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专题 相似三角形的判断
1．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C． D．
2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
4．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A．B．C．D．
5．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（ ）
A．AB：AC B．BC：AC
C．AB：BC D．AC：AB
6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
11．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，，
C．1，， D．1，，
12．已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )
A．B．C． D．
13．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，与下列哪一个三角形相似（ ）
A．B．C．D．
15．下列说法，其中正确的有（ ）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
17．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．
18．如图，在与中，，且.
求证：.
19．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
20．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE OC．
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专题 相似三角形的判断
1．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C． D．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选B．
3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
4．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A．B．C．D．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
5．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（ ）
A．AB：AC B．BC：AC
C．AB：BC D．AC：AB
【详解】解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，
∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴．
故选A．
6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
【详解】解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
8．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，与一定相似的三角形为（ ）
A． B． C． D．
【详解】平分，
，
又
，且
故选．
9．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【详解】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
10．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【详解】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不正确．
故选：C．
11．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，，
C．1，， D．1，，
【详解】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故选：A．
12．已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )
A．B．C． D．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
13．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，∵AD=1，BD=3，
∴，
当时，，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
而根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，
故选D．
14．如图，与下列哪一个三角形相似（ ）
A．B．C．D．
【详解】根据图形可得△ABC为等腰三角形，底角的度数为（度）
由选项中的图形可知D图形为等腰三角形，且底角为40°，
故选D.
15．下列说法，其中正确的有（ ）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】各有一个角是60°的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；
顶角为80度的等腰三角形与底角为80度的等腰三角形不相似，所以②错误；
各有一个角是100°的两个等腰三角形的底角都为40度，它们相似，所以③正确；
两边成比例的两个等腰三角形不相似，所以④错误．
故选B．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
【详解】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
17．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG．
18．如图，在与中，，且.
求证：.
【详解】∵，
∴，
即，
又，
∴．
19．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：
【详解】证明：过D作交于G，则和相似，
∴，
∵，
∴，
由可得和相似，
∴即，
∴
20．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD=2OA，OC=2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2=OE OC．
【详解】证明：（1）∵OD=2OA，OC=2OB，
,
又∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC．
（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO=∠DCO．
∵AB∥DE，
∴∠ABO=∠EDO．
∴∠DCO=∠EDO．
∵∠DOC=∠EOD，
∴△DOC∽△EOD,
∴ ,
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