB, ∴∠BGC=∠CFD,
延长GB交FD于点H,∵∠GBC=∠FBH, ∠GBC+∠BGC=90°,∴∠FBH+∠CFD=90°,
∴∠BHF=90°,即BG⊥DF
【知识点】全等三角形的判定与性质;弧长的计算
【解析】【分析】(1)求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长,其实质就是求弧AD,弧EF,弧FG的长度之和,根据正方形的性质可知,三段弧所在的扇形的圆心角都是90 。其半径依次是1,2,3,根据弧长计算公式:l=分别算出三段弧的长度,再相加即可;
(2)GB⊥DF,理由如下:首先利用SAS判断出△FCD≌△GCB,根据全等三角形的对应角相等得出∠BGC=∠CFD,延长GB交FD于点H,根据对顶角相等得出∠GBC=∠FBH,根据直角三角形两锐角互余得出∠GBC+∠BGC=90°,再等量代换即可得出∠FBH+∠CFD=90°,根据三角形的内角和即可得出∠BHF=90°,即BG⊥DF。
18.【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,
∴∠AEO=∠ADB=90°,
即OC⊥AD,
∴AE=ED
(2)解:∵OC⊥AD,∴ 弧 ,
∴∠ABC=∠CBD=36°,
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,
∴ 的长=
【知识点】垂径定理;圆周角定理;弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,根据二直线平行,同位角相等得出∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,根据垂径定理即可得出AE=ED;
(2)根据垂径定理得出弧AC=弧CD ,根据等弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠CBD=36°,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,再根据弧长计算公式:l=即可算出答案。
19.【答案】(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°.
∴∠ABE+∠AGB=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠C+∠CAD=90°.
∵ = ,
∴∠C=∠ABE.
∴∠AGB=∠CAD.
∴FA=FG
(2)解:连接AO,EO.∵BD=DO=2,AD⊥BC,∴AB=AO.
∵AO=BO,
∴AB=AO=BO.
∴△ABO是等边三角形.
∴∠AOB=60°.
∵ = ,∴∠AOE=60°.
∴∠EOC=60°.
∴ 的长为2π×(2+2)× = π.
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆周角定理;弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAC=90°.根据直角三角形两锐角互余得出∠ABE+∠AGB=90°,∠C+∠CAD=90°,根据等弧所对的圆周角相等得出∠C=∠ABE,根据等角的余角相等得出∠AGB=∠CAD,根据等角对等边得出FA=FG;
(2)根据中垂线定理得出AB=AO,又AO=BO,故AB=AO=BO,从而判断出△ABO是等边三角形,根据等边三角形的性质得出∠AOB=60°,根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义得出∠EOC=60°,然后根据弧长的计算公式:l=即可算出答案。
20.【答案】(1)解:∵AB=AC, ∴弧AB=弧AC,
∵D是弧 的中点,
∴ ,
∴ ,
∴∠ACB=2∠ACD,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCD=∠EAD=105°
∴∠ACB+∠ACD=105°,即3∠ACD=105°,
∴∠CAD=∠ACD=35°
(2)解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,
∴∠BAC=40°,
连结OB,OC,则∠BOC=2∠BAC =80°,
∴ 的长 .
【知识点】圆周角定理;圆内接四边形的性质;弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据同圆中,相等的弦所对的弧相等得出弧AB=弧AC,根据弧中点的定义得出 弧AD=弧CD=弧AC= 弧AB,即弧AB=2弧AD,根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等得出∠ACB=2∠ACD,根据圆内接四边形的性质得出∠BCD=∠EAD=105°,即3∠ACD=105°,从而得出答案;
(2)根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=70°,根据三角形的内角和得出∠BAC=40°,连结OB,OC,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=2∠BAC =80°,然后根据弧长公式l=,即可算出答案。
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2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.8 弧长及扇形的面积(1) 同步练习
一、选择题
1.如图,AB为⊙O的直径,过B作⊙O的切线,在该切线上取点C,连接AC交⊙O于D,若⊙O的半径是6,∠C=36°,则劣弧AD的长是(  )
A. B. C. D.3π
【答案】C
【知识点】切线的性质;弧长的计算
【解析】【解答】解:OD.
∵BC与圆O相切,∴AB⊥BC,即∠ABC=90°.
∵∠C=36°,∴∠A=54°.
∵OA=OD,∴∠A=∠ODA=36°,∴∠AOD=72°,则劣弧AD的长为 = π.
故答案为:C.
【分析】连接OD根据切线的得出∠ABC=90°,根据三角形的内角和得出∠A=54°,根据等边对等角得出∠A=∠ODA=36°,根据三角形的内角和得出∠AOD=72°,然后由弧长公式即可算出答案。
2.如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=12,将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转,则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(  )
A. π B.13π C. π D.14π
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:如图所示:
∵AB=9,AD=12,∴BD= =15.
点B在两次旋转过程中经过的路径的长= + = .
故答案为:C.
【分析】首先根据勾股定理算出BD的长,第一次旋转:以点D为旋转中心,旋转角=∠ADA′=90°,半径是BD,第二次旋转:以点C′为旋转中心,旋转角=∠B′C′B″=90°,半径是12,然后根据弧长计算公式分别算出两段弧的长度,再相加即可。
3.如图,AB为 的直径,点C在 上,若 , ,则 的长为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】圆周角定理;弧长的计算
【解析】【解答】解: , ,




的长为: ,
故答案为:B
【分析】根据等边对等角得出∠A=50°,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=100°,根据弧长计算公式l=即可算出答案。
4.如图,半径为1的⊙ O 与正五边形 ABCDE 的边相切于点的 A,C ,则弧AC的长为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】切线的性质;弧长的计算;正多边形的性质
【解析】【解答】解:连接OA、OC,如图.
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠E=∠D= =108°.
∵AE、CD与⊙O相切,
∴∠OAE=∠OCD=90°,
∴∠AOC=(5-2)×180°-90°-108°-108°-90°=144°,
∴ 的长为 ,
= .
【分析】连接OA、OC,如图.根据正五边形的性质得出∠E=∠D=108°,根据切线的性质得出∠OAE=∠OCD=90°,根据五边形的内角和即可算出∠AOC的度数,根据弧长计算公式l=即可算出答案。
5.如图,一段公路的转弯处是一段圆弧 ,则弧 的展直长度为(  )
A.3π B.6π C.9π D.12π
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解: 的展直长度为: =6π(m).
【分析】题中告知了弧所在扇形的圆心角的度数,扇形的半径,由弧长公式l=即可直接算出答案。
6.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AB=2 ,则弧 的长是(  )
A.π B. π C.2π D. π
【答案】A
【知识点】弧长的计算;正多边形的性质
【解析】【解答】解:连接OA、OB,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴∠AOB= ×360°=90°,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:2AO2=(2 )2,
解得:AO=2,
∴ 的长为 =π,
故答案为:A
【分析】连接OA、OB,根据正方形的性质得出中心角∠AOB=90 ,根据勾股定理算出AO的长,然后由弧长公式l=即可算出答案。
7.如图是一把折扇,其平面图是一个扇形,扇面ABDC的宽度AC是骨柄长OA的一半.已知OA=30 cm,∠AOB=120°,则扇面ABDC的周长为   cm.
【答案】30π+30
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:由题意得,OC=AC= OA=15,
的长= =20π,
的长= =10π,
∴扇面ABDC的周长=20π+10π+15+15=30π+30(cm),
故答案为:30π+30
【分析】根据弧长计算公式分别算出弧AB的长,弧CD的长,再和再加上AC,BD的长即可。
二、填空题
8.如图,半圆O的直径 ,P,Q是半圆O上的点,弦PQ的长为2,则 与 的长度之和为   .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,连接OP、OQ,则 ,

为等边三角形,


则 与 的长度之和为 .
故答案为
【分析】如图,连接OP、OQ,则 OP=OQ=2 ,根据三边相等的三角形是等边三角形得出△OPQ为等边三角形,根据等边三角形的三个角都是60 得出∠ POQ=60°,根据平角的定义得出∠APO+∠BO =120 °,根据弧长计算公式:l=即可算出答案。
9.如图, 的外接圆O的半径为3, ,则劣弧 的长是   (结果保留 )
【答案】
【知识点】圆周角定理;弧长的计算
【解析】【解答】解: C, ,

根据弧长公式 的长 ,
故答案为:
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠AOB=110° ,然后根据弧长的计算公式l=即可算出答案。
10.如图,在平行四边形ABCD中, , , 与AD相交于点F,AB为 的直径, 与CD的延长线相切于点E,则劣弧FE的长为   .
【答案】
【知识点】平行四边形的性质;矩形的判定与性质;弧长的计算
【解析】【解答】解:连接 、 ,作 于 ,如图,
为切线,

四边形 为平行四边形,
, , ,

易得四边形 为矩形,

在 中, ,




劣弧FE的长=
故答案为:
【分析】连接 OE 、 OF ,作BH⊥CD于H 如图,根据切线的性质得出OE⊥CD,根据平行四边形的性质得出CD∥AB , ∠A=∠C=30° , BC=AD=4,根据平行线的性质得出OE⊥AB,易得四边形OEHB为矩形,根据矩形的性质得出BH=OE,根据含30 直角三角形的边之间的关系得出BH=2,故OE=2,根据等边对等角得出∠A=∠OFA=30°,从而可以得出∠EOF=30°,根据弧长计算公式L=即可算出答案。
11.在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.以点O为圆心,2为半径画弧交图中网格线与点A,B,则弧AB的长是   .
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,连接OA,OB,
则OC= OB,
∴∠OBC=30°,
∵BC∥OE,
∴∠BOE=30°,
同理∠DOA=30°,
∴∠AOB=90°-30°-30°=30°,
∴ 的长度= ,
故答案为:
【分析】如图,连接OA,OB,根据同圆的半径相等得出OB=OD,又OC=OD,故OC= OB,根据含30 直角三角形的边之间的关系得出∠OBC=30°,根据二直线平行,内错角相等得出∠DOA=30°,根据角的和差得出∠AOB,然后根据弧长计算公式:l=,即可算出答案。
12.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30°,则劣弧 的长为   (保留π)
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆周角定理;弧长的计算
【解析】【解答】解:如图,连接OB、OC,
∵∠BAC=30°,
∴∠BOC=2∠BAC=60°,
又OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OB=OC=2,
∴劣弧 的长为: .
故答案为:
【分析】如图,连接OB、OC,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=2∠BAC=60°,根据有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形得出△OBC是等边三角形,根据等边三角形的三边相等得出BC=OB=OC=2,根据弧长计算公式:l=即可算出答案。
13.如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪, , 是圆上的点, 为圆心, ,从 到 只有路 ,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路 .通过计算可知,这些市民其实仅仅少走了   步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据: 取3.142)
【答案】15
【知识点】垂径定理;弧长的计算
【解析】【解答】解:过O作OC⊥AB于C,如图,
∴AC=BC,
∵ ,




又∵弧AB的长=
米 步.
故答案为:15
【分析】过O作OC⊥AB于C,如图,根据垂径定理得出AC=BC,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得出∠A=30°,根据含30 直角三角形的边之间的关系算出OC,AC的长,进而得出uAB的擦很难过,再根据弧长计算公式:l=,算出弧AB的长,用它们的差除以0.5即可得出答案。
14.如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y= x于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;….按此作法进行下去,则弧 的长是   .
【答案】
【知识点】弧长的计算;探索图形规律
【解析】【解答】解:直线y= x,点A1坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1可知B1点的坐标为(2,2 ),
以原O为圆心,OB1长为半径画弧x轴于点A2,OA2=OB1,
OA2= =4,点A2的坐标为(4,0),
这种方法可求得B2的坐标为(4,4 ),故点A3的坐标为(8,0),B3(8,8 )
以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019,0),
则 的长是 ,
故答案为:
【分析】根据垂直于x轴的直线上所有点的横坐标相同得出B1点的横坐标是2,将B1点的横坐标代入直线y= x,算出对应的纵坐标,从而得出B1点的坐标,根据A1,B1的坐标得出OA1,A1B1的长,以原O为圆心,OB1长为半径画弧x轴于点A2,OA2=OB1,根据勾股定理可以算出OA2=4,从而得出A2点的坐标,根据长度关系判断出∠A1OB1的度数,同理依次得出A3的坐标为(8,0),B3(8,8 )A4的坐标为(16,0),B4(16,16),……以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019,0),从而得出OA2019的长度,弧 A2019B2018 的长其实质就是以点O为圆心,圆心角是∠A1OB1,半径是OA2019的长度的一段弧长,根据弧长计算公式即可算出答案。
三、解答题
15.如图,阴影部分是一广告标志,已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm,10cm,∠AOB=120°,则这个广告标志的周长是多少?
【答案】解: ,AC=BD=20-10=10cm,
∴周长=( )cm
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】根据弧长计算公式l=分别算出广告标志的两段弧长,再用大圆的半径减去小圆的半径,算出AC,BD的长,再相加即可得出答案。
16.如图,把Rt△ABC的斜边放在直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B″C″位置.设BC=1,AC= ,求当顶点A运动到A″位置时,点A经过的路线长度.
【答案】解:根据勾股定理可得:AB= ,
第一次旋转所经过的路程为: ,
第二次旋转所经过的路程为: ,
则点A经过的路程长度为:
【知识点】弧长的计算
【解析】【分析】首先根据勾股定理算出AB的长,根据三角形ABC三边的关系判定出∠ABC=60 ,故点A第一次旋转所经过的路程是以点B为圆心,圆心角是120 ,半径为2的一段弧长,点A第二次旋转所经过的路程是以点C'为圆心,圆心角是90 ,半径为的一段弧长,根据弧长计算公式:l=,分别算出两段弧长,再相加即可。
17.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,其中 , , 的圆心依次是点A,B,C.
(1)求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长;
(2)判断直线GB与DF的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)解:
(2)解:GB⊥DF,理由如下:∵CD=CB,CF=CG,∠FCD=∠GCB=90°, ∴△FCD≌△GCB, ∴∠BGC=∠CFD,
延长GB交FD于点H,∵∠GBC=∠FBH, ∠GBC+∠BGC=90°,∴∠FBH+∠CFD=90°,
∴∠BHF=90°,即BG⊥DF
【知识点】全等三角形的判定与性质;弧长的计算
【解析】【分析】(1)求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长,其实质就是求弧AD,弧EF,弧FG的长度之和,根据正方形的性质可知,三段弧所在的扇形的圆心角都是90 。其半径依次是1,2,3,根据弧长计算公式:l=分别算出三段弧的长度,再相加即可;
(2)GB⊥DF,理由如下:首先利用SAS判断出△FCD≌△GCB,根据全等三角形的对应角相等得出∠BGC=∠CFD,延长GB交FD于点H,根据对顶角相等得出∠GBC=∠FBH,根据直角三角形两锐角互余得出∠GBC+∠BGC=90°,再等量代换即可得出∠FBH+∠CFD=90°,根据三角形的内角和即可得出∠BHF=90°,即BG⊥DF。
18.如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连结BC.
(1)求证:AE=ED;
(2)若AB=10,∠CBD=36°,求 的长.
【答案】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,
∴∠AEO=∠ADB=90°,
即OC⊥AD,
∴AE=ED
(2)解:∵OC⊥AD,∴ 弧 ,
∴∠ABC=∠CBD=36°,
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,
∴ 的长=
【知识点】垂径定理;圆周角定理;弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°,根据二直线平行,同位角相等得出∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,根据垂径定理即可得出AE=ED;
(2)根据垂径定理得出弧AC=弧CD ,根据等弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠CBD=36°,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,再根据弧长计算公式:l=即可算出答案。
19.如图,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC,垂足为D,弧AB=弧AE,BE分别交AD,AC于点F,G.
(1)求证:FA=FG;
(2)若BD=DO=2,求弧EC的长度.
【答案】(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°.
∴∠ABE+∠AGB=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠C+∠CAD=90°.
∵ = ,
∴∠C=∠ABE.
∴∠AGB=∠CAD.
∴FA=FG
(2)解:连接AO,EO.∵BD=DO=2,AD⊥BC,∴AB=AO.
∵AO=BO,
∴AB=AO=BO.
∴△ABO是等边三角形.
∴∠AOB=60°.
∵ = ,∴∠AOE=60°.
∴∠EOC=60°.
∴ 的长为2π×(2+2)× = π.
【知识点】等边三角形的判定与性质;圆周角定理;弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAC=90°.根据直角三角形两锐角互余得出∠ABE+∠AGB=90°,∠C+∠CAD=90°,根据等弧所对的圆周角相等得出∠C=∠ABE,根据等角的余角相等得出∠AGB=∠CAD,根据等角对等边得出FA=FG;
(2)根据中垂线定理得出AB=AO,又AO=BO,故AB=AO=BO,从而判断出△ABO是等边三角形,根据等边三角形的性质得出∠AOB=60°,根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义得出∠EOC=60°,然后根据弧长的计算公式:l=即可算出答案。
20.如图,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,D为弧AC的中点,E是BA延长线上一点,∠DAE=105°.
(1)求∠CAD的度数;
(2)若⊙O的半径为3,求弧BC的长.
【答案】(1)解:∵AB=AC, ∴弧AB=弧AC,
∵D是弧 的中点,
∴ ,
∴ ,
∴∠ACB=2∠ACD,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠BCD=∠EAD=105°
∴∠ACB+∠ACD=105°,即3∠ACD=105°,
∴∠CAD=∠ACD=35°
(2)解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,
∴∠BAC=40°,
连结OB,OC,则∠BOC=2∠BAC =80°,
∴ 的长 .
【知识点】圆周角定理;圆内接四边形的性质;弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据同圆中,相等的弦所对的弧相等得出弧AB=弧AC,根据弧中点的定义得出 弧AD=弧CD=弧AC= 弧AB,即弧AB=2弧AD,根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等得出∠ACB=2∠ACD,根据圆内接四边形的性质得出∠BCD=∠EAD=105°,即3∠ACD=105°,从而得出答案;
(2)根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB=70°,根据三角形的内角和得出∠BAC=40°,连结OB,OC,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BOC=2∠BAC =80°,然后根据弧长公式l=,即可算出答案。
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