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专题21 相似多边形
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 相似多边形的判定
1．下列结论中，错误的有：（ ）
①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
3．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
4．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似
6．如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似
8．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，现将四边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到四边形，则四边形的面积与四边形的面积之比为（ ）
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．5:1
9．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
10．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
考查题型二 相似多边形的性质
11．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
12．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
13．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
14．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
15．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
16．下列说法中不正确的是（ ）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
17．一个矩形的长为，宽为，如果把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形与原矩形相似，则，应满足的关系式为（ ）
A．a2+ab-b2=0 B．a2+ab+b2=0 C．a2-ab-b2=0 D．a2-ab+b2=0
18．如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为，菱形ABCD的面积记为，则：的值为
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
19．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
20．如图，把矩形中的边向上翻折到边上，当点与点重合时，折痕与边交于点，连接，若四边形与矩形恰好相似，若时，的长为（ ）
A． B． C． D．
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专题21 相似多边形
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 相似多边形的判定
1．下列结论中，错误的有：（ ）
①所有的菱形都相似；②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似；④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】相似多边形对应边成比例，对应角相等，菱形之间的对应角不一定相等，故①错误；
放大镜下的图形只是大小发生了变化，形状不变，所以一定相似，②错误；
等边三角形的角都是60°，一定相似，③正确；
钝角只能是等腰三角形的顶角，则底角只能是35°，所以两个等腰三角形相似，④正确；
矩形之间的对应角相等，但是对应边不一定成比例，故⑤正确.
有2个错误，故选B.
2．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意得,两个相似多边形的一组对应边的比为3:4.5=，
∴它们的相似比为，故选A.
3．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
【详解】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 ＝1：2．
故选：B．
4．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．故选：B．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似
【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；
B、如果一个等腰三角形的顶角是，另一等腰三角形的底角是，则不相似，此项错误；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；
D、两个含角的直角三角形必相似，此项正确；
故选：D．
6．如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
7．如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似
【详解】如图，
∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC，
∴，
∴甲与丁相似，故选项B错误，
∵当，
AM=EP，
∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，
∵，，DM=PF，
∴当，MP=AE，
∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，
无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，
故选A．
8．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，现将四边形各顶点的横坐标和纵坐标都乘，得到四边形，则四边形的面积与四边形的面积之比为（ ）
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．5:1
【详解】∵四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，相似比为2：1，
∴四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为4：1．
故选C．
9．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
【详解】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．
综上，外框与原图一定相似的有3个，
故选：C．
10．小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】A.内外都是等边三角形，符合相似的定义，对应角相等，∴两个三角形相似，故不符合题意；
B.内外都是正方形，对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正方形相似，故不符合题意；
C.两个矩形的对应角都相等，对应边不成比例，∴两个矩形不相似，符合题意；
D.两个正五边形对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正五边形相似，不符合题意.
故选C.
考查题型二 相似多边形的性质
11．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【详解】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF=xcm，得到：
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
12．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【详解】3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
13．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
【详解】由已知可得：α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故选C
14．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
【详解】
解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：3．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为x，
则有=，
解得：x=48．
大多边形的周长为48cm．
故选A．
15．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）
A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:1
【详解】解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后的矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
16．下列说法中不正确的是（ ）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
【详解】若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；
②相似多边形对应角平线的比等于相似比
③相似多边形周长的比等于相似比，
④相似多边形面积的比等于相似比的平方，
故选D．
17．一个矩形的长为，宽为，如果把这个矩形截去一个最大的正方形后余下的矩形与原矩形相似，则，应满足的关系式为（ ）
A．a2+ab-b2=0 B．a2+ab+b2=0 C．a2-ab-b2=0 D．a2-ab+b2=0
【详解】由题意可得：，
∴a2-ab-b2=0，
故选C．
18．如图，将菱形ABCD沿BD方向平移得到菱形EFGH，若FD：：3，菱形ABCD与菱形EFGH的重叠部分面积记为，菱形ABCD的面积记为，则：的值为
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
【详解】解：如图设AD交EF于M，CD交FG于N．
由题意，重叠部分四边形MDNF是菱形，
菱形MFND∽菱形ABCD，
，
：：3，
：：4，
，
故选D．
19．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
【详解】解：根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可以先求出m=，m=不合题意，舍去，
所以==
故选：C
20．如图，把矩形中的边向上翻折到边上，当点与点重合时，折痕与边交于点，连接，若四边形与矩形恰好相似，若时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，，
解得x1=，x2=（不合题意舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故选A．
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