三角形判定一专题练习（AAS）
一、单选题
1．如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是
A．AAS B．HL C．SSS D．SAS
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去
3．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
4．如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面， ．垂足分别为D，E．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，以线段 为边在第一象限内作等腰 ， ，则过 、 两点直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．在直线l上依次摆放着七个正方形．如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3．正放置的四个正方形的面积依次是 ， ， ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C的坐标为（ ，1），则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， 是 边上的高， ， ， .连接 ，交 的延长线于点E，连接 ， .则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题
11．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=，AB=.若点A坐标为（1，2），则点B的坐标为 .
13．如图， ， ， ， ，垂足分别是点 、 ， ， ，则 的长是 .
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别是D，E.AD，CE交于点H，已知AE＝CE＝5，CH＝2，则BE＝ .
15．如图，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，点D、E、F、C在同一条直线上，对于下列四个结论：① ABD≌ ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④ BCE≌ BAD.其中正确结论的序号是 .
16．如图所示，长方形 中， ， ， ，点 为 上的任意一点（可与 、 重合），分别过 、 、 作射线 的垂线，垂足分别为 、 、 ，则 的最小值为 .
三、综合题
17．已知：如图，，相交于点O，，.
求证：
（1）
（2）.
18．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（1）求证：△ADE≌△CFE.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
19．如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．
（1）求证：∠BDC=90°+；
（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．
20．如图1，已知中，90°，，直线m经过点直线m，直线m，垂足分别为点.求证：.
如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线m上，并且有.请写出三条线段的数量关系，并说明理由.
21．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F.
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）求证：DG＝AE；
（3）猜想线段AF、BC的数量关系是 ▲ ，请说明理由.
22．如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.
（1）如图1，若A、B两点的坐标分别是A（0，4），B（﹣2，0），求C点的坐标；
（2）如图2作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证： BD ＝2CE
24．在学习完第十二章后，刘老师让同学们独立完成识本56页第9题：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意纯角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．三角形判定一专题练习（AAS）
一、单选题
1．如图AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，则判断△ABE≌△ACD的方法是
A．AAS B．HL C．SSS D．SAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠AEB=∠ADC=90°，∠BAE=∠CAD，AB=AC
∴△ABE≌△ACD.
故答案为：A.
【分析】图形中△ABE≌△ACD有一个公共角∠BAE=∠CAD，结合已知条件利用AAS可证得结论.
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃块打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，第二块只保留了三角形的部分边，根据三角形全等的判定定理，这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，故应带③去.
故答案为：C.
【分析】观察图形可知利用ASA，可得答案.
3．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴ ，
∵∠ACE＝90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得 ， ，最后利用计算即可。
4．如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面， ．垂足分别为D，E．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵△ACB是等腰直角三角形，直角顶点为C，
∴AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=DC+CE=AD+CD=CE+BE=AD+BE，
故答案为：A．
【分析】先利用“AAS”证明△DAC≌△ECB，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
5．如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，以线段 为边在第一象限内作等腰 ， ，则过 、 两点直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 、 ，
∴A(4，0)，B(0，3)，
∴OB=3，OA=4，
过点C做CD⊥x轴于点D，
∵在等腰 中， ，
∴∠OAB+∠CAD=∠OAB+∠ABO，即：∠CAD=∠ABO，
∵AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴ AOB CDA（AAS），
∴CD=AO=4，AD=BO=3，
∴C(7，4)，
设直线 的解析式为：y=kx+b，
把B(0，3)，C(7，4)，代入y=kx+b，得 ，解得： ，
∴直线 的解析式为：y= x+3.
故答案为：A.
【分析】分别令一次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x的值，得到点A、B的坐标，求出OA、OB的值，过点C作CD⊥x轴于点D，由同角的余角相等可得∠CAD=∠ABO，证明△AOB △CDA，得到CD=AO=4，AD=BO=3，则C（7，4），然后利用待定系数法就可求出直线BC的解析式.
6．在直线l上依次摆放着七个正方形．如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3．正放置的四个正方形的面积依次是 ， ， ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可得： ，
∴ ，
∴
在 和 中，
∴
∴
∴
同理可证 ，
∴
故答案为：A
【分析】运用勾股定理可知每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此解答即可。
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C的坐标为（ ，1），则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作CF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E，CH⊥BE于H，
∵EH=CF=1，
∵∠BCH+∠HCO=∠HCO+∠FCO=90°，
∴∠BCH=∠FCO，
在△BCH和△CFO中，
，
∴△BCH≌△CFO（AAS），
∴BH=OF=，
∴BE=BH+HE=+1，
OE=OF-EF=-1，
∴B点坐标为 .
故答案为：A.
【分析】作CF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E，CH⊥BE于H，则可得出EH的长，然后利用AAS证明△BCH≌△CFO，得出BH=OF=，再求出OE的长，则可求出B点的坐标.
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：在正方形ABCD，正方形OEFG中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （AAS）
∴ 、 ，
设 、 ，
∴ ， ，
∴点F坐标为 ，
∵直线OF的表达式是y＝2x，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
= ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得出 ， ，根据同角的余角相等得∠GOB=∠CGF，从而利用AAS判断出△GBO≌△FCG，根据全等三角形的对应边相等得CG=BO，FC=GB，设CG=BO=a，FC=GB=b，则BC=a+b，HF=a-b，用含a，b的式子表示出点F的坐标，进而将点F的坐标代入直线OF的表达式 ，找出a、b的关系，进而根据正方形面积的计算方法用含b的式子表示出两正方形的面积即可求出比值.
9．如图，在 中， 是 边上的高， ， ， .连接 ，交 的延长线于点E，连接 ， .则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF，AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BG与AC所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）.
∴ EF=EG.故④正确.
故③正确.
故答案为：D.
【分析】易得∠CAF=∠GAB，证△CAF≌△GAB，据此判断①；由全等三角形的性质得∠FCA=∠BGA，据此判断②；过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，由同角的余角相等可得∠BAD=∠AFM，证明△AFM≌△BAD，得到FM=AD，∠FAM=∠ABD，同理可得NG=AD，AN=CD，证明△FME≌△GNE，据此判断③④.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC＋∠BAC＝∠FAC＋∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
在△FAM与△ABN中，
，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM＝S△ABN，
∴S△ABC＝S四边形FNCM，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∵AC＋BC＝6，
∴（AC＋BC）2＝AC2＋BC2＋2AC BC＝36，
∴AB2＋2AC BC＝36，
∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，
∴AB2﹣AC BC＝10.5，
∴3AB2＝57，
解得AB＝ 或﹣ （负值舍去）.
故答案为：B.
【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，从而利用AAS判断出△FAM≌△ABN，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论.
二、填空题
11．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为5、12，则正方形的周长为 ．
【答案】52
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵∠DAF+∠ADF=∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
在△AFD和△BEA中，
，
∴△AFD≌△BEA（AAS），
∴AE=DF=12，
∴AB==13，
∴正方形的周长=4AB=52.
故答案为：52.
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB，再由余角的性质求出∠ADF=∠BAE，然后利用AAS证明△AFD≌△BEA，得出AE=DF=12，则可利用勾股定理求出AB的长，则可解答.
12．如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=，AB=.若点A坐标为（1，2），则点B的坐标为 .
【答案】（﹣2，1）
【知识点】点的坐标；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作BN⊥x轴，AM⊥x轴，
∵OA=OB=，AB=，
∴AO2+OB2=AB2，
∴∠BOA=90°，
∴∠BON+∠AOM=90°，
∵∠BON+∠NBO=90°，
∴∠AOM=∠NBO，
∵∠AOM=∠NBO，∠BNO=∠AMO，BO=OA，
∴△BNO≌△OMA，
∴NB=OM，NO=AM，
∵点A的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（-2，1）.
故答案为：（-2，1）.
【分析】作BN⊥x轴，AM⊥x轴，先利用勾股定理逆定理得出△BOA为直角三角形，然后根据余角的性质得出∠AOM=∠NBO，则可利用AAS证明△BNO≌△OMA，得出NB=OM，NO=AM，结合点A的坐标，即可求出B点的坐标.
13．如图， ， ， ， ，垂足分别是点 、 ， ， ，则 的长是 .
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC-CD=3-1=2．
【分析】先利用等角的余角相等可得∠EBC=∠DCA，再利用“AAS”证明△CEB≌△ADC，可得BE=DC=1，CE=AD=3，最后利用线段的和差计算即可。
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC， CE⊥AB，垂足分别是D，E.AD，CE交于点H，已知AE＝CE＝5，CH＝2，则BE＝ .
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴BE=EH，
∵AE＝CE＝5，CH＝2，
∴BE=EH=CE-CH=3，
故答案为：3.
【分析】利用垂直的定义可证得∠ADB=∠AEH=90°，再证明∠BAD=∠BCE，利用AAS证明△HEA≌△BEC，利用全等三角形的性质可证得BE=EH；然后根据BE=EH=CE-CH，代入计算求出BE的长.
15．如图，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，点D、E、F、C在同一条直线上，对于下列四个结论：① ABD≌ ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④ BCE≌ BAD.其中正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵在 和 中，
∴ ，故①正确；
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，故②③正确；
∵没有条件能够证明 ，故④不正确.
故答案为：①②③.
【分析】由已知条件结合全等三角形的判定定理可判断①①；根据全等三角形的性质可得AD=AF，∠DAB=∠FAC，根据角的和差关系可判断②③.
16．如图所示，长方形 中， ， ， ，点 为 上的任意一点（可与 、 重合），分别过 、 、 作射线 的垂线，垂足分别为 、 、 ，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点B作 ，并交 于点M
根据题意得： ，
∴ ， ，
∴四边形 为矩形，
∴
∴
∵长方形
∴ ， ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴当点P和点C重合时， 取最小值，即 取最小值
∴
∴
∴ ，即 最小值为
故答案为： .
【分析】过点B作BM⊥CC' 的延长线于点M ，证出四边形 为矩形，可得，证明，可得，当点P和点C重合时， 取最小值，即 取最小值，利用三角形的面积相等求出DD'的长，由于，据此即得结论.
三、综合题
17．已知：如图，，相交于点O，，.
求证：
（1）
（2）.
【答案】（1）证明：在△ABO与△DCO中，
∵，
∴（AAS）
（2）证明：∵，
∴OB=OC，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，结合已知条件AB=DC，∠ABO=∠DCO，用全等三角形的判定方法AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OB=OC，然后根据等腰三角形的性质可得结论.
18．如图，D是△ABC的边AB上一点，CF//AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
（1）求证：△ADE≌△CFE.
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
（2）解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5.5-4=1.5，
答：BD的长为1.5.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1） 由平行线的性质可得∠ADF=∠F，∠A=∠ECF，根据AAS证明△ADE≌△CFE；
（2） 由全等三角形的性质可得AD=CF=4，根据BD=AB-AD即可求解.
19．如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．
（1）求证：∠BDC=90°+；
（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．
【答案】（1）证明：、分别平分和，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
如图，过点作，交于点，
，
，
，，
在和中，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用角平分线和三角形的内角和计算求解即可；
（2）先求出AE=EB，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
20．
（1）如图1，已知中，90°，，直线m经过点直线m，直线m，垂足分别为点.求证：.
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线m上，并且有.请写出三条线段的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：如图1，∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）解：，理由如下：
如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得∠CAE=∠AEC，由AAS证△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE即得DE=CE+BD；
（2）DE=BD+CE，理由：由平角的定义及三角形的内角和定理得 ∠CAE=∠ABD， 利用AAS证明△ADB≌△CEA，可得AE=BD，AD=CE，从而得出BD+CE=AE+AD=DE.
21．已知如图，AD＝AB，AC＝AE，∠ACB＝∠DAB＝90°，且AG⊥DG，AE∥CB，AC、DE交于点F.
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）求证：DG＝AE；
（3）猜想线段AF、BC的数量关系是 ▲ ，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠DAB=90°，AE∥BC，
∴∠CAE=180°-∠ACB=90°，∠B=∠BAE，
∴∠DAC=90°-∠BAC=∠BAE，
∴∠DAC=∠B；
（2）证明：∵AG⊥DG，
∴∠AGD=∠ACB=90°，
在△ADG和△BAC中，
，
∴△ADG≌△BAC（AAS），
∴DG=AC；AG=BC，
∵AC=AE，
∴DG=AE；
（3）解：BC=2AF；理由是：
在△AEF和△GDF中，
，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴AF=GF=AG=BC，
∴BC=2AF.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠CAE=90°，∠B=∠BAE，利用同角的余角相等，可证得∠DAC=∠B；
（2）利用垂直的定义可证得∠AGD=∠ACB=90°，利用AAS证明△ADG≌△BAC，利用全等三角形的性质得DG=AC，AG=BC，由此可证得结论；
（3）利用AAS证明△AEF≌△GDF，利用全等三角形的性质可证得AF=GF=AG=BC，由此可得到AF与BC之间的数量关系.
22．如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴ ；
（2）证明：∵DH∥BC，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（3）解：∵△ADH是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，
∴AG＝GH，DH=AH
∵△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∵CF＝CE，DH＝CE，
∴HF＝DH=AH，
∴GF＝3AG，
∵△DGF和△ADG等高，
∴S△DGF＝3S△ADG＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由等边三角形ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得；
（2）根据已知条件可得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ADH是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得到△DHF≌△ECF，可得HF=CF，GF=3AG，根据△DGF和△ADG等高，即可得到结论。
23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.
（1）如图1，若A、B两点的坐标分别是A（0，4），B（﹣2，0），求C点的坐标；
（2）如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证： BD ＝2CE
【答案】（1）解：作CM⊥OA垂足为M，
∵∠AOB=∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAM，
在和中，
，
∴△ABO≌△CAM，
∴MC=AO=4，AM=BO=2，MO=AO-AM=2，
∴点C坐标（4，2）；
（2）证明：如图2，延长CE、BA相交于点F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在和中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在和中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴BD=CF=2 CE.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）作CM⊥OA垂足为M， 根据同角的余角相等求出 ∠ABO=∠CAM， 利用AAS证明 △ABO≌△CAM， 得出MC=AO，AM=BO，求出MO和MC的长，从而得出点C的坐标；
（2）延长CE、BA相交于点F， 先求出 ∠EBF=∠ACF， 利用ASA证明△ABO≌△ACF， 得BD=CF，再利用ASA证明△BCE≌△BFE ，得出CE=EF， 从而推出BD=2CE.
24．在学习完第十二章后，刘老师让同学们独立完成识本56页第9题：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（3）如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，其中α为任意纯角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，
∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm，
∴BE＝0.8cm；
（2）AD+BE＝DE，
证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+DE＝AD+BE；
（3）答：（2）中的猜想还成立，
证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，∠ADC＝∠BCA，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC，
∴BE＝CD，EC＝AD，
∴DE＝EC+CD＝AD+BE．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EBC＝∠DCA ，再利用AAS证明 △CEB≌△ADC ，最后计算求解即可；
（2）先求出 ∠EBC＝∠DCA ，再证明 △CEB≌△ADC ，最后求解即可；
（3）先求出 ∠BCE＝∠CAD， 再证明 △CEB≌△ADC ，最后证明求解即可。
