2022-2023学年浙教版九年级数学上册1.2 二次函数的图像（1-3）提升训练（word版 含答案）

浙教版-9年级-上册-数学-第1章《二次函数》
1.2 二次函数的图像（1）二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及特征
【知识点-部分】
一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
1、二次函数y=ax2(a≠0)的图象
1、用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
2、因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
2、二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
1、用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确。
要点诠释：1、二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象。
2、画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点。
3、二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
1、二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时， y随x增大而增大； x<0时， y随x增大而减小 当x=0时， y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时， y随x增大而减小； x<0时， y随x增大而增大. 当x=0时， y最大=0
要点诠释：
1、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完
全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同。
2、│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴。
1.2 二次函数的图像（2）二次函数y＝a(x-h)2+k(a≠0)的图象及特征
【知识点-部分】
要点一、函数与函数的图象与性质
1、函数的图象与性质
2、函数的图象与性质
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质。运用数形结合、函数、方程思想解决问题。
要点二、二次函数的平移
1、平移步骤：（1）将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
（2）保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2、平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点诠释：（1）沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）；
（2）沿x轴平移：向左（右）平移个单位，
变成（或）。
1.2 二次函数的图像（3）二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象及特征
【知识点-部分】
一、二次函数与之间的相互关系
1、顶点式化成一般式
1、从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称
为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式。
2、一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是。
要点诠释：
1、抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，
可以当作公式加以记忆和运用。
2、求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，
这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用。
二、二次函数的图象的画法
1、一般方法：列表、描点、连线；
2、简易画法：五点定形法：
1、其步骤为：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
（2）求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的
对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来。
要点诠释：
1、当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略
地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲
线连结五点，画出二次函数的图象。
三、二次函数的图象与性质
1、二次函数图象与性质
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2、二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
四、求二次函数的最大（小）值的方法
1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，
即当时，。
要点诠释：1、如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；
当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，
则当x＝x1时，；当x＝x2时，，
如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况。
【典型例题-精选部分】
1、函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
2、已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
3、函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．5a+3b＜1
4、小明将图中两水平线l1与l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两铅垂线l3与l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数y＝﹣x2﹣2x+1的图象，则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是（　　）
A．l1为x轴，l3为y轴 B．l1为x轴，l4为y轴 C．l2为x轴，l3为y轴 D．l2为x轴，l4为y轴
5、将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到如图抛物线y2的图象，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝　 　．
5、如图，抛物线C1是二次函数y＝x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；交x轴于点A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…
（1）抛物线C3与x轴的交点A3的坐标是多少？抛物线 n与x轴的交点An的坐标是多少？
（2）若某段抛物线上有一点P（2016，a），试求a的值．
6、定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．
（1）函数y1＝x+b与y2＝是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．
7、规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；
① 求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；
② 若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，
抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P的坐标．
8、如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的　 　倍，横坐标不变，得到函数y＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的　 　倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数　 　的图象；
（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点　 　．
A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥
（3）函数y＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y＝﹣的图象？（写出一种即可）
9、数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．
图①是二次函数y＝（x﹣a）2+（a为常数）当a＝﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！
（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为　 　；
（2）如图②，当a＝0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．
10、小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y1＝x2﹣x+n与y2＝﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；
（3）已知函数y＝（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．
11、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
① 求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
12、设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）正比例函数y＝x是闭区间[1，2021]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y＝kx+3（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y＝（x﹣h）2+k是闭区间[2，3]上的“闭函数”，求实数h，k的值．
13、定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值互为相反数：当x＜0时，它们对应的函数值相等，我们称这两个函数互为相关函数，例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y＝
．
（1）已知点A（﹣1，3）在一次函数y＝ax﹣2的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣3．
① 当点B（m，﹣4）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
② 当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值和最小值．
14、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1，① 求抛物线顶点坐标；② 若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是 　 　．
【参考答案】
1、函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、从y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y＝mx+n的图象可知：m＞0，n＞0，故两者不符合；故本选项不符合题意；
B、从y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y＝mx+n的图象可知：m＞0，n＞0，故两者不符合；故本选项不符合题意；
C、从y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y＝mx+n的图象可知：m＜0，n＞0，故本选项符合题意；
D、从y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象可知：m＜0，n＞0，
从一次函数y＝mx+n的图象可知：m＜0，n＜0；故本选项不符合题意；故选：C．
2、已知等腰直角△ABC的斜边AB＝4，正方形DEFG的边长为，把△ABC和正方形DEFG如图放置，点B与点E重合，边AB与EF在同一条直线上，将△ABC沿AB方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点A与点E重合时停止移动．在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间t（s）的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
【解答】解：① 当0＜t≤1时，S＝＝t2，函数为开口方向向上的抛物线；
② 当1＜t≤2时，如图2，设BC交FG于H，则FH＝BF＝，则GH＝﹣BF＝，
S＝S正方形DEFG﹣S△HMG＝﹣＝﹣t2+4t﹣2，函数为开口方向向下的抛物线；
③ 当2＜t≤3时，S＝2；
④ 当3＜t≤4时，同理可得S＝＝﹣t2+6t﹣7，函数为开口方向向下的抛物线；
故只有选项C符合题意．故选：C．
3、函数y＝|ax2+bx|（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．方程|ax2+bx|＝k有四个不等的实数根 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．5a+3b＜1
【解答】解：由图象可得|ax2+bx|＝k有无实数根与k的大小有关，实数根可能有0个，2个，3个，4个．
∴选项A错误，不符合题意．∵x＝1时，y＜1，∴|a+b|＜1，∴﹣1＜a+b＜1，∴选项B错误，不符合题意．
∵图象对称轴为直线x＝﹣，且0＜﹣＜1，a＜0，∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，∴选项C错误，不符合题意．
由图象可得0＜x≤1时，y＝ax2+bx，x≥2时，y＝﹣ax2﹣bx，∴x＝1时，a+b＜1①，x＝2时，﹣4a﹣2b＞0②，
由①﹣②得5a+3b＜1，∴选项D正确，符合题意．故选：D．
4、小明将图中两水平线l1与l2的其中一条当成x轴，且向右为正方向；两铅垂线l3与l4的其中一条当成y轴，且向上为正方向，并且在此平面直角坐标系上画出二次函数y＝﹣x2﹣2x+1的图象，则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是（　　）
A．l1为x轴，l3为y轴 B．l1为x轴，l4为y轴 C．l2为x轴，l3为y轴 D．l2为x轴，l4为y轴
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2，故抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，顶点坐标为：（﹣1，2），
则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是：l2为x轴，l4为y轴．故选：D．
5、将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到如图抛物线y2的图象，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝　 　．
【解答】解：∵抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，∴抛物线y2的函数解析式为y＝2（x﹣2）2＝2x2﹣8x+8，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，∵直线x＝t与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2﹣8t+8），∴AB＝|2t2﹣8t+8﹣t|＝|2t2﹣9t+8|，AP＝|t﹣2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，∴|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2①或2t2﹣9t+8＝﹣（t﹣2）②，整理①得，t2﹣5t+5＝0，解得t1＝，t2＝，
整理②得，t2﹣4t+3＝0，解得t1＝1，t2＝3，综上所述，满足条件的t值为：1或3或或．
故答案为：1或3或或．
5、如图，抛物线C1是二次函数y＝x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；交x轴于点A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…
（1）抛物线C3与x轴的交点A3的坐标是多少？抛物线 n与x轴的交点An的坐标是多少？
（2）若某段抛物线上有一点P（2016，a），试求a的值．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣10x＝0，解得x1＝0，x2＝10，则A1（10，0），OA1＝10，因为OA2＝2OA1＝20，
OA3＝3OA1＝30，同理可得OAn＝nOA1＝10n，所以A3的坐标为（30，0），抛物线 n与x轴的交点An的坐标为（10n，0）；
（2）因为2016＝201×10+16，所以点P（2016，a）在抛物线C202上，而抛物线C202与x轴的交点坐标为（2010，0），
（2020，0），抛物线开口向下，所以抛物线C202的解析式为y＝﹣（x﹣2010）（x﹣2020），
把点P（2016，a）代入得a＝﹣6×（﹣4）＝24，即a的值为24．
6、定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．
（1）函数y1＝x+b与y2＝是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由y1＝y2得x+b＝，整理得x2+2bx﹣6＝0，Δ＝4b2+24＞0，
∴函数y1＝x+b与y2＝互为“等值函数”，当b＝1时，x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣是y1＝x+b与y2＝的“等值根”．
（2）如图，当直线y＝x+b与抛物线y＝x2+2x相切时，方程x+b＝x2+2x中Δ＝（）2+4b＝0，
∴b＝﹣，∴b＜﹣满足题意，抛物线y＝x2+2x与x轴交点坐标为（0，0），（﹣2，0），
当直线经过（0，0）时，b＝0，当直线经过（﹣2，0）时，0＝﹣1+b，解得b＝1，
∴当0＜b＜1时满足题意．综上所述，0＜b＜1或b＜﹣．
7、规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；
① 求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；
② 若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，
抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）设对称函数上任意一点P（x，y），则P（x，y）点关于y＝﹣x的对称点P'（﹣y，﹣x），
∵点P'在函数y＝﹣2x+3的图象上，∴﹣x＝2y+3，∴y＝﹣x﹣；
（2）① 设对称函数图象C2的图象上任意一点P（x，y），
则P（x，y）点关于点R（1，0）的对称点P'（2﹣x，﹣y），
∵点P'（2﹣x，﹣y）在函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1上，
∴﹣y＝a（2﹣x）2+4a（2﹣x）+4a﹣1，∴y＝﹣ax2+8ax﹣16a+1；
② 令x＝0，则A（0，4a﹣1），B（0，﹣16a+1），∴AB＝|4a﹣1+16a﹣1|＝|20a﹣2|，
∵AB＝16，∴20a﹣2＝16或20a﹣2＝﹣16，∴a＝或a＝﹣；
（3）设对称函数图象的图象上任意一点P（x，y），则P（x，y）点关于原点的对称点P'（﹣x，﹣y），
∵点P'在函数y＝﹣2x﹣3的图象上，∴﹣y＝2x﹣3，∴y＝﹣2x+3，∴P（x，﹣2x+3），
∵y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）＝m（x2+x﹣2）﹣x+，
当x2+x﹣2＝0时，x＝1或x＝﹣2时，抛物线不论m取何值，都经过定点（1，﹣），（﹣2，），
∵不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，∴P（1，1）或P（﹣2，7），
∴符合条件的点P的坐标为（1，1）或（﹣2，7）．
8、如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的　 　倍，横坐标不变，得到函数y＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的　 　倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数　 　的图象；
（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点　 　．
A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥
（3）函数y＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y＝﹣的图象？（写出一种即可）
【解答】解：（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，
设y′＝6y，x′＝x，将y＝，x＝x′代入xy＝1可得y′＝，得到函数y＝的图象；
也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，
设y′＝y，x′＝6x，将y＝y′，x＝代入xy＝1可得y′＝，得到函数y＝的图象；
（2）（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y＝4x2的图象；y＝4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2的图象；y＝4（x﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2﹣2的图象．
（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y＝﹣x2﹣2的图象，再把y＝﹣x2﹣2的图象向右平移个单位长度，得到y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象；最后把y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象，即y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象．
（3）∵y＝﹣＝＝﹣1，∴函数y＝的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到y＝；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y＝﹣的图象．
故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y＝4（x﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D．
9、数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．
图①是二次函数y＝（x﹣a）2+（a为常数）当a＝﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！
（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为　 　；
（2）如图②，当a＝0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．
【解答】解：（1）∵当a＝﹣1时，抛物线的顶点为（﹣1，﹣），当a＝0时，抛物线的顶点为（0，0），
∴设直线为y＝kx，代入（﹣1，﹣）得，﹣＝﹣k，解得k＝，
∴“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y＝x，故答案为y＝x．
（2）由题意得：点P1的纵坐标为5或﹣5，∴抛物线沿着直线向上平移了1个单位或向下平移了9个单位，
∴此时点O1的纵坐标为1或﹣9，代入直线y＝x求得横坐标为3或﹣27，∴点O1的坐标为 （ 3，1）或 （﹣27，﹣9），∴平移后的二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2+1或y＝（x+27）2﹣9．
10、小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y1＝x2﹣x+n与y2＝﹣x2+mx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2016的值；
（3）已知函数y＝（x﹣1）（x+4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．
【解答】解：（1）∵a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，∴﹣1+a2＝0，b2＝3，﹣2+c2＝0，
∴a2＝1，b2＝3，c2＝2，∴函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y＝x2+3x+2；
（2）解：根据题意得﹣＝m，﹣3+n＝0，解得m＝﹣4，n＝3，∴（m+n）2016＝（﹣4+3）2016＝1；
（3）证明：当x＝0时，y＝（x﹣1）（x+4）＝﹣2，则C（0，﹣2），
当y＝0时，（x﹣1）（x+4）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4，则A（1，0），B（﹣4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（4，0），C1（0，2），
设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a2（x+1）（x﹣4），把C1（0，2）代入得a2 1 （﹣4）＝2，
解得a2＝﹣，∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2，
而y＝（x﹣1）（x+4）＝x2+x﹣2，∴a1+a2＝+（﹣）＝0，b1＝b2＝，c1+c2＝﹣2+2＝0，
∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣1）（x+4）互为“旋转函数”．
11、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过点P（1，1），求b+2c的值；
（2）当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3．
① 求抛物线的解析式；
②直线y＝kx（k≠1）与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，连接CD，当＝时，求k的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（﹣1，m），B（3，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1．∴＝1．∴a＝﹣b，∵抛物线经过点P（1，1），
∴a+b+c＝1．∴﹣b+b+c＝1．∴b+c＝1．∴b+2c＝2；
（2）① 当m＝0时，点A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＞0，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．∵当m＝0，且﹣1≤x≤0时，y的最小值为﹣3，
∴当x＝0时，y的最小值为﹣3，∴抛物线经过点（0，﹣3）．∴，解得：．
∴ 抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
② ∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣3）．设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．∵＝，∴＝．∴点E与点D的横坐标的比为3：5，
设点D栋横坐标为5m，则点E的横坐标为3m，∵点E在直线BC上，∴E（3m，3m﹣3）．∴3mk＝3m﹣3．
∴k＝．∴直线y＝kx是解析式为y＝x．∴D（5m，5m﹣5）．∵点D在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴25m2﹣10m﹣3＝5m﹣5．解得：m＝﹣或m＝．∴k＝6或﹣．
12、设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）正比例函数y＝x是闭区间[1，2021]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y＝kx+3（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y＝（x﹣h）2+k是闭区间[2，3]上的“闭函数”，求实数h，k的值．
【解答】解：（1）正比例函数y＝x是闭区间[1，2021]上的“闭函数”．理由如下：
∵1＞0，∴y随x的增大而增大，
∵当x＝1时，y＝x＝1；当x＝2021时，y＝x＝2021，∴当1≤x≤2021时，有1≤y≤2021，
∴正比例函数y＝x是闭区间[1，2021]上的“闭函数”；
（2）∵一次函数y＝kx+3（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
∴当k＞0时，，解得k＝1，此时方程组为不成立，
∴这种情况不存在，
当k＜0时，，解得k＝﹣1，经检验，k＝﹣1方程组成立，∴函数的解析式为：y＝﹣x+3
（3）∵二次函数y＝（x﹣h）2+k是闭区间[2，3]上的“闭函数”，
∴当h＜2时，可得：，解得：，
当2≤h＜2.5时，可得；，解得：（不符合题意，舍去），
当2.5≤h＜3时，可得：，解得：（不符合题意，舍去），
当h≥3时，可得，，解得：，综上所述：h＝0，k＝或h＝5，k＝．
13、定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值互为相反数：当x＜0时，它们对应的函数值相等，我们称这两个函数互为相关函数，例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y＝
．
（1）已知点A（﹣1，3）在一次函数y＝ax﹣2的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣3．
① 当点B（m，﹣4）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
② 当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值和最小值．
【解答】解：（1）根据题意，一次函数y＝ax﹣2的相关函数为y＝，
∴ 把点A（﹣1，3）代入y＝ax﹣2，则a×（﹣1）﹣2＝3，∴ a＝﹣5；
（2）根据题意，二次函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数为y＝，
① 当m＜0时，将B（m，﹣4）代入y＝﹣2x2+8x﹣3得﹣2m2+8m﹣3＝﹣4，
解得：m＝（舍去）或m＝，
当m≥0时，将B（m，﹣4）代入y＝2x2﹣8x+3得2m2﹣8m+3＝﹣4，解得：m＝或m＝，
综上所述：m＝或m＝或m＝；
② 当﹣2≤x＜0时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝﹣2x2+8x﹣3，抛物线的对称轴为直线x＝2，
此时y随x的增大而增大，∴当x＝﹣2时，有最小值，最小值为y＝﹣2×（﹣2）2+8×（﹣2）﹣3＝﹣27，
∴此时y的最小值为﹣27，
当0≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝2x2﹣8x+3，抛物线y＝2x2﹣8x+3的对称轴为x＝2，
当x＝2时有最小值，最小值为﹣5，当x＝0时，有最大值，最大值为y＝3，
综上所述，当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值为3，最小值为﹣27．
14、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1，① 求抛物线顶点坐标；② 若2x2﹣x1＝7，求m的值；
（2）若存在实数b，使得x1≤b﹣3，且x2≥b+7成立，则m的取值范围是 　 　．
【解答】解：（1）① 把a＝1代入y＝x2﹣2ax+a2﹣1得y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（1，1）．
② ∵点P，Q关于抛物线对称轴对称，且x1，x2为（x﹣1）2﹣1＝m的根，
∴x1＝1﹣，x2＝1+，∴2x2﹣x1＝1+3＝7，解得m＝3．
（2）解方程x2﹣2ax+a2﹣1＝m得x1＝a﹣，x2＝a+，∴PQ＝x2﹣x1＝2，
∴2≥（b+7）﹣（b﹣3），∴m≥24．故答案为：m≥24．