2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.2二次函数y=ax +bx+c的图像与性质 同步练习
一、选择题
1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小
3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
4．（2016九上·济宁期中）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值
B． 对称轴是直线x=
C． 当x＜ ，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= x2+bx+c的顶点，则方程 x2+bx+c=1的解的个数是（ ）
A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2
7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．y轴 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3
二、填空题（共6小题）
9．如果抛物线y= x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 ．
10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）．
11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是 ．
12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线 ．
13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是 ．
14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= ．
三、解答题
15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．
16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．
（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；
（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+ 的值．
18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．
（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；
（2）求sin∠OCB的值；
（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．
19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有 个；
（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
（3）试探究a1与a2满足的数量关系．
20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．
（1）请求出该函数图象的对称轴；
（2）在坐标系内作出该函数的图象；
（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣ =﹣ = ＞0，
∴其顶点坐标在第一或四象限，
∵当x=0时，y=2，
∴抛物线一定经过第二象限，
∴此函数的图象一定不经过第三象限．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知对称轴在y轴的右侧，因此顶点坐标在第一象限或第四象限，而抛物线与y轴的交点坐标再x轴的上方，因此可知抛物线一定过第二象限，即可得出抛物线不经过的象限。
2．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：
∵y=2x2，y=x2开口向上，
∴A不正确，
∵y=﹣2x2，开口向下，
∴有最高点，
∴C不正确，
∵在对称轴两侧的增减性不同，
∴D不正确，
∵三个抛物线中都不含有一次项，
∴其对称轴为y轴，
∴B正确，
故选B．
【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．
【分析】本题主要考 查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜ 时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】抛物线的开口向上，函数有最小值，可对A作出判断；由图象可知抛物线的对称轴及抛物线与x轴的两交点坐标，就可对B、C、D作出判断。即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：分三种情况：
点M的纵坐标小于1，方程 x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；
点M的纵坐标等于1，方程 x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；
点M的纵坐标大于1，方程 x2+bx+c=1的解的个数是0．
故方程 x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．
故答案为：D．
【分析】根据题意， 点M是直线y=2与x轴之间的一个动点 ，因此分三种情况讨论：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1，分别可得出 x2+bx+c=1的解的个数，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的 右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4，故选D．
【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1，故选C．
【分析】根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．
9．【答案】1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y= x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，
∴m﹣1=0，解得m=1，
故答案为：1．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y轴，则b=0，就可得出m-1=0，解方程就可得出m的值。
10．【答案】上升
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2x2﹣1，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为：上升．
【分析】由抛物线的解析式可知对称轴为y轴，且开口向上，就可得出y轴右侧部分图象呈上升趋势。
11．【答案】直线x=2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，
∴抛物线的对称轴为直线x= =2．
故答案为：直线x=2．
【分析】根据点A、B的纵坐标相同，利用二次函数的对称性可知这两点关于对称轴对称，因此可求出对称轴。
12．【答案】x=2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2，
即直线x=2．
故答案为：x=2．
【分析】二次函数的对称轴为直线x=，代入计算可求出结果。
13．【答案】a＜﹣3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，
∴a+3＜0，
解得：a＜﹣3，
故答案为：a＜﹣3．
【分析】根据函数解析式可知此函数关于y轴对称，顶点坐标为（0，-5），要使此抛物线不经过第一象限，因此抛物线的开口向下，就可列出关于a的不等式，求解即可。
14．【答案】8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，﹣ =2，
解得m=8．
故答案为：8．
【分析】根据已知函数的对称轴为直线x==2，代入建立关于m的方程，就可求出m的值。
15．【答案】解：列表得：
x ﹣2 -1 0 1 2
y=2x2 8 2 0 2 8
y=2x2+1 9 3 1 3 9
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】利用二次函数的对称性先列表，再描点，然后用圆滑的曲线连接即可。
16．【答案】（1）解：∵二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：h=1，a=﹣ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=1
（2）解：点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB= OA′=1，
∴A′B= OB= ，
∴A′点的坐标为（1， ），
∴点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点O、A的坐标，可求出函数解析式，然后再求出此函数的对称轴。
（2）根据旋转的性质，可知OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再在Rt△A′OB中，利用直角三角形的性质及勾股定理求出OB， A′B，就可求出A′点的坐标，即可判断。
17．【答案】（1）解：y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+ ﹣1﹣ =（x﹣ ）2﹣ ，
顶点坐标是（ ，﹣ ），对称轴是x=
（2）解： ∵ 抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0）
∴m2-m-1=0
∵m≠0
∴m-1-=0
∴m-=1
两边平方得：
∴m2-2+=1
∴m2+=3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式，再写出抛物线的顶点坐标及对称轴。
（2）先求出y=0时自变量x的值，再将两根分别代入代数式求值即可；或将点（m，0）代入函数解析式，建立关于m的方程，再将方程转化为m-=1，然后两边同时平方，就可得出m2+的值。
18．【答案】（1）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）
（2）解：令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），
∴ ，
∴
（3）解：∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，
∴m2﹣m﹣6=m，
即m2﹣2m﹣6=0，
解得 ，
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式，再写出顶点坐标。
（2）利用函数解析式求出当y=0时的自变量的值，就可得出点C、B的坐标，从而可求出OB、OC的长，再利用勾股定理求出BC，然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠OCB的值。
（3）将点P的坐标代入函数解析式，建立关于m的一元二次方程，求出方程的解即可。
19．【答案】（1）无数
（2）解：①令y=0，即x2+3x+2=0．
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）． （3分）
②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣ ∴顶点坐标为（﹣ ，﹣ ）．
设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式为
y=a（x+2）2，
将x=﹣ ，y=﹣ 代入y=a（x+2）2得 a=﹣1．
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，
同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；
（3）解：设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；
y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得
∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．
当﹣h≠m时，a1=﹣a2
当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据互为“伴侣二次函数”的定义，可得出答案。
（2）①由y=0，解关于x的方程求出x的值，就可得出此二次函数与x轴的两交点坐标；②先将函数解析式转化为顶点式，得出顶点坐标，设 以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将点的坐标代入求出a的值，再求出 以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式，即可解决问题。
（3） 设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）； y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．由“伴侣二次函数”定义，将两函数联立方程组，分情况讨论： 当﹣h≠m时，a1=﹣a2； 当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数，就可解答此问题。
20．【答案】（1）解：
（2）解：图象
（3）解：因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）
当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点
所以直线x=1为所求直线
当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，
令﹣x2+2x+3=kx+b
整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0
即：k2﹣4k+16﹣4b=0
又因为y=kx+b，过点p（1，5）
所以5=k+b
所以k2﹣4=0
解得k=±2，
当k=2时，b=3；
当k=﹣2时，b=7
所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，
所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据函数解析式，利用对称轴为直线x=，代入计算就可求出此函数的对称轴。
（2）利用描点法画出函数的图象。
（3）由抛物线的对称轴及点P的坐标，可知 当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点，则直线x=1就是所求的直线；当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，将两函数联立方程组，转化为﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0，再由 △=0，得出k2﹣4k+16﹣4b=0，将点P的坐标代入一次函数解析式得出5=k+b，解方程组求出k、b的值，即可得出函数解析式。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册26.2.2二次函数y=ax +bx+c的图像与性质 同步练习
一、选择题
1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣ =﹣ = ＞0，
∴其顶点坐标在第一或四象限，
∵当x=0时，y=2，
∴抛物线一定经过第二象限，
∴此函数的图象一定不经过第三象限．
故答案为：C．
【分析】根据题意可知对称轴在y轴的右侧，因此顶点坐标在第一象限或第四象限，而抛物线与y轴的交点坐标再x轴的上方，因此可知抛物线一定过第二象限，即可得出抛物线不经过的象限。
2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：
∵y=2x2，y=x2开口向上，
∴A不正确，
∵y=﹣2x2，开口向下，
∴有最高点，
∴C不正确，
∵在对称轴两侧的增减性不同，
∴D不正确，
∵三个抛物线中都不含有一次项，
∴其对称轴为y轴，
∴B正确，
故选B．
【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．
3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（0，1），故选B．
【分析】本题主要考 查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
4．（2016九上·济宁期中）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值
B． 对称轴是直线x=
C． 当x＜ ，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜ 时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】抛物线的开口向上，函数有最小值，可对A作出判断；由图象可知抛物线的对称轴及抛物线与x轴的两交点坐标，就可对B、C、D作出判断。即可得出答案。
6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= x2+bx+c的顶点，则方程 x2+bx+c=1的解的个数是（ ）
A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：分三种情况：
点M的纵坐标小于1，方程 x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；
点M的纵坐标等于1，方程 x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；
点M的纵坐标大于1，方程 x2+bx+c=1的解的个数是0．
故方程 x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．
故答案为：D．
【分析】根据题意， 点M是直线y=2与x轴之间的一个动点 ，因此分三种情况讨论：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1，分别可得出 x2+bx+c=1的解的个数，即可得出答案。
7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的 右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4，故选D．
【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．
8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．y轴 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1，故选C．
【分析】根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．
二、填空题（共6小题）
9．如果抛物线y= x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是 ．
【答案】1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y= x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，
∴m﹣1=0，解得m=1，
故答案为：1．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y轴，则b=0，就可得出m-1=0，解方程就可得出m的值。
10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）．
【答案】上升
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2x2﹣1，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为：上升．
【分析】由抛物线的解析式可知对称轴为y轴，且开口向上，就可得出y轴右侧部分图象呈上升趋势。
11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是 ．
【答案】直线x=2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，
∴抛物线的对称轴为直线x= =2．
故答案为：直线x=2．
【分析】根据点A、B的纵坐标相同，利用二次函数的对称性可知这两点关于对称轴对称，因此可求出对称轴。
12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线 ．
【答案】x=2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2，
即直线x=2．
故答案为：x=2．
【分析】二次函数的对称轴为直线x=，代入计算可求出结果。
13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是 ．
【答案】a＜﹣3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，
∴a+3＜0，
解得：a＜﹣3，
故答案为：a＜﹣3．
【分析】根据函数解析式可知此函数关于y轴对称，顶点坐标为（0，-5），要使此抛物线不经过第一象限，因此抛物线的开口向下，就可列出关于a的不等式，求解即可。
14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m= ．
【答案】8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，﹣ =2，
解得m=8．
故答案为：8．
【分析】根据已知函数的对称轴为直线x==2，代入建立关于m的方程，就可求出m的值。
三、解答题
15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．
【答案】解：列表得：
x ﹣2 -1 0 1 2
y=2x2 8 2 0 2 8
y=2x2+1 9 3 1 3 9
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】利用二次函数的对称性先列表，再描点，然后用圆滑的曲线连接即可。
16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
【答案】（1）解：∵二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：h=1，a=﹣ ，
∴抛物线的对称轴为直线x=1
（2）解：点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB= OA′=1，
∴A′B= OB= ，
∴A′点的坐标为（1， ），
∴点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点O、A的坐标，可求出函数解析式，然后再求出此函数的对称轴。
（2）根据旋转的性质，可知OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再在Rt△A′OB中，利用直角三角形的性质及勾股定理求出OB， A′B，就可求出A′点的坐标，即可判断。
17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．
（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；
（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+ 的值．
【答案】（1）解：y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+ ﹣1﹣ =（x﹣ ）2﹣ ，
顶点坐标是（ ，﹣ ），对称轴是x=
（2）解： ∵ 抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0）
∴m2-m-1=0
∵m≠0
∴m-1-=0
∴m-=1
两边平方得：
∴m2-2+=1
∴m2+=3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式，再写出抛物线的顶点坐标及对称轴。
（2）先求出y=0时自变量x的值，再将两根分别代入代数式求值即可；或将点（m，0）代入函数解析式，建立关于m的方程，再将方程转化为m-=1，然后两边同时平方，就可得出m2+的值。
18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．
（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；
（2）求sin∠OCB的值；
（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．
【答案】（1）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ）
（2）解：令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），
∴ ，
∴
（3）解：∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，
∴m2﹣m﹣6=m，
即m2﹣2m﹣6=0，
解得 ，
【知识点】锐角三角函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式，再写出顶点坐标。
（2）利用函数解析式求出当y=0时的自变量的值，就可得出点C、B的坐标，从而可求出OB、OC的长，再利用勾股定理求出BC，然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠OCB的值。
（3）将点P的坐标代入函数解析式，建立关于m的一元二次方程，求出方程的解即可。
19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有 个；
（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
（3）试探究a1与a2满足的数量关系．
【答案】（1）无数
（2）解：①令y=0，即x2+3x+2=0．
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）． （3分）
②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣ ∴顶点坐标为（﹣ ，﹣ ）．
设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式为
y=a（x+2）2，
将x=﹣ ，y=﹣ 代入y=a（x+2）2得 a=﹣1．
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，
同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；
（3）解：设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；
y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得
∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．
当﹣h≠m时，a1=﹣a2
当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据互为“伴侣二次函数”的定义，可得出答案。
（2）①由y=0，解关于x的方程求出x的值，就可得出此二次函数与x轴的两交点坐标；②先将函数解析式转化为顶点式，得出顶点坐标，设 以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式为y=a（x+2）2，将点的坐标代入求出a的值，再求出 以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式，即可解决问题。
（3） 设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）； y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．由“伴侣二次函数”定义，将两函数联立方程组，分情况讨论： 当﹣h≠m时，a1=﹣a2； 当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数，就可解答此问题。
20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．
（1）请求出该函数图象的对称轴；
（2）在坐标系内作出该函数的图象；
（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．
【答案】（1）解：
（2）解：图象
（3）解：因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）
当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点
所以直线x=1为所求直线
当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，
令﹣x2+2x+3=kx+b
整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0
即：k2﹣4k+16﹣4b=0
又因为y=kx+b，过点p（1，5）
所以5=k+b
所以k2﹣4=0
解得k=±2，
当k=2时，b=3；
当k=﹣2时，b=7
所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，
所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据函数解析式，利用对称轴为直线x=，代入计算就可求出此函数的对称轴。
（2）利用描点法画出函数的图象。
（3）由抛物线的对称轴及点P的坐标，可知 当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点，则直线x=1就是所求的直线；当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，将两函数联立方程组，转化为﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0，再由 △=0，得出k2﹣4k+16﹣4b=0，将点P的坐标代入一次函数解析式得出5=k+b，解方程组求出k、b的值，即可得出函数解析式。
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