初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020九下·北碚月考）已知二次函数y＝﹣ +2x+3，则该函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．5
2．（2020九上·昭平期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
3．（2019九上·宁波期中）把一个小球以20米/秒的速度竖起向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t－5t ，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒
4．（2019九上·西岗期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
5．（2020九下·江夏期中）已知抛物线 (m是常数)，点A( ， )，B( ， )在抛物线上，若 ， ，则m，y1，y2的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九下·南召月考）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 ， 随 的增大而增大
B．当 时， 有最大值
C．图象的顶点坐标为
D．图象与 轴有一个交点
7．（2020九上·鼓楼期末）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．
8．（2020九上·信阳期末）在二次函数 的图像中，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019九上·江汉月考）已知二次函数 (其中 是自变量)，当x≥2时， 随 的增大而增大，且 2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或-2 B．
C． 或 D．1
10．（2019九上·邗江月考）已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），则代数式mn+1有（ ）
A．最小值-3 B．最小值3 C．最大值-3 D．最大值3
11．（2019九上·慈溪期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A． B． 或
C．2或 D．2或 或
12．（2019九上·柯桥月考）已知点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项正确的是（ ）
A．对于任意实数x都有y≥y0 B．对于任意实数x都有y≤y0
C．对于任意实数x都有y＞y0 D．对于任意实数x都有y＜y0
二、填空题
13．（2019九上·萧山月考）已知二次函数 ，当0≤x≤4，y的最小值是 ,最大值是 .
14．（2020九上·信阳期末）如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么 y1 y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
15．（2019九上·武汉月考）二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法：①抛物线的开口向下；②当x＞－3时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是x＝－2.5.其中正确的是 .（填序号）
16．（2019八下·杭州期末）对于实数 ， ， ， 表示 ， 两数中较小的数，如 ， .若关于 的函数 ， 的图象关于直线 对称，则 的取值范围是 ，对应的 值是 .
17．（2019九上·长兴期末）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为
18．（2020九上·遂宁期末）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
19．（2019九上·秀洲期末）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且 ，求点A、B的坐标．
20．（2019九上·柘城月考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A( 1，0)和点C(0，3)，对称轴为直线x=1.
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，解答下列问题：
①当 1②当y<3时，求x的取值范围。
21．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣ +2x+3的二次项系数为﹣ ，
∴当x＝﹣ ＝2时，函数取得最大值y＝﹣ ×22+2×2+3＝5
故答案为：D.
【分析】二次项系数为负值的二次函数，其图象开口向下，顶点纵坐标为函数的最大值，据此可解.
2．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250
∵-2＜0
故当x=15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故答案为：D.
【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵h=20t-5t2=-5t2+20t中，
又∵-5＜0，
∴抛物线开口向下，有最高点，
此时，t=-
故答案为：B．
【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标，根据顶点坐标公式即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x 1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）.
故答案为：C.
【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，有最大值为 ，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线 对称轴为直线 ，
设A( ， )的对称点为A′( ， )，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向下，有最大值为 ，对称轴为直线 ，设A( ， )的对称点为A′( ， )，从而求得 ，由 ， ，得出 ，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以 时， .
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴图象的顶点坐标为 ，选项C错误；
∵
∴二次函数图象开口向下，当 时， 有最大值 ，选项B正确；
∵当 ， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，选项A错误；
∵关于x的方程 ， ，有两个不相等的实数根，
∴二次函数 ，图象与 轴有两个交点，选项D错误；
故答案为：B.
【分析】将二次函数化为顶点式，即可得出二次函数图象的开口方向以及二次函数图象的对称轴、顶点坐标，利用根的判别式可判断出二次函数图象于x轴的交点的个数.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴ ，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣ ，
∴﹣ ≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣ ＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故答案为：B．
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 的开口向下，
∴所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵二次函数 的对称轴是 ，
∴ ．故答案为：A．
【分析】由于抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，据此即可求出x的范围.
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 (其中x是自变量)，
∴对称轴是直线x= = 1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∵ 2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a 6=0，
∴a=1,或a= 2(不合题意舍去).
故答案为：D.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），
∴-3=1-m+n，
∴n=-4+m，
代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.
∴代数式mn+1有最小值-3.
故答案为：A.
【分析】把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.
11．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m= ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣ ，m= （舍去）；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣ ．
故选C．
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由于点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则点（x0，y0）为二次函数的顶点；又由于a＜0，开口向下，则点（x0，y0）为最大值点；即对于任意实数x都有y≤y0.
故答案为：B.
【分析】根据x0满足关于x的方程2ax+b=0可得x0=-,于是可知（x0，y0）为二次函数的顶点；由a＜0可知抛物线的开口向下，于是可得抛物线有最大值，即对于任意实数x都有y≤y0.
13．【答案】-1；8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】由二次函数公式可得：对称轴为直线x=3；
x=3在0≤x≤4范围内，故x=3时，函数有最小值-1.
当x=0时，函数取到最大值8.
【分析】根据x=-可求得对称轴方程；结合已知和二次函数的性质可得函数有最小值-1；根据x的范围可知当x=0时，函数取到最大值8.
14．【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】当x=﹣2时，y1=（﹣2+3）2=1，当x=2时，y2=（2+3）2=25，y1＜y2，故答案为＜．
【分析】将x=-2，x=2分别代入解析式中，求出y1与，y2的值，然后比较即可.
15．【答案】④
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可知函数图象过点 、 和 ，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
抛物线开口向上，对称轴为 ，最小值为 ，当 时 随 的增大而增大，
正确的是④，
故答案为：④.
【分析】首先根据表格提供的数据，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的系数、图象与性质即可一一判断得出答案。
16．【答案】 或 ；6或3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设 ，
①当 与 关于 对称时，可得 ，
②在 ， 中， 与 没重合部分，即无论 为何值，
即 恒小于等于 ，那么由于 对 对称，也即 对于 对称，得 ， .
综上所述， 或 ，对应的 值为6或3
故答案为： 或 ，6或3
【分析】设 ， ，然后分①当 与 关于 对称时，求出相应的a及t的值，②根据偶数次幂的非负性得恒大于0，故恒小于0，从而即可得出，再根据对称轴直线是x=3，从而即可求出t的值，综上所述即可得出答案。
17．【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=ax2+2ax+3a2+3，
∴对称轴x=-=-1，
∵ 当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，
∴a＜0，且当x=-1时，y=7，
∴7=a-2a+3a2+3，
解得：a=-1或a=（舍去），
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据二次函数的解析式可知其对称轴为x=-1，由二次函数性质结合题意可得a＜0，且当x=-1时，y=7，代入、计算即可得出答案.
18．【答案】a≥9
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的右边，函数方能在x=1时取得最小值，x 5，即a＞13．
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在区间1≤x≤5的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=5的地方取得最小值，即：
x ，即a≥9（此处若a取9的话，函数就在1和5的地方都取得最小值）
综合上所述：a≥9．
故答案为：a≥9．
【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答．
19．【答案】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵A在B右边，且AB＝4，
∴B（﹣3，0），A（1，0）．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴直线x=-,得出其对称轴直线，根据AB等于4及抛物线的对称性可知A,B两点到对称轴直线的水平距离是2，从而得出A,B两点的坐标。
20．【答案】（1）解：根据题意得 ，解得 ，
所以二次函数关系式为y= x2+2x+3，
因为y= (x 1)2+4，
所以抛物线的顶点坐标为(1，4)
（2）解：①当x= 1时，y=0；x=2时，y=3；
而抛物线的顶点坐标为(1，4)，且开口向下，
所以当 1②当y=3时， x2+2x+3=3，解得x=0或2，
所以当y<3时，x<0或x>2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A( 1，0)和点C(0，3)，对称轴为直线x=1分别代入解析式中，可得关于abc的方程组，解出a、b、c的值即得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）①分别求出当x= 1，x=2时的y值，由于抛物线的顶点坐标为(1，4) ，据此可求出结论；
②求出当y=3时x的值，结合图象即可求出当y<3时x的范围.
21．【答案】（1）解：由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．
∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．
列表得：
x -1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
图象如下．
（2）解：由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
（3）解：由图象可知：
当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方
（4）解：由图象可知：
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（0，3）代入函数解析式，就可求出m的值，再用描点法画出函数的图象。
（2）要求抛物线与x轴的交点，由y=0，解方程求出x的值，就可得出抛物线与x轴的交点坐标；再将函数解析式转化为顶点式，写出顶点坐标。
（3）观察x轴上方的图像，可得出答案。
（4）由对称轴为直线x=1，就可得出y的值随x值的增大而减小时，自变量的取值范围。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020九下·北碚月考）已知二次函数y＝﹣ +2x+3，则该函数的最大值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．5
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣ +2x+3的二次项系数为﹣ ，
∴当x＝﹣ ＝2时，函数取得最大值y＝﹣ ×22+2×2+3＝5
故答案为：D.
【分析】二次项系数为负值的二次函数，其图象开口向下，顶点纵坐标为函数的最大值，据此可解.
2．（2020九上·昭平期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800，则利润获得最多为（ ）
A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250
∵-2＜0
故当x=15时，y有最大值，最大值为1250
即利润获得最多为1250元
故答案为：D.
【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润.
3．（2019九上·宁波期中）把一个小球以20米/秒的速度竖起向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t－5t ，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ）
A．1秒 B．2秒 C．4秒 D．20秒
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵h=20t-5t2=-5t2+20t中，
又∵-5＜0，
∴抛物线开口向下，有最高点，
此时，t=-
故答案为：B．
【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标，根据顶点坐标公式即可求出答案.
4．（2019九上·西岗期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（1，4） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x 1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）.
故答案为：C.
【分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可.
5．（2020九下·江夏期中）已知抛物线 (m是常数)，点A( ， )，B( ， )在抛物线上，若 ， ，则m，y1，y2的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，有最大值为 ，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线 对称轴为直线 ，
设A( ， )的对称点为A′( ， )，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向下，有最大值为 ，对称轴为直线 ，设A( ， )的对称点为A′( ， )，从而求得 ，由 ， ，得出 ，则在对称轴右侧，y随x的增大而减小，所以 时， .
6．（2020九下·南召月考）对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 ， 随 的增大而增大
B．当 时， 有最大值
C．图象的顶点坐标为
D．图象与 轴有一个交点
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴图象的顶点坐标为 ，选项C错误；
∵
∴二次函数图象开口向下，当 时， 有最大值 ，选项B正确；
∵当 ， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，选项A错误；
∵关于x的方程 ， ，有两个不相等的实数根，
∴二次函数 ，图象与 轴有两个交点，选项D错误；
故答案为：B.
【分析】将二次函数化为顶点式，即可得出二次函数图象的开口方向以及二次函数图象的对称轴、顶点坐标，利用根的判别式可判断出二次函数图象于x轴的交点的个数.
7．（2020九上·鼓楼期末）已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（ ）
A．9 B．8 C．1 D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴ ，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣ ，
∴﹣ ≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣ ＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故答案为：B．
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
8．（2020九上·信阳期末）在二次函数 的图像中，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 的开口向下，
∴所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵二次函数 的对称轴是 ，
∴ ．故答案为：A．
【分析】由于抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，据此即可求出x的范围.
9．（2019九上·江汉月考）已知二次函数 (其中 是自变量)，当x≥2时， 随 的增大而增大，且 2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或-2 B．
C． 或 D．1
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 (其中x是自变量)，
∴对称轴是直线x= = 1，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∵ 2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9，
∴3a2+3a 6=0，
∴a=1,或a= 2(不合题意舍去).
故答案为：D.
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．
10．（2019九上·邗江月考）已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），则代数式mn+1有（ ）
A．最小值-3 B．最小值3 C．最大值-3 D．最大值3
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），
∴-3=1-m+n，
∴n=-4+m，
代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.
∴代数式mn+1有最小值-3.
故答案为：A.
【分析】把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.
11．（2019九上·慈溪期中）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A． B． 或
C．2或 D．2或 或
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m= ，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=﹣ ，m= （舍去）；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣ ．
故选C．
【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．
12．（2019九上·柯桥月考）已知点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项正确的是（ ）
A．对于任意实数x都有y≥y0 B．对于任意实数x都有y≤y0
C．对于任意实数x都有y＞y0 D．对于任意实数x都有y＜y0
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】由于点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则点（x0，y0）为二次函数的顶点；又由于a＜0，开口向下，则点（x0，y0）为最大值点；即对于任意实数x都有y≤y0.
故答案为：B.
【分析】根据x0满足关于x的方程2ax+b=0可得x0=-,于是可知（x0，y0）为二次函数的顶点；由a＜0可知抛物线的开口向下，于是可得抛物线有最大值，即对于任意实数x都有y≤y0.
二、填空题
13．（2019九上·萧山月考）已知二次函数 ，当0≤x≤4，y的最小值是 ,最大值是 .
【答案】-1；8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】由二次函数公式可得：对称轴为直线x=3；
x=3在0≤x≤4范围内，故x=3时，函数有最小值-1.
当x=0时，函数取到最大值8.
【分析】根据x=-可求得对称轴方程；结合已知和二次函数的性质可得函数有最小值-1；根据x的范围可知当x=0时，函数取到最大值8.
14．（2020九上·信阳期末）如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么 y1 y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】当x=﹣2时，y1=（﹣2+3）2=1，当x=2时，y2=（2+3）2=25，y1＜y2，故答案为＜．
【分析】将x=-2，x=2分别代入解析式中，求出y1与，y2的值，然后比较即可.
15．（2019九上·武汉月考）二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法：①抛物线的开口向下；②当x＞－3时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是x＝－2.5.其中正确的是 .（填序号）
【答案】④
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意可知函数图象过点 、 和 ，
，解得 ，
抛物线解析式为 ，
抛物线开口向上，对称轴为 ，最小值为 ，当 时 随 的增大而增大，
正确的是④，
故答案为：④.
【分析】首先根据表格提供的数据，利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线的系数、图象与性质即可一一判断得出答案。
16．（2019八下·杭州期末）对于实数 ， ， ， 表示 ， 两数中较小的数，如 ， .若关于 的函数 ， 的图象关于直线 对称，则 的取值范围是 ，对应的 值是 .
【答案】 或 ；6或3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设 ，
①当 与 关于 对称时，可得 ，
②在 ， 中， 与 没重合部分，即无论 为何值，
即 恒小于等于 ，那么由于 对 对称，也即 对于 对称，得 ， .
综上所述， 或 ，对应的 值为6或3
故答案为： 或 ，6或3
【分析】设 ， ，然后分①当 与 关于 对称时，求出相应的a及t的值，②根据偶数次幂的非负性得恒大于0，故恒小于0，从而即可得出，再根据对称轴直线是x=3，从而即可求出t的值，综上所述即可得出答案。
17．（2019九上·长兴期末）已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为
【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=ax2+2ax+3a2+3，
∴对称轴x=-=-1，
∵ 当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，
∴a＜0，且当x=-1时，y=7，
∴7=a-2a+3a2+3，
解得：a=-1或a=（舍去），
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据二次函数的解析式可知其对称轴为x=-1，由二次函数性质结合题意可得a＜0，且当x=-1时，y=7，代入、计算即可得出答案.
18．（2020九上·遂宁期末）已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】a≥9
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的右边，函数方能在x=1时取得最小值，x 5，即a＞13．
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在区间1≤x≤5的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=5的地方取得最小值，即：
x ，即a≥9（此处若a取9的话，函数就在1和5的地方都取得最小值）
综合上所述：a≥9．
故答案为：a≥9．
【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答．
三、解答题
19．（2019九上·秀洲期末）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且 ，求点A、B的坐标．
【答案】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵A在B右边，且AB＝4，
∴B（﹣3，0），A（1，0）．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴直线x=-,得出其对称轴直线，根据AB等于4及抛物线的对称性可知A,B两点到对称轴直线的水平距离是2，从而得出A,B两点的坐标。
20．（2019九上·柘城月考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A( 1，0)和点C(0，3)，对称轴为直线x=1.
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，解答下列问题：
①当 1②当y<3时，求x的取值范围。
【答案】（1）解：根据题意得 ，解得 ，
所以二次函数关系式为y= x2+2x+3，
因为y= (x 1)2+4，
所以抛物线的顶点坐标为(1，4)
（2）解：①当x= 1时，y=0；x=2时，y=3；
而抛物线的顶点坐标为(1，4)，且开口向下，
所以当 1②当y=3时， x2+2x+3=3，解得x=0或2，
所以当y<3时，x<0或x>2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A( 1，0)和点C(0，3)，对称轴为直线x=1分别代入解析式中，可得关于abc的方程组，解出a、b、c的值即得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；
（2）①分别求出当x= 1，x=2时的y值，由于抛物线的顶点坐标为(1，4) ，据此可求出结论；
②求出当y=3时x的值，结合图象即可求出当y<3时x的范围.
21．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案】（1）解：由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3．
∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4．
列表得：
x -1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
图象如下．
（2）解：由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3．
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
（3）解：由图象可知：
当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方
（4）解：由图象可知：
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（0，3）代入函数解析式，就可求出m的值，再用描点法画出函数的图象。
（2）要求抛物线与x轴的交点，由y=0，解方程求出x的值，就可得出抛物线与x轴的交点坐标；再将函数解析式转化为顶点式，写出顶点坐标。
（3）观察x轴上方的图像，可得出答案。
（4）由对称轴为直线x=1，就可得出y的值随x值的增大而减小时，自变量的取值范围。
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