三角形判定一专题练习（SAS）
一、单选题
1．如图，已知∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD ＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：已知∠1=∠2，AB=BA，根据SAS判定定理可知需添加BD＝AC.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可知：∠1=∠2，AB=BA，然后找出∠1、∠2的另一组邻边，令其相等即可.
2．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（ ）
A．50° B．65° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】根据题意 （SAS），
∴
∵ ，
∴
∴
故答案为：A．
【分析】利用“SAS”证出三角形全等，得到，再利用三角形的外角得到∠BDM=∠A+∠C，再利用三角形的内角和求解即可。
3．如图， ， ，点D在AC边上， ，AE和BD相交于点O，若 ，则 为( )度.
A． , B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOE，
∴∠BEO=∠2，∵∠2=∠1，∴∠BEO=∠1，
∴∠BEO+∠OED=∠OED+∠1，
即∠AEC=∠BED，
∵AE=BE，
∴△AEC≌△BED，
∴∠BDE=∠C，DE=CE
∵∠1=40°
∴∠BDE=∠C=70°.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和三角形内角和定理可得∠BEO=∠2，由角的构成可得∠AEC=∠BED，然后用角边角可证△AEC≌△BED，根据全等三角形的对应角相等、对应边相等可得∠BDE=∠C，DE=CE，根据等边对等角得∠BDE=∠C可求解.
4．如图，∠1=∠2，AB=EB，CB=DB，则△ABD≌△EBC时，运用的判定定理是（）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EBD=∠2+∠EBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS）.
故答案为：D.
【分析】先由角的关系推得∠ABD=∠CBE，然后利用边角边定理即可证明△ABD≌△EBC.
5．如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在 和 中，
，
，
（或观察图形得到 ，
，
，
又 ，
．
故答案为：C．
【分析】先利用“SAS”证明，可得∠1=∠4，再结合∠3+∠4=90°，可得∠1+∠3=90°，再结合∠2=45°，可求出。
6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，
∴
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠A=∠B，再利用SAS证明△AMK≌△BKN，利用全等三角形的性质可证得∠AMK=∠BKN，再利用三角形的外角的性质可求出∠A的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠P的度数.
7．如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
8．如图， 和 均为等边三角形，且点E在 内， ，若 是不等边三角形，那么 的度数可能是（ ）
A．110 B．125 C．140 D．150
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴AB=CB，BE= BD，∠ABC=∠DBE=∠BED=∠BDE= 60°，
∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴∠AEB=∠CDB，
设∠AEB=∠CDB=x，
∴∠CDE=∠CDB-∠BDE=x-60°，
∴∠CED= 360°-∠AEB-∠BED-∠AEC= 360°-x-60° -110° = 190° -x，
∴∠DCE= 180°-(∠CDE+∠CED) = 50°，
∵△CDE是不等边三角形，
∴∠CDE≠∠CED≠∠DCE，
∴x- 60°≠190° -x≠50°，
解得x≠125°，x≠140°，x≠110° .
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质有关边和角相等，利用角的和差关系求出∠ABE=∠CBD，利用SAS证明证明△ABE≌△CBD，则可得出∠AEB=∠CDB，设∠AEB=∠CDB=x，然后把∠CDE、∠CED分别用含x的代数式表示，根据三角形内角和定理求出∠DCE的度数 ，然后根据不等边三角形的定义分析即可解答.
9．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为( )
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠DCA=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE，
∴∠BFH=∠ABF+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，
∴∠FBH=90°-∠BFH=30°，
∴BF=2FH=6，
∴BE=BF+EF=6+0.5=6.5，
∴AD=BE=6.5.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAE=∠DCA，然后利用SAS证明△ABE≌△CAD，得出BE=AD，∠CAD=∠ABE，然后利用三角形外角的性质求出∠BFH=60°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，然后利用全等三角形的性质即可得出AD的长 .
10．如图,在等腰△ABC中,AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论:①∠APO-∠OBD=30° ;②△BPO是正三角形;③AB-AP=AO;④ ，其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，
∴BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°.
∵OP=OB，
∴OP=OC，
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC=∠OCD+∠ACB=∠OCD+30°，即∠APO-∠OBD=30°，故①正确.
在△PBC中，∵∠CBP+∠BPC+∠BCP=180°，∠BCP=30°，
∴∠CBP+∠BPC=180°-30°=150°.
∵∠BPC=∠APO+∠OPB，
∴∠CBP+∠APO+∠OPB=150°.
由①知：∠APO=30°+∠BOD，
∴∠CBP+∠OBD+30°+∠OPB=150°.
∵∠CBP+∠OBD=∠OBP，
∴∠OBP+∠OPB=150°-30°=120°.
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=120°÷2=60°.
∵在△BPO中，∠OBP=∠OPB=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BPO为等边三角形，故②正确.
在AB上截取AE=AP，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAE=60°.
∵AE=AP，
∴△APE为等边三角形，
∴∠BPO=∠APE=60°,
∵∠BPO=∠BPE+∠EPO，∠APE=∠APO+∠BPO，
∴∠BPE=∠APO.
∵AP=AE，∠BPE=∠APO，BP=OP，
∴△EPB≌△APO（SAS），
∴BE=AO.
∵BE=AB-AE=AB-AP，
∴AB-AP=AO，故③正确.
延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，
∵PB=OB,∠PBA=∠OBF，AB=BF，
∴△APB≌△FOB（SAS），
∴S四边形AOBP=S△ABF，
要证S△ABF=2S△BOC，即证OD=AD，
而OD=AD无法证明，故④错误.
故答案为：C.
【分析】①由等腰三角形的性质结合已知条件可得：BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°，进一步推出∠OPC=∠OCP，然后根据角的和差关系判断即可；
②由三角形内角和定理可得∠CBP+∠BPC=150°，然后根据角的和差关系推出∠OBP+∠OPB=120°，根据等腰三角形的性质求出∠OBP=∠OPB=60°，据此判断即可；
③在AB上截取AE=AP，可推出△APE为等边三角形，进而证明△EPB≌△APO，然后根据全等三角形的性质以及线段和差关系判断即可；
④延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，证明△APB≌△FOB，则可得S四边形AOBP=S△ABF，然后判断出OD与AD的关系即可.
二、填空题
11．如图，AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，可添加条件 .（添加一个即可）
【答案】AB=AC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵AD=AD，
∴添加AB=AC后，根据SAS可判定△ABD≌△ACD.
故答案为：AB=AC.（答案不唯一）
【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠1=∠2，再根据AD是公共边，可添加角相等或边相等的条件，答案不唯一.
12．如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
【答案】80°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，
在△BAP和△ACQ中，
，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∴∠CAQ=∠ABP=20°，
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为：80°.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAP=∠ACQ=60°，然后利用SAS证明△BAP≌△ACQ，得出∠CAQ=∠ABP=20°，最后根据三角形外角的性质求∠AQB即可.
13．如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 ．
【答案】2＜CD＜7
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：已知等式整理得：（a2 10a＋25）＋（b2 18b＋81）＝0，
即（a 5）2＋（b 9）2＝0，
∵（a 5）2≥0，（b 9）2≥0，
∴a 5＝0，b 9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC BC＜2CD＜AC＋AE，即b a＜2CD＜a＋b，
∴＜CD＜，
则2＜CD＜7．
故答案为：2＜CD＜7．
【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a、b的值，利用三角形全等的性质证出△BCD≌△AED（SAS），得出AE＝BC＝a，即可求出CD的取值范围。
14．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
【答案】90
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
15．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝ 度.
【答案】30
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH.
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为30.
【分析】作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，根据等边三角形的性质和平行线的性质得出有关角或边相等，利用SAS证明△ABM≌△CHN，得出BM＝HN，根据两点之间线段最短得出B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，由△ABM≌△CHN，求出∠ABM=45°，然后由角的和差关系求出∠DBM＝15°，从而求出∠MBN的度数即可.
16．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是 .（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：取CD的中点G，连接CE、EG、AG，
∵点D是BC的中点，且DE＝DB，
∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形，
∵点CF、EG是等腰三角形△DEC两腰上的中线，
∴DG＝DF＝ ED＝ CD，
在△DEG和△DCF中， ，
∴CF＝EG，
∴AE＋CF= AE＋EG AG，
∴当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，
∵点D是BC的中点，点G是DC的中点，且BC=4，
∴BG=3，
又AB=3，且∠B=90°，
AG= .
故答案为： .
【分析】取CD的中点G，连接CE、EG、AG，由易得△DEC是等腰三角形，用边角边可证△DEG≌△DCF，则CF=EG，于是AE＋CF= AE＋EG AG，要使AE＋CF最小，只需当点A、E、G共线时，AE＋CF有最小值，最小值为线段AG的长，然后在直角三角形ABG中，用勾股定理可求解.
三、综合题
17．如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明： 平分 ，
，
在 和 中， ，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
在 中， .
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，根据SAS证明△ABE≌△DBE；
（2）利用三角形内角和求出∠ABC=30°，由角平分线的定义可得 ， 在 中，利用即可求解.
18．已知：如图，AB=AC, AD= AE,∠BAE=∠CAD, BD与CE相交于点F．
求证：
（1）∠B=∠C；
（2）FB=FC．
【答案】（1）：证明：∵∠BAE=∠CAD
即：
又∵AB=AC, AD= AE
∴
∴∠B=∠C
（2）证明：连接BC
∵AB=AC
∴
由（1）得到：
即：
∴FB=FC
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质进行作答即可。
19．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
【答案】（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°.
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 由∠ABD=∠CBE，利用等式的性质求出∠ABC=∠DBE，根据SAS证明△ABC≌△DBE；
（2）由△ABC≌△DBE得∠C=∠E，利用三角形外角的性质得∠DFB=∠C+∠CDE，∠DFB=∠E+∠CBE，从而得出∠CDE=∠CBE=20°.
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE.
（2）若∠DAE=∠B=28 °，求∠BAD的度数.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ABD和△ACE中，
∵，
∴ △ABD≌△ACE（SAS）.
（2）解：∵ △ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵ ∠DAE=∠B=28 °，
∴∠C=∠B=28°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴2∠BAD+∠DAE+∠B+∠C=180°，
∴∠BAD==53°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，然后根据SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAD=∠CAE，则可求出∠C的度数，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理和角的和差的关系求∠BAD即可.
21．如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根据0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
22．如图，已知四边形 ，连接 ，其中 ， ， ，延长 到点 ，得 ，点 为 上一点，连接 、 ， 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，试探究 、 的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接 ，若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
由（1）可得 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点F作FM⊥FA交AC于点M，如图2所示：
∵ ，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ .
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠CAD=∠ACB=90°，易求∠EAF=∠DAF，由SAS证明△EAF≌△DAF；
（2） ，理由：由全等三角形的性质可得， 由 可得 ，据此即得结论；
（3）过点F作FM⊥FA交AC于点M，如图2所示，利用ASA证明△ADF≌△MCF，可得FD=FC，从而得出△CDF是等腰直角三角形，从而得出结论.
23．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
（1）发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： ．
（2）尝试探究：
如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）拓展延伸：
如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．
【答案】（1）BD⊥CE（或“垂直”）；BC=CE+CD （或CE = BC –CD或CD = BC- CE）；
（2）解：BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BC＝CE﹣CD；BD⊥CE；
（3）解：DE＝13．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，即BD⊥CE．
∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
故答案为：BD⊥CE（或“垂直”），BC=CE+CD （或CE = BC –CD或CD = BC- CE）；
解：（3）如图3中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠EAC，
同理，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝5，∠ACE＝∠ABD＝135°，
∴CD＝BC+BD＝BC+CE＝12，
∵∠ACB＝45°
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝122+52＝132，
∴DE＝13．
【分析】（1）根据条件AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，判定△ABD≌△ACE，即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再Rt△DCE中，由勾股定理得到DE2＝DC2+CE2＝122+52＝132，即可解决问题。
24．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断 与 的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．
【答案】（1）解： 与 的位置关系是： ，数量关系是 ．
理由如下：
如图1，延长 交 于点 ．
于 ，
．
， ，
，
， ， ．
，
．
AE⊥BC
∴ ，
，
．
（2） 与 的位置关系是： ，数量关系是 ．
如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，
，
，
即 ．
， ，
，
， ．
AE⊥BC
∴ ，
又∵
，
．
（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，
和 是等边三角形，
， ， ， ，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
与 的夹角度数为 ．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先判断出 ，再判定 ，再判断 ．即可得出结论；
（2）先判断 ，再得出 ， ．推出 ，即可得出结论；
（3）先判断出 ，再判断出 ，最后计算即可。三角形判定一专题练习（SAS）
一、单选题
1．如图，已知∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（ ）
A．AD ＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝OB
2．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（ ）
A．50° B．65° C．70° D．80°
3．如图， ， ，点D在AC边上， ，AE和BD相交于点O，若 ，则 为( )度.
A． , B． C． D．
4．如图，∠1=∠2，AB=EB，CB=DB，则△ABD≌△EBC时，运用的判定定理是（）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
5．如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
7．如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．如图， 和 均为等边三角形，且点E在 内， ，若 是不等边三角形，那么 的度数可能是（ ）
A．110 B．125 C．140 D．150
9．如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD、BE相交于F， BH⊥AD于H点，FH=3，EF=0.5，则AD的长为( )
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
10．如图,在等腰△ABC中,AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论:①∠APO-∠OBD=30° ;②△BPO是正三角形;③AB-AP=AO;④ ，其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，可添加条件 .（添加一个即可）
12．如图，△ABC是等边三角形.在AC，BC边上各取一点P，Q，使 AP=CQ，且∠ABP=20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB= .
13．如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 ．
14．如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
15．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝ 度.
16．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点E是△ABC内一点，点D是BC的中点，连接DE、AE，且DE＝DB，点F是DE的中点，则AE＋CF的最小值是 .（提示：连接CE，等腰三角形两腰上的中线相等）
三、综合题
17．如图，在 中，D是 边上的一点， ， 平分 ，交 边于点E，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数.
18．已知：如图，AB=AC, AD= AE,∠BAE=∠CAD, BD与CE相交于点F．
求证：
（1）∠B=∠C；
（2）FB=FC．
19．如图，点D在AC上，BC，DE交于点F， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求∠CDE的度数.
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，BD=CE.
（1）求证：△ABD≌△ACE.
（2）若∠DAE=∠B=28 °，求∠BAD的度数.
21．如图， 和 中， ， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在 异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
22．如图，已知四边形 ，连接 ，其中 ， ， ，延长 到点 ，得 ，点 为 上一点，连接 、 ， 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，试探究 、 的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接 ，若 ，求 的度数.
23．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
（1）发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： ．
（2）尝试探究：
如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
（3）拓展延伸：
如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．
24．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断 与 的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．
