初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理（1）同步练习
一、单选题
1．等边三角形的一个角是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2020八下·甘州期中）已知一个等腰三角形的底角为 ，则这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·灯塔月考）在△ABC中，AB=AC，∠C=75°， 则∠A的度数是（ ）
A．30° B．50° C．75° D．150°
4．（2019八上·恩施期中）如右上图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠AMB的度数为（ ）
A．144° B．120° C．108° D．100°
5．（2020八上·拱墅期末）若等腰三角形的顶角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
6．（2020八上·常德期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
7．（2019八上·丹徒月考）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，且AB=BD，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
8．（2020八上·徐州期末）在等腰三角形ABC中，∠A=80°.则∠B的度数不可能为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
9．（2019八上·海安月考）如图，在 中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB、AC于点D和E， =50°， =60°，则 为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．35°
10．（2019八上·安阳期中）已知一个等腰三角形内角的度数之比为1：4，则它的顶角的度数为（ ）
A．20° B．36° C．120° D．20°或120°
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角的度数为 .
12．（2020八上·奉化期末）若等腰三角形的顶角为α，则一腰上的高线与另一腰的夹角是 (用α的代数式表示)
13．（2019八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= .
14．（2020七下·南京期中）如图，已知 ，点 是射线 上的一个动点，在点 的运动过程中， 恰好是等腰三角形，则此时 所有可能的度数为 .
15．（2019八下·合浦期中）如图， 为等腰直角三角形， ， 为等边三角形，则 .
三、解答题
16．（2018八上·东台月考）已知如图，四边形 中， ， ，求证： .
17．（2019八上·长兴期末）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰△ABC中，∠A=100°，求∠B的度数．(答案：40°)
例2：等腰△ABC中，∠A=50°，求∠B的度数．(答案：50°或65°或80°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰△ABC中，∠A=70°，求∠B的度数．
（1）请你解答小敏编的变式题：
（2）解第(1)小题后小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】等边三角形三个角相等，且和为180°，所以每一个内角是60°，
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得到三个角相等，又三角形内角和是180°，求出等边三角形的每一个角的度数.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等腰三角形的底角为
∴这个三角形的顶角为
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和解答即可.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠B=75°，
∴∠A=180°-∠C-∠B
=180°-75°-75°
=30°.
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角得出∠C=∠B=75°，进而根据三角形的内角和即可算出∠A的度数.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A＝36°，∠ACM＝∠AMC，
∴∠AMC＝ ＝72°，
∴∠AMB＝180° 72°＝108°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和得出∠AMC＝ ＝72°，进而根据邻补角的定义即可求出∠AMB的度数.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 底角度数= .
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角之和等于180°，结合等腰三角形的性质即可求解.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°．
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∵BD⊥AB，且AB=BD
∴∠CBD=∠ABC＋∠ABD=150°，BC=BD
∴∠BCD=∠BDC= （180°－∠CBD）=15°
∴∠ACD=∠ACB－∠BCD=45°
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得：BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，从而求出∠CBD的度数，然后根据已知条件可得：BC=BD，根据等边对等角和三角形的内角和即可求出∠BCD，从而求出∠ACD的度数.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当∠A为顶角时,则底角为 ;
当∠A为底角时,∠B为底角则∠B为80°;若∠B为顶角,则为 .
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当∠A为顶角时；当∠A为底角时；若∠B为顶角，利用三角形的内角和定理，分别求出∠B的度数即可。
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵ =50°， =60°，
∴∠ABC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠ABC=∠EBC+∠ABE=∠EBC+∠A
∴ =∠ABC-∠A=70°-50°=20°，
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形的内角和定理以及外角的性质即可求解.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.
故答案为：D.
【分析】根据题意设两内角的度数为x、4x，再分情况讨论：当等腰三角形的顶角为x时；当等腰三角形的顶角为4x时，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
11．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
12．【答案】90-α或者α-90
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当α是锐角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是90°-α；
②当α是钝角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是α-90°；
③当α是直角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是0°，即重合.
综上所述，等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是90°-α或α-90°.
故答案为：90-α或者α-90°.
【分析】分三种情况讨论即可.本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论的思想的应用，注意这几种情况要考虑全面.
13．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110 ，
∴∠ACB=180 -110 =70 ；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70 ；
∴∠A=∠ACD-∠B=110 -70 =40 .
故答案为：40 .
【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB=70°，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
14．【答案】30或75或120
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）若 和 是底角，则有 ；（2）若 和 是底角，则有 ; （3） 是顶角，则有 ；
故答案为：30或75或120.
【分析】分三种情况： 和 是底角； 和 是底角; 是顶角，分别进行讨论即可.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BA=BD，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴BD=BC，∠CBD=30°，
∴∠BDC=∠BCD= （180°-30°）=75°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°，
故答案为135.
【分析】利用等腰三角形的性质分别求出∠ADB，∠BDC即可解决问题.
16．【答案】解：连接 ，
∵AB=AC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
即 .
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】 连接 ， 根据等边对等角得出 ∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， 根据等式的性质将两个等式直接相加即可得出结论。
17．【答案】（1）解： ∵△ABC为等腰三角形，
①若∠A=∠B，
∵∠A=70°，
∴∠B=70°；
②若∠A=∠C，
∵∠A=70°，
∴∠C=70°；
∴∠B=180°-70°-70°=40°；
③若∠B=∠C，
∵∠A=70°，
∴∠B=×（180°-70）=55°；
综上所述： ∠B的度数为：70°或40°或55°.
（2）解： 当0＜x＜90°时，
①若∠A=∠B，
∵∠A=x°，
∴∠B=x°；
②若∠A=∠C，
∵∠A=x°，
∴∠C=x°；
∴∠B=180°-x°-x°=180°-2x°；
③若∠C=∠B，
∵∠A=x°，
∴∠B=×（180°-x）；
当×（180°-x）≠180°-2x°且180°-2x°≠x且×（180°-x）≠x；
即x≠60°时，∠B有三个不同的度数；
当90°≤x＜180°时，
∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
综上所述：当0＜x＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1） 根据等腰三角形的性质分情况讨论：①若∠A=∠B，②若∠A=∠C，③若∠B=∠C，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别计算即可得出答案.
（2）当0＜x＜90°时，根据等腰三角形的性质分情况讨论：①若∠A=∠B，②若∠A=∠C，③若∠C=∠B，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别计算即可得出答案；当×（180°-x）≠180°-2x°且180°-2x°≠x且×（180°-x）≠x；即x≠60°时，∠B有三个不同的度数；当90°≤x＜180°时，此时∠B的度数只有一个.
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理（1）同步练习
一、单选题
1．等边三角形的一个角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】等边三角形三个角相等，且和为180°，所以每一个内角是60°，
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得到三个角相等，又三角形内角和是180°，求出等边三角形的每一个角的度数.
2．（2020八下·甘州期中）已知一个等腰三角形的底角为 ，则这个三角形的顶角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵等腰三角形的底角为
∴这个三角形的顶角为
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和解答即可.
3．（2020八下·灯塔月考）在△ABC中，AB=AC，∠C=75°， 则∠A的度数是（ ）
A．30° B．50° C．75° D．150°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠C=∠B=75°，
∴∠A=180°-∠C-∠B
=180°-75°-75°
=30°.
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角得出∠C=∠B=75°，进而根据三角形的内角和即可算出∠A的度数.
4．（2019八上·恩施期中）如右上图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠AMB的度数为（ ）
A．144° B．120° C．108° D．100°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A＝36°，∠ACM＝∠AMC，
∴∠AMC＝ ＝72°，
∴∠AMB＝180° 72°＝108°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和得出∠AMC＝ ＝72°，进而根据邻补角的定义即可求出∠AMB的度数.
5．（2020八上·拱墅期末）若等腰三角形的顶角为50°，则这个等腰三角形的底角度数为（ ）
A．50° B．65° C．80° D．130°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： 底角度数= .
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角之和等于180°，结合等腰三角形的性质即可求解.
6．（2020八上·常德期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°-∠ADC）÷2=（180°-110°）÷2=35°．
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
7．（2019八上·丹徒月考）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，且AB=BD，则∠ACD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∵BD⊥AB，且AB=BD
∴∠CBD=∠ABC＋∠ABD=150°，BC=BD
∴∠BCD=∠BDC= （180°－∠CBD）=15°
∴∠ACD=∠ACB－∠BCD=45°
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质可得：BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，从而求出∠CBD的度数，然后根据已知条件可得：BC=BD，根据等边对等角和三角形的内角和即可求出∠BCD，从而求出∠ACD的度数.
8．（2020八上·徐州期末）在等腰三角形ABC中，∠A=80°.则∠B的度数不可能为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当∠A为顶角时,则底角为 ;
当∠A为底角时,∠B为底角则∠B为80°;若∠B为顶角,则为 .
故答案为：B.
【分析】分情况讨论：当∠A为顶角时；当∠A为底角时；若∠B为顶角，利用三角形的内角和定理，分别求出∠B的度数即可。
9．（2019八上·海安月考）如图，在 中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB、AC于点D和E， =50°， =60°，则 为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．35°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵ =50°， =60°，
∴∠ABC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠ABC=∠EBC+∠ABE=∠EBC+∠A
∴ =∠ABC-∠A=70°-50°=20°，
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形的内角和定理以及外角的性质即可求解.
10．（2019八上·安阳期中）已知一个等腰三角形内角的度数之比为1：4，则它的顶角的度数为（ ）
A．20° B．36° C．120° D．20°或120°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.
故答案为：D.
【分析】根据题意设两内角的度数为x、4x，再分情况讨论：当等腰三角形的顶角为x时；当等腰三角形的顶角为4x时，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
二、填空题
11．（2020八下·北京期中）等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角的度数为 .
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
12．（2020八上·奉化期末）若等腰三角形的顶角为α，则一腰上的高线与另一腰的夹角是 (用α的代数式表示)
【答案】90-α或者α-90
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当α是锐角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是90°-α；
②当α是钝角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是α-90°；
③当α是直角时，一腰上的高线与另一腰的夹角是0°，即重合.
综上所述，等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是90°-α或α-90°.
故答案为：90-α或者α-90°.
【分析】分三种情况讨论即可.本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论的思想的应用，注意这几种情况要考虑全面.
13．（2019八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= .
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110 ，
∴∠ACB=180 -110 =70 ；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70 ；
∴∠A=∠ACD-∠B=110 -70 =40 .
故答案为：40 .
【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB=70°，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
14．（2020七下·南京期中）如图，已知 ，点 是射线 上的一个动点，在点 的运动过程中， 恰好是等腰三角形，则此时 所有可能的度数为 .
【答案】30或75或120
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）若 和 是底角，则有 ；（2）若 和 是底角，则有 ; （3） 是顶角，则有 ；
故答案为：30或75或120.
【分析】分三种情况： 和 是底角； 和 是底角; 是顶角，分别进行讨论即可.
15．（2019八下·合浦期中）如图， 为等腰直角三角形， ， 为等边三角形，则 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BA=BD，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴BD=BC，∠CBD=30°，
∴∠BDC=∠BCD= （180°-30°）=75°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°，
故答案为135.
【分析】利用等腰三角形的性质分别求出∠ADB，∠BDC即可解决问题.
三、解答题
16．（2018八上·东台月考）已知如图，四边形 中， ， ，求证： .
【答案】解：连接 ，
∵AB=AC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
即 .
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】 连接 ， 根据等边对等角得出 ∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， 根据等式的性质将两个等式直接相加即可得出结论。
17．（2019八上·长兴期末）数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰△ABC中，∠A=100°，求∠B的度数．(答案：40°)
例2：等腰△ABC中，∠A=50°，求∠B的度数．(答案：50°或65°或80°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰△ABC中，∠A=70°，求∠B的度数．
（1）请你解答小敏编的变式题：
（2）解第(1)小题后小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【答案】（1）解： ∵△ABC为等腰三角形，
①若∠A=∠B，
∵∠A=70°，
∴∠B=70°；
②若∠A=∠C，
∵∠A=70°，
∴∠C=70°；
∴∠B=180°-70°-70°=40°；
③若∠B=∠C，
∵∠A=70°，
∴∠B=×（180°-70）=55°；
综上所述： ∠B的度数为：70°或40°或55°.
（2）解： 当0＜x＜90°时，
①若∠A=∠B，
∵∠A=x°，
∴∠B=x°；
②若∠A=∠C，
∵∠A=x°，
∴∠C=x°；
∴∠B=180°-x°-x°=180°-2x°；
③若∠C=∠B，
∵∠A=x°，
∴∠B=×（180°-x）；
当×（180°-x）≠180°-2x°且180°-2x°≠x且×（180°-x）≠x；
即x≠60°时，∠B有三个不同的度数；
当90°≤x＜180°时，
∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
综上所述：当0＜x＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1） 根据等腰三角形的性质分情况讨论：①若∠A=∠B，②若∠A=∠C，③若∠B=∠C，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别计算即可得出答案.
（2）当0＜x＜90°时，根据等腰三角形的性质分情况讨论：①若∠A=∠B，②若∠A=∠C，③若∠C=∠B，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别计算即可得出答案；当×（180°-x）≠180°-2x°且180°-2x°≠x且×（180°-x）≠x；即x≠60°时，∠B有三个不同的度数；当90°≤x＜180°时，此时∠B的度数只有一个.
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